高等数学教学资料第一节 孤立奇点

《高等数学教学资料第一节 孤立奇点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学资料第一节 孤立奇点（34页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1 孤立奇点孤立奇点一、孤立奇点及其分类一、孤立奇点及其分类1、孤立奇点的定义：、孤立奇点的定义：11:()cos()0?1cosf zf zzzz例例 函函数数与与考考虑虑常把常把f(z)在在0z的去心邻域的去心邻域00zz 展开成的展开成的LaurentLaurent 级数：级数：0nnnf(z)c(zz)（1.11.1）称为称为f(z)在在0z的的 LaurentLaurent 展开式。展开式。2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类1）可去奇点可去奇点例1：212001112121nnnnnnsinz()()zzzz(n)!(n)!2421103521nnzzz()(z),!(n)!它不含它

2、不含z的负幂，的负幂，故故0z 是是sinzz的可去奇点。的可去奇点。2）极点极点51zezz 在在0z 的去心邻域的的去心邻域的 LaurentLaurent 展开式为：展开式为：553211 11 11 11234znezzz!z!z!zn!它含它含1z的幂的最高项为的幂的最高项为31 12!z，例2：故故0z 是是51zezz 的的 3 3 级极点。级极点。若若0z是是f(z)的的m级极点，由级极点，由(1.3)(1.3)式，式，其中其中0mc,记上式右端括号中的级数的和函数为记上式右端括号中的级数的和函数为(z),即即 它的右端它的右端是在是在0B(z,)收敛收敛的的幂级数，幂级数，其

3、其和和函数函数(z)在在0B(z,)解析解析且且00m(z)c 。故故可得定理可得定理 1 1：定理1：3 3）本性奇点）本性奇点例3：13zf(z)z e 在在0z 的的去去心心邻邻域域的的 L La au ur re en nt t 展展开开式式为为：133211 11 112znz ez z!zn!z 3231102nzzz(z)!n!z 它含有无限多个它含有无限多个z的负幂，的负幂，所以所以0z 是是13zz e的本性奇点。的本性奇点。二、解析函数在孤立奇点处的极限形态二、解析函数在孤立奇点处的极限形态1 1、若、若0z是是f(z)的可去奇点，则的可去奇点，则00zzlim f(z)c

4、，所以所以不论不论f(z)原来原来在在0z是是否否有有定义定义，如果如果我们我们令令00f(z)c，那么那么在在圆圆域域0zz 内内有有 3 3、若、若0z是是f(z)的本性奇点，则的本性奇点，则 PicardPicard 定理指出：定理指出：因此，当因此，当0zz时，时，f(z)不存在有限或无限的极限。不存在有限或无限的极限。111 21 21222kka(k,),b(k,)ki(k)i 当当k 时，是时，是kka,b均趋近于均趋近于0，12221kk(k)iabkikkkklim elim e,lim elim ei,kkabkklimelime,所以所以当当0z 时时，1ze不不存在存在

5、有限有限或或无限无限的的极限极限。00000002()(1)()lim()(2)()lim()(3)()lim()zzzzzzzf zzf zf zzf zf zzf zf z 定定理理：设设 是是的的孤孤立立奇奇点点，那那末末是是的的可可去去奇奇点点存存在在且且有有限限.是是的的极极点点 是是的的本本性性奇奇点点不不存存在在（无无论论是是 有有限限或或无无限限都都不不存存在在）三、解析函数的零点与极点的关系三、解析函数的零点与极点的关系1、零点的定义、零点的定义 因因(z)在在0z解析，解析，00(z)，故可证明存在，故可证明存在0z的的一个邻域一个邻域0B(z,)，在其中，在其中0(z)。

6、设设f(z)在在0z解析，则下列陈述等价：解析，则下列陈述等价：（1 1）0z是是f(z)的的m级零点；级零点；（2 2）（）（2 2）在）在0z的某邻域的某邻域 10100mmmmmf(z)c(zz)c(zz)(c)；f(z)（2 2）（3 3）0000 110(k)(m)f(z)(k,m),f(z)。2、定理、定理3 按下列顺序证明：按下列顺序证明：1231()()()()。证明：证明：12()():若若0z是是f(z)的的m级零点，则在级零点，则在0z的某邻的某邻域域0B(z,)，0mf(z)(zz)(z),(z)在在0B(z,)解析解析且且00(z),设设(z)在在0B(z,)的幂级数

7、展开式为的幂级数展开式为 2010200nn(z)aa(zz)a(zz)a(zz)其中其中000a(z),则则f(z)在在0B(z,)的幂级数展开式为的幂级数展开式为 100100mmm nnf(z)a(zz)a(zz)a(zz)记记0 1 2n mnca(n,),则则 10100mmm nmmn mf(z)c(zz)c(zz)c(zz)其中其中000mca(z)。23()():若若2()成立，由于解析函数成立，由于解析函数f(z)在在0z的幂级的幂级数展开式是唯一的，必是它的数展开式是唯一的，必是它的 TaylorTaylor 级数，故级数，故 。00 1(n)nf(z)c(n,),n!于是

8、，于是，0(n)n,f(z)n!c 因因2()成立，成立，01100mmccc,c,则则有有 1000000(m)(m)mf(z)f(z)f(z),f(z)m!c,31()():若若3()成立，则在成立，则在0z的某邻域的某邻域0B(z,)，0000(m)(k)mkf(z)f(z)f(z)(zz)(zz)m!k!00000(k)mk m(m)k mf(z)(zz)(zz)f(z),k!,且且 定义：记上式右端级数和为定义：记上式右端级数和为(z)：00(k)k mk mf(z)(z)(zz)k!000(m n)nnf(z)(zz)(mn)!定义：它在邻域定义：它在邻域0B(z,)内解析，内解析

9、，定义：这时定义：这时0000(m)mf(z)f(z)(zz)(z),(z)m!且且。定理定理 2 2 证证毕毕。例例4 4：定义：试确定函数定义：试确定函数21zf(z)z(e)的零点及零点的级。的零点及零点的级。解：解：定义：若定义：若0f(z),则则20z 或或10ze,定义：从而定义：从而0z 或或12zLnk i(k),Z Z 故故f(z)的的零点零点为为2zk i(k)Z Z（包含包含0z ）。在在0z 的的邻域邻域，因因0nznze,n!故故 222111nnznnzzf(z)z(e)zn!n!432zz,!由由定理定理 2 2，0z 是是f(z)的的 3 3 级级零点零点。当当

10、20zk i(k)时，时，22222120zzzk if(k i)z(e)z e(k i),所以所以20zk i(k)是是f(z)的的一一级级零点零点。定理定理4 （1 1）f(z)g(z)以以0z为为mn 级零点；级零点；（2 2）f(z)g(z)以以0z为零点，为零点，当当mn 时，时，f(z)g(z)在在0z的零点的级为的零点的级为min(m,n)；当当mn 时，时，f(z)g(z)在在0z的零点的级的零点的级m(n)；当当mn 时，时，0z为为f(z)g(z)的可去奇点；的可去奇点；补充，补充，当当mn 时，时，0z为为f(z)g(z)的的nm 级级极极点点。补充，补充，证明：证明：只

11、只证明证明（3 3）。因因f(z)和和g(z)分别以分别以0z为为m级和级和n级零点，级零点，故故在在0z的的某邻域某邻域有有 00mnf(z)(zz)(z),g(z)(zz)(z),其中其中(z)和和(z)在在0z解析且解析且0000(z),(z),所以所以 0m nf(z)(z)(zz),g(z)(z)其中其中 (z)(z)在在0z解析解析，且且000(z),(z)若若mn，由由定定理理 2 2 知知，当当对对f(z)g(z)在在0z补补充充定定义义后后0z 可可看看作作f(z)g(z)的的mn 级级零零点点；补补充充，若若mn，000zz(z)f(z)lim,g(z)(z)补充，补充，所

12、以所以0z为为f(z)g(z)的可去奇点；的可去奇点；补充，补充，若若mn，则则01n mf(z)(z),g(z)(zz)(z)补充，补充，由由定理定理 1 1 知知，0z为为f(z)g(z)的的nm 级极点。级极点。补充，补充，例5：判断判断0z 是下列函数的何种类型的奇点。是下列函数的何种类型的奇点。补充，补充，解：(1)(1)3566135zsinzzzz(z)zz!补充，补充，31135!z!z 补充，补充，所以所以0z 是是6zsinzz 的的 3 3 级级极点极点。补充，补充，(2)(2)0z 是是23zsinzz!的一级零点，的一级零点，补充，补充，所以是所以是4sin z的的

13、4 4 级零点；级零点；补充，补充，0z 是是212zzez!的一级零点，的一级零点，补充，补充，所以是所以是31zz(e)的的 4 4 级零点；级零点；补充，补充，由定理由定理 3 3，0z 是是431zsin zz(e)的可去奇点。的可去奇点。补充，补充，(3)(3)333511111135z sinz()()()zz!z!z 补充，补充，补充，补充，221135z!z （含无限多项（含无限多项z的负幂）的负幂）补充，补充，所以所以0z 是是31z sinz的的本性本性奇点。奇点。补充，补充，(4)(4)0sinzzk,又又0z k(sinz)cosk,补充，补充，所以所以zk 是是0si

14、nz 的一级零点，的一级零点，补充，补充，也是也是1sinz的一级极点，的一级极点，补充，补充，特别地，特别地，0z 是是1sinz的一级极点。的一级极点。补充，补充，(5)(5)由由10sinz 知知1z(k),k Z Z 补充，补充，所以所以0z 及及10kz(kk)k 且且Z Z 都是都是11sinz的奇点。的奇点。补充，补充，又当又当k 时，时，10kz,k 补充，补充，即即0z 的任一邻域均有的任一邻域均有11sinz的奇点的奇点1k（当（当k充分大），充分大），补充，补充，所以所以0z 不是不是11sinz的孤立奇点。的孤立奇点。补充，补充，例例6 6：讨论讨论1221111zze

15、f(z)(z)(z)(e)的孤立奇点及其分类。的孤立奇点及其分类。补充，补充，分别解方程分别解方程221010 10z(z),z,e 知知 补充，补充，都是都是f(z)的的奇点奇点。补充，补充，又又1211112ze(z)(z)(zC)!补充，补充，所以所以1z 时时11ze 的一级零点，的一级零点，补充，补充，也是也是22111z(z)(z)(e)的的 2 2 级零点级零点。补充，补充，由由定理定理 3 3，1z 是是f(z)的一级的一级极极点。点。补充，补充，解：解：又又22110 10iziz(k)i(z),(e),补充，补充，故故21z(k)i 是是1z(e)的一级零点，的一级零点，z

16、i 是是21z 的的 一级零点。一级零点。补充，补充，在这些点在这些点211010z(z),e,补充，补充，由定理由定理 3 3，zi 是是f(z)的的 2 2 级极点，级极点，补充，补充，2101z(k)i(k,k,k)Z Z是是f(z)的一级极点。的一级极点。补充，补充，综上所述，综上所述，zi 是是f(z)的的 2 2 级极点，级极点，补充，补充，12101z,z(k)i(k,k,k)Z Z是是f(z)的的一一级极点，级极点，补充，补充，四、函数在无穷远点的性态四、函数在无穷远点的性态定义：定义：如果如果f(z)在无穷远点在无穷远点z 的去心邻域的去心邻域Rz 内内 解析，则称点解析，则

17、称点z 是是f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。设设f(z)在在Rz 的的 LaurentLaurent 展开式为展开式为 101nnmnnmnccf(z)c zcc zc zzz 作变换作变换1,z 将将z 变成变成0,将无穷远点的去心邻域将无穷远点的去心邻域Rz 变成原点的去心变成原点的去心邻域邻域 10R ，又又1f(z)f()（记作记作()），则则()在在10R 解析解析，z 是是f(z)的孤立奇点的孤立奇点0 是是()的孤立奇点，的孤立奇点，从而从而可可将将在在Rz 内内对对f(z)的的研究研究转化转化为为在在 10R 内内对对()的的研究研究。规定：规定：如果如果0 是是()的可去奇点

18、，的可去奇点，m级极点或本性奇点，级极点或本性奇点，则则分别分别称称z 是是f(z)的的可可去去奇点奇点,m级级极点极点,本性本性奇点奇点.()在在10R 的的 LaurentLaurent 展开式是：展开式是：110nmnnmnncc()cccc 由此可得：由此可得：（1 1）若）若f(z)的的 LaurentLaurent 展开式不含展开式不含z的正幂项，则的正幂项，则 ()的的 LaurentLaurent 展开式不含展开式不含 的负幂项，此时，的负幂项，此时，0 是是()的可去奇点，故的可去奇点，故z 是是f(z)的可去奇点。的可去奇点。因为因为0zlim f(z)lim(),要确定要

19、确定0 是是()的可去奇点，的可去奇点，极点或本性奇点，只要分别看极点或本性奇点，只要分别看0lim()是有限值，无穷是有限值，无穷 大或不存在。大或不存在。因为因为f(z)(),要确定要确定z 是是f(z)的可去奇点，的可去奇点，极点极点 或本性奇点，只要分别看或本性奇点，只要分别看zlim f(z)是有限值，无穷是有限值，无穷大大或或 不存在。不存在。2571()sin(2)()sin1(3)()21zf zf zzzf zzz 例例：考考虑虑下下列列函函数数在在处处的的情情况况。(1)(1)233(1)(2)8()(sin)zzf zz 例例：讨讨论论函函数数在在扩扩充充复复平平面面的的奇奇点点 及及其其类类型型。213222(1)()1(2)()(2)(1)(1)zzzf zz eef zzze 练练习习：讨讨论论下下列列函函数数在在扩扩充充复复平平面面的的奇奇点点及及其其类类型型。