高考中的三角函数和平面向量

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1、高考中的三角函数一、安徽高考考试说明中对三角函数和平面向量的要求：（八）基本初等函数(三角函数) 1任意角、弧度(1)了解任意角的概念和弧度制的概念。(2)能进行弧度与角度的互化。2三角函数(1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。(2) 能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性。 (3) 理解正弦函数、余弦函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在 内的单调性。(4) 理解同角三角函数的基本关系式：，(5) 了解函数的物理意义；能画出函数的图像。了解参数对函数图像变化的影响。 (6) 会

2、用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。(九)平面向量1平面向量的实际背景及基本概念(1) 了解向量的实际背景。(2) 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义。(3) 理解向量的几何表示。2.向量的线性运算 (1) 掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义。(2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义。3平面向量的基本定理及坐标表示(1) 了解平面向量的基本定理及其意义。(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。(3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。(4) 理解用坐标表示的平面向

3、量共线的条件。4平面向量的数量积(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5向量的应用(1) 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。(2) 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。(十)三角恒等变换Com1两角和与差的三角函数公式(1) 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。(2) 会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。(3) 会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和

4、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。2简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)。(十一)解三角形1正弦定理和余弦定理。掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二、有关公式、定理1. 同角三角函数的基本关系式，2. 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）、等3. 两角和与差的三角函数 ；两种变形：；，其中（辅助角公式）4. 正弦定理和余弦定理5. 平面向量共线的表示；平面向量基本定理；向量的数量积；向量垂直的条件等三、近三

5、年安徽高考试题1. (2010文3理3)设向量,则下列结论中正确的是( )(A) (B) (C) (D)与垂直2. （2010文16）（本小题满分12分）ABC的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a，b，c，.(1)求；(2)若，求的值.3. （2012理16）（本小题满分12分） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 ()求角的值；()若，求（其中）。4. （2011文14理13）已知向量、满足，且，则与的夹角为_.5. （2011理14）已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_6. （2011文15）设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR

6、恒成立，则；既不是奇函数也不是偶函数；的单调递增区间是；存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.7. （2011文16）（本小题满分13分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高.8. （2012文7）要得到函数的图象，只要将函数的图象（ C ） 向左平移1个单位 向右平移1个单位 向左平移个单位 向右平移个单位9. （2012文11）设向量，若,则10. （2012文16）(本小题满分12分)设的内角所对的边为，且有（）求角的大小；（II） 若，为的中点，求的长。【解析】（）（II） 在中，11. （

7、2012理14）若平面向量满足：；则的最小值是【解析】12. （2012理15）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 若；则 若；则 若；则 若；则 若；则【解析】 当时，与矛盾 取满足得： 取满足得：13.（2012理16）(本小题满分12分) 设函数 （I）求函数的最小正周期； （II）设函数对任意，有，且当时，； 求函数在上的解析式。【解析】 （I）函数的最小正周期 （2）当时， 当时， 当时， 得：函数在上的解析式为四、常见题型（一）恒等变换1.【2012高考江苏11】设为锐角，若，则的值为 【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】为锐角，即，。 ，。 。 。2.【

8、2012高考全国文4】已知为第二象限角，则 （ B ）（A） （B） （C） （D） 【解析】因为为第二象限，所以，即，所以，选B.3.【2012高考重庆文5】（ C ）（A）（B）（C） （D）【解析】，选C.4.【2012高考江西文4】若，则tan2=（ B ）A. B. C. D. 【解析】由，得，即。又，选B.5.【2012高考江西文9】已知若a=f（lg5），则（ C ）A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1【解析】先化简函数，所以，所以，选C。6.【2012高考广东文16】（本小题满分12分）已知函数，且（1）求的值；（2）设，求的值.【答案】（1），解得。

9、（2），即，即。 因为，所以， 所以。（二）三角函数的图像和性质7.【2012高考新课标文9】已知0，直线和是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则=（ A ）（A） （B） （C） （D）【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴，所以，即.又，所以，所以，因为是函数的对称轴所以，所以，因为，所以，检验知此时也为对称轴，所以选A.8.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为（ A ） (A)(B)0(C)1(D)【解析】因为，所以，即，所以当时，最小值为，当时，最大值为，所以最大值与最小值之和为，选A.9.【2012高考全国文3】若函数是偶函数，则（ C ）（A） （B

10、） （C） （D）【解析】函数，因为函数为偶函数，所以，所以,又，所以当时，选C.10.【2012高考天津文科7】将函数（其中0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是（ D ）（A） （B）1 C） （D）2【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选D.11.【2012高考湖南文18】（本小题满分12分）已知函数的部分图像如图所示.（）求函数f（x）的解析式；（）求函数的单调递增区间.【解析】（）由题设图像知，周期.因为点在函数图像上，所以.又即.又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为（）由得的单调递增区间是【点评】本

11、题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.12.【2012高考四川文18】(本小题满分12分) 已知函数（）求函数的最小正周期和值域；（）若，求的值。命题立意：本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识，考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想.【解析】13.【2012高考重庆文19】（本小题满分12分）设函数（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为（I）求的解析式； （II）求函数的值域。因，且 故 的值域为14.【2102

12、高考北京文15】（本小题共13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间。【答案】。（1）原函数的定义域为，最小正周期为（2）原函数的单调递增区间为，。15.【2012高考陕西文17】（本小题满分12分） 函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值.（三）解三角形16.【2102高考北京文11】在ABC中，若a=3，b=，A=，则C的大小为_。【解析】在ABC中，利用正弦定理，可得，所以。再利用三角形内角和，可得17.【2102高考福建文13】在ABC中，已知BAC=60，ABC=45，则AC=_.【解析】由正弦

13、定理得，所以.18.【2012高考上海文17】在中，若，则的形状是（ A ）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选A.19.【2012高考四川文5】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ B ）（1） B、 C、 D、【解析】 ，由正弦定理得，所以.20.【2012高考湖南文8】 在ABC中，AC= ，BC=2，B =60，则BC边上的高等于（ B ）A B. C. D.【解析】设，在ABC中，由余弦定理知，即，又设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.21.【2012高考浙江文

14、18】（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB.（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.【解析】（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得，即得，.（2）sinC=2sinA，由正弦定理得，由余弦定理，解得，.22.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)在ABC中，内角所对的边分别为，已知.()求证：成等比数列；()若，求的面积S.【答案】 (I)由已知得：，再由正弦定理可得：，所以成等比数列.(II)若，则，的面积.23.【2012高考辽宁文17】(本小题满分12分)在中，角A、B、C的对边分别为a

15、，b，c。角A，B，C成等差数列。 ()求的值； ()边a，b，c成等比数列，求的值。【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。24.【2012高考新课标文17】（本小题满分12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinCccosA （1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b,c25.【2012高考江苏15】（14分）在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。