傅里叶变换PPT课件

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1、傅里叶变换傅里叶变换主 讲：李 韵第一节第一节 引言引言第二节第二节 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析第三节第三节 非周期信号的指数表示法非周期信号的指数表示法-傅里叶变换傅里叶变换第四节第四节 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 第一节第一节 引言引言 先引见一下延续先引见一下延续LTI系统线性时不变系统的时域分析。以冲激函数为根本函系统线性时不变系统的时域分析。以冲激函数为根本函数，恣意输入信号可分解为一系列冲激函数。数，恣意输入信号可分解为一系列冲激函数。dtettete)()()()()(-冲激函数的延续和积分冲激函数的延续和积分 这一系列冲激函数叠加输入系统所产

2、生的呼应零形状呼应，也就是这一系列冲激函数叠加输入系统所产生的呼应零形状呼应，也就是et作作用与系统的零形状呼应，是鼓励信号用与系统的零形状呼应，是鼓励信号et与系统冲击呼应的卷积，即与系统冲击呼应的卷积，即 rzst=et*ht 这种处置方法是基于线性系统满足叠加性这一原理。当然，信号分解的根本函数这种处置方法是基于线性系统满足叠加性这一原理。当然，信号分解的根本函数也可取其他方式。本章将以正弦函数正弦和余弦函数可统称为正弦函数或虚指数也可取其他方式。本章将以正弦函数正弦和余弦函数可统称为正弦函数或虚指数函数函数ejt=cost+jsint 为根本函数。恣意输入信号可表示为一系列不同频率的正

3、弦为根本函数。恣意输入信号可表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和对于周期信号或积分对于非周期信号。即对于周期信函数或虚指数函数之和对于周期信号或积分对于非周期信号。即对于周期信号，可分解为傅里叶级数，其频率分布是号，可分解为傅里叶级数，其频率分布是轴上的一些离散的点，故其频谱是离散谱；轴上的一些离散的点，故其频谱是离散谱；而对于非周期信号，可看做是不同频谱的各而对于非周期信号，可看做是不同频谱的各“分量可用于正弦函数或虚指数函数表分量可用于正弦函数或虚指数函数表示的延续和示的延续和-积分，它包含了频率从积分，它包含了频率从0到到的一切频率的一切频率“分量，即其频率延续分分量，即其频率

4、延续分布于布于轴上，故其频谱是延续谱。轴上，故其频谱是延续谱。第二节第二节 周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 周期信号是定义在周期信号是定义在-，+区间，每隔一定时间区间，每隔一定时间T，按一样规律反复变化的信，按一样规律反复变化的信号。它可表示为号。它可表示为 ft=ft+mT 式中式中m为恣意整数，为恣意整数，T称为该信号的反复周期，简称周期。周期的倒数称为该信号的反复周期，简称周期。周期的倒数f 称为该信称为该信号的频率。号的频率。=2/T称为该信号的角频率。称为该信号的角频率。1、傅里叶级数分解式、傅里叶级数分解式 设设ft是周期为是周期为T1，角频率为，角频率为1=2

5、/T1 的周期函数，它可展开或分解为的周期函数，它可展开或分解为傅里叶级数傅里叶级数11011110)cos()(sin)cos()(nnnnnnntncctnbtnaatf3-1100)(110TttdttfTa),2,1()cos()(210011ndttntfTaTttn),2,1()sin()(210011ndttntfTbTttn式中式中n为正整数，为正整数，an，bn，cn为各次谐波分量的幅度值，可按以下公式计算：为各次谐波分量的幅度值，可按以下公式计算：直流分量直流分量 。3-2余弦分量的幅度余弦分量的幅度 3-3正弦分量的幅度正弦分量的幅度 3-4且有且有 3-5),2,1(t

6、an2200nabbacacnnnnnn 必需指出，并非恣意非周期信号均能进展傅里叶级数展开。被展开的周期必需指出，并非恣意非周期信号均能进展傅里叶级数展开。被展开的周期函数需求满足狄里赫利充分条件：函数需求满足狄里赫利充分条件：1函数假设有延续点存在，那么在一周期内只能有有限个延续点；函数假设有延续点存在，那么在一周期内只能有有限个延续点；2在一周期内，函数有有限个极大值和极小值；在一周期内，函数有有限个极大值和极小值；3函数在一周期内是绝对可积的，即函数在一周期内是绝对可积的，即 为有限值为有限值T1为周期。为周期。我们通常遇到的周期信号都满足以上条件，所以，以后除非有特殊需求，我们通常遇

7、到的周期信号都满足以上条件，所以，以后除非有特殊需求，普通不再思索这一充分条件。普通不再思索这一充分条件。式式2-1阐明，任何满足狄里赫利条件的周期函数都可分解为直流分量和许阐明，任何满足狄里赫利条件的周期函数都可分解为直流分量和许多余弦、正弦分量。这些余弦、正弦分量的频率必定是基频多余弦、正弦分量。这些余弦、正弦分量的频率必定是基频f1f1=1/T1的的整数倍。通常把频率为整数倍。通常把频率为f1的分量称为基波，频率为的分量称为基波，频率为2f1，3 f1，等分量分等分量分别称为二次谐波、三次谐波别称为二次谐波、三次谐波等等。显然，直流分量的大小以及基波和各等等。显然，直流分量的大小以及基波

8、和各次谐波的幅度、相位均取决于周期信号的波形。次谐波的幅度、相位均取决于周期信号的波形。另外，从式另外，从式2-3至式至式2-5可见，各分量的幅度可见，各分量的幅度an，bn，cn 及相位及相位n 都是都是频率频率n1的函数。假设把的函数。假设把cn与与n1的关系画成如图的关系画成如图2-1那样的线图，就可清楚那样的线图，就可清楚而直观的看出各频率分量的相对大小。而直观的看出各频率分量的相对大小。100ttdttfT）（这种图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱。衔接各谱线顶点的曲线这种图称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱。衔接各谱线顶点的曲线3-1中虚线所示称为包络线，它反映了各分量的幅度变化情况

9、。类似的，也可以中虚线所示称为包络线，它反映了各分量的幅度变化情况。类似的，也可以画出各分量的相位画出各分量的相位n都是频率都是频率n1的线图，这种图称为相位频谱，简称相位谱。的线图，这种图称为相位频谱，简称相位谱。从图从图3-1所示的幅度谱和相位谱的例子可见，周期信号的频谱只会出如今所示的幅度谱和相位谱的例子可见，周期信号的频谱只会出如今0，1，21，等离散频点上，故称其为离散谱或线状谱，这是周期信号频谱的主等离散频点上，故称其为离散谱或线状谱，这是周期信号频谱的主要特点。要特点。)(21)cos()(21)sin(111111tjntjntjntjneetneejtntjnnenFtf1)

10、()(1我们将式我们将式3-13-1中的正弦、余弦项用虚指数函数代入，即中的正弦、余弦项用虚指数函数代入，即那么式那么式3-1可写成可写成njnTtttjnnnneFdtetfTjbaFnF1001)(1)(21)(11 这就是指数方式的傅里叶级数展开式。在这个式子中这就是指数方式的傅里叶级数展开式。在这个式子中n出现了负值，即出现出现了负值，即出现了负的频率，这是由于了负的频率，这是由于sinn1t和和cosn1t写成指数方式时，引入了写成指数方式时，引入了-jn1t 项。负频率的出现完全是数学运算带来的结果，并没有任何物理意义，信项。负频率的出现完全是数学运算带来的结果，并没有任何物理意义

11、，信号的实践频率只能是正数，而不能够是负数。号的实践频率只能是正数，而不能够是负数。3-6。3-7nnjnjnnnneFeFjbaFnF)(21)(1222121nnnnnbacFF且 n=-n3-83-93-10。同样可以画出指数方式表示的信号频谱，由于同样可以画出指数方式表示的信号频谱，由于Fn普通是复变函数，所以称这种普通是复变函数，所以称这种频谱为复数频谱。又由于频谱为复数频谱。又由于n从从-+，频率，频率n1也从负无穷大变化到正无穷大，所以也从负无穷大变化到正无穷大，所以这种频谱为双边频谱。根据这种频谱为双边频谱。根据Fn=|Fn|ejn，可以画出复数幅度谱，可以画出复数幅度谱|Fn

12、|及复数相位谱及复数相位谱n，如图，如图3-2a、b所示。假设所示。假设Fn为实数，那么可以用为实数，那么可以用Fn的正负表示的正负表示n的的0，此时可将幅度谱和相位谱合画在一张图上，如图，此时可将幅度谱和相位谱合画在一张图上，如图3-2c所示，从式所示，从式3-9、3-10和图和图3-2均可以看到，均可以看到，|Fn|是是n或频率或频率n1的偶函数，幅度谱相对于纵轴对称；的偶函数，幅度谱相对于纵轴对称；而而n是是n或频率或频率n1的奇函数，相位谱相对于原点对称。的奇函数，相位谱相对于原点对称。2、函数的对称性与傅里叶系数的关系、函数的对称性与傅里叶系数的关系 在将知函数在将知函数ft展开为傅

13、里叶级数时，假设展开为傅里叶级数时，假设ft为实函为实函数且其波形满足某种对称性，那么有些傅里叶系数将等于数且其波形满足某种对称性，那么有些傅里叶系数将等于0，从而使傅里叶系数的计算较为简便。函数波形的对称性有两类，从而使傅里叶系数的计算较为简便。函数波形的对称性有两类，一类是对于整周期对称，例如偶函数和奇函数；另一类是对于一类是对于整周期对称，例如偶函数和奇函数；另一类是对于半周期对称，例如奇谐函数。前者决议级数中只含有余弦项或半周期对称，例如奇谐函数。前者决议级数中只含有余弦项或正弦项，后者决议级数中只含有偶次项或奇次项。正弦项，后者决议级数中只含有偶次项或奇次项。下面分几种情况讨论：下面

14、分几种情况讨论：1偶函数偶函数 当当ft的波形关于纵轴对称，即的波形关于纵轴对称，即 ft=f-t 此时式此时式3-3、3-4中的被积函数中的被积函数ftcosn1t为为t的的偶函数，而偶函数，而ftsinn1t为为t的奇函数，且有的奇函数，且有 。0)(20)cos()(420111nnnnnTnaFFbdttntfTa实数 因此，偶函数的因此，偶函数的Fn为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只能够含有为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只能够含有直流项和余弦项。直流项和余弦项。2奇函数奇函数 当当ft的波形关于纵轴反对称，也即关于原点对称，即的波形关于纵轴反对称，也即关

15、于原点对称，即 ft=-f-t 此时式此时式3-3、3-4中的中的ftcosn1t为奇函数，而为奇函数，而ftsinn1t为偶函数，为偶函数，故有故有 )(2)12()(2)sin()(400201101为整数纯虚数mmbjFFdttntfTbaannnnTnn 由此可见，奇函数的由此可见，奇函数的FnFn为虚数。在奇函数的傅里叶级数中为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只能够含有正弦项。虽然在奇函数上加以直不会含有余弦项，只能够含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流分量，就不再是奇函数，但在它的级数中依然不会含有余弦流分量，就不再是奇函数，但在它的级数中依然不会含有余弦项。项。3 3奇

16、谐函数奇谐函数 假设将假设将f ft t的前半周期波形沿时间轴平移的前半周期波形沿时间轴平移T1/2T1/2后，与后后，与后半周期波形关于时间轴对称，即满足半周期波形关于时间轴对称，即满足那么这样的函数称为奇谐函数或半波对称函数。那么这样的函数称为奇谐函数或半波对称函数。2)(1Ttftf00)sin()(4)cos()(422201112011111badtttfTbdtttfTaTT 显然显然ftcosn1t和和ftsinn1t的积分为一个不为的积分为一个不为0的的定值。而定值。而ftcosn1t和和ftsinn1t的积分为的积分为0，即，即20112011011)()sin()(4)()

17、cos()(4)(00TnTnnnndttntfTbndttntfTanbaa为奇数为奇数为偶数 依次类推，可以得到：依次类推，可以得到：由此可见，在半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波由此可见，在半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含直流项和偶次谐波项，这也是奇谐函数称号的由来。的正弦、余弦项，而不会包含直流项和偶次谐波项，这也是奇谐函数称号的由来。假设假设ft的波形是偶半波对称，即的波形是偶半波对称，即2)(1Ttftf 普通函数，可分解为奇函数和偶函数之和，利用基函数和偶函数的特点，将普通函数，可分解为奇函数和偶函数之和，利用基

18、函数和偶函数的特点，将它们分别展开成傅里叶级数再相加，有时可使运算过程简化。另外，函数的对称它们分别展开成傅里叶级数再相加，有时可使运算过程简化。另外，函数的对称性不仅与性不仅与ft的波形有关，还与坐标原点的选取有关。的波形有关，还与坐标原点的选取有关。第三节 非周期信号的指数表示法-傅里叶变换 重要的非周期信号有单位冲激信号(t)，单位阶跃信号u(t)，单脉冲信号p(t)等等，他们都可以看做是周期T的周期函数。前面我们曾经指出，当周期信号的周期T1增大时，谱线的间隔将变小，假设周期T1，那么谱线的间隔趋于无穷小，这样信号的频谱就有理三品普变成延续频谱。同时，各频谱分量的幅度即谱线高度也都趋于

19、无穷小。但是这些无穷小量之间仍坚持一定的比例关系。为了描画非周期信号的频谱特性，引入“频谱密度函数的概念。下面我们就从周期信号的傅里叶级数出发，来推导出傅里叶变换，并阐明频谱密度函数的意义。1、由傅里叶级数的极限推得傅里叶变换式 设一周期信号f(t)，将其展开成指数方式的傅里叶级数，为ntjnneFtf1)(。221111)(1TTtjnndtetfTF2211111)(/1TTtjnnndtetfTFTF其频谱为111)(1TeTFtfntjnn且有上式等号两边同乘以T1，可得3-113-122111T2dn 当T1时，10时，取其为d，那么 将趋近于 。而n1原来是离散变量，当10时，它就

20、成了延续变量，取为，即n1。与此同时，求和符号 应改写为积分 。于是当T1时，式3-11和式3-12成为-dtetfFTFTFjFtjnnTnT)(2/lim/1limlim)(1011111dejFtftj)(21)(式3-13称为函数ft的傅里叶变换积分，式3-14称为函数Fj的傅里叶反变换。Fj称为ft的频谱密度函数或简称为频谱函数，即单位频谱下的频谱高度。它是的延续函数。ft称为Fj的原函数。两者的关系可记为3-133-14)()(1jFtfFTFT-)(dttf)()(1jFtfFTFT 在式3-13和3-14中，假设将角频率换成频率f，=2f。那么FT中的正逆变换的表示方式就一致了

21、。2、FT存在的条件 前面在推导傅里叶变换时，我们并没有遵照数学上的严厉步骤。数学证明指出，函数ft的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积条件。即 但它并非必要条件。当引入奇特函数如冲激函数后，将是许多不满足绝对可积条件的函数也能进展傅里叶变换，这给信号与系统的分析带来很大的方便。3、信号的时域和频域表示这是一对傅里叶变换对。Fj表示了信号ft被分解为指数基函数后个频率分量的相对幅值和相位，因此我们称Fj是时间信号ft的频域表示。也就是说，恣意信号可以有两种描画方法：时域的描画和频域的描画。即 时域描画是在每一瞬间上确定信号ft之值。频域描画是确定信号ft中各频率分量的相对幅和相

22、 Fj。两者均独一的表示了该信号，时间信号ft与频谱函数 Fj之间是一一对应的关系。频谱函数 Fj普通来说是一个复函数，复函数可以用其幅值和相位来表示，即)()(jejFjF）（其中|Fj|是Fj的模或幅值，它代表信号中个频率分量的相对大小。是Fj的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。为了与周期信号的频谱相一致，习惯上我们把|Fj|曲线称为幅度频谱，将曲线称为相位频谱。两张谱合起来才是完好的频谱。非周期信号的频谱是延续频谱。在外形上与相应的周期信号的离散频谱的包络线一样。第四节 典型信号的傅里叶变换 傅里叶变换是信号与系统分析的一种有效数学工具，透彻的了解此变换，就能掌握自动权，因

23、此要求熟习常用信号的傅里叶变换，并且把握好频与时的关系。1、单边指数衰减信号知单边指数衰减信号的函数表达式为那么0|)()(tuetft00)(0)(1)()(jdteeedtetfjFtjtjttj。故得 单边指数衰减信号的波形ft、幅度谱|Fj|和相位谱如图3-8所示。由图可见，其幅度谱是的偶函数，相位谱是的奇函数。221|)(|jFarctg-）（假设0，那么为0；当Fj0，那么为。以上我们已完成了三个典型非周期信号的傅里叶变换，如今我们队信号的频谱做些讨论，就能发信信号时与频的一些关系。下面我们就对门函数的频谱做些讨论：1频谱图中的第一个零值的角频率为2/频率f为1/。我们把 这段频率

24、范围称为主瓣，定义主瓣为信号的频带宽度，即 这样，门函数的脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。这与前面我们在周期矩形脉冲信号的的频谱讨论中的结论是一致的。2是门函数的门宽，即矩形脉冲的脉宽，是有限值。但门函数的频谱函数Fj却是无限上均存在，即其频谱分布在无限宽的频率范围上。信号这种时域与频域的对应关系，可用“时限频无限，频限时无限来描画。202B或1fB 3抽样函数SaX是信号处置中的一个重要函数。4、单位冲激函数t 单位冲激函数t的傅里叶变换为1)()(0jtjedtetjF 上述的结果是由冲激函数的抽样特性得到的。此结果也可从另一角度得到，即将冲激函数看做是=0时的门函数，门函数的0时，其频谱

25、展开为无穷宽的均匀谱。单位冲激函数的频谱如图3-11所示。此频谱为常数，即在整个频率范围为-+内频谱是均匀分布的。由此可见，在时域中变换一场猛烈的冲激函数包含幅度相等的一切频率分量，所以，这种频谱常称为“均匀谱、“白色谱或“全色谱。由此我们还可推断，在时域中变化越猛烈的信号，其包含的高频分量越丰富，而变化缓慢的信号那么反之，直流信号是其中之极限情况。5、单位直流信号幅度为1的直流信号可表示为ft=1 -t那么由式3-15可得其频谱 虽然直流信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在，这是引入奇特函数的结果。我们可将直流信号看做是门函数当时的极限，时无限频有限，时展频缩，时间轴上的们开到无穷大

26、，频率轴上那么缩微一点。直流信号即其频谱如图3-12所示，可见直流信号的频谱分量只需0频率分量。)(21)1()(dtejFtj)163()(2)(000dteeejFtjtjtj)()(0tetftj6、虚指数信号虚指数信号可表达为由式3-15可得其频谱。)()(21sin)(000teejttftjtj)()(21cos)(000teettftjtj频谱如图3-13所示。7、正、余弦函数正弦函数是t的实奇函数，其表达式为余弦函数是t的实偶函数，其表达式为)()(cos000t那么由式3-16可得正、余弦函数的频谱为可见，这两个信号的频谱只包含位于0处的冲激函数，如图3-14所示。这是的虚奇函数)()()()(sin00000jjt这是的实偶函数上述57这几个信号都不是绝对可积，但它们的傅里叶变换在引入函数后均存在。8、普通周期信号的频谱函数傅里叶变换设 其中m为整数，T1为周期信号的周期；角频率为 。可将ft展开成傅里叶级数将上式两边取傅里叶变换)()(1mTtftf112TntjnneFtf1)()173()()(111ntjnntjntjnnntjnneFdteeFeFtfjF谢谢 谢谢