高数第五版22函数的求导法则

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1、下页下页上页上页下页下页首页首页定理定理1 如果函数如果函数u(x),v(x)在点在点x可导可导,则它们的和、则它们的和、差、积、商差、积、商(分母不为零分母不为零)在点在点x也可导也可导,且且).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则上页上页下页下页首页首页此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.设设f(x)=u(x)+v(x),则则证证(1)hxfhxfxfh)()(lim)(0

2、0()()()()limhu xhv xhu xv xh 00()()()()limlimhhu xhu xv xhv xhh ()()u xvx ()uvwuvw上页上页下页下页首页首页(2)()uvu vuv 证证:设设()()(),f xu x v x 则有则有0()()()limhf xhf xfxh 0()()()()limhu xh v xhu x v xh()()()()u x v xu x v x0()()()()lim()()hu xhu xv xhv xv xhu xhh推论推论:(2)()uvwu vwuv wuvw(1)()C uC u ln1(3)(log)()lnl

3、naxxaxa (C为常数为常数)上页上页下页下页首页首页hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu (3)上页上页下页下页首页首页例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylnco

4、ssin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x.2sin1ln2cos2xxxx 上页上页下页下页首页首页例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得上页上页下页下页首页首页例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc

5、)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解)(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 上页上页下页下页首页首页例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 上页上页下页下页首页首页,0时时当当 x,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf00(0)

6、(0)ln(10)(0)limlimhhfhfhfhh 上页上页下页下页首页首页11()()fxfy 定理定理2.设设y=f(x)是是x=f-1(y)的反函数的反函数,x=f-1(y)在在y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导,且且f-1(y)0,则则证证:在在 x 处给增量处给增量x 0由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知y0(x 0),因此因此()()0yf xxf x 10011()limlim()xyyfxxxfyy 1yxxy 二、反函数的导数二、反函数的导数上页上页下页下页首页首页例例8 8.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,

7、)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内有内有在在)1,1(xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc上页上页下页下页首页首页例例9 9.log的导数的导数求函数求函数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 上页上页下页下页首页首页定理定

8、理3(链式法则链式法则)函数函数u=h(x)在点在点x0可导可导,y=f(u)在在u0=h(x0)点可导点可导,则复合函数则复合函数y=f(h(x)在点在点x0可导可导,且且000()().xxdyfuhxdx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则证证00lim()uyfuu 00()(lim0)uyfuu 0()yfuuu 000limlim()xxyuufuxxx 0000()limlimlimxxxuufuxx 00()().fu h x y=f(u)在在u0=h(x0)点可导点可导,则则上页上页下页下页首页首页推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdu

9、dudydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例1010.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.上页上页下页下页首页首页例例1111.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1212.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222

10、121xaaxaxxa .22xa )0(a上页上页下页下页首页首页例例1313.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1414.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 上页上页下页下页首页首页四、小结反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）合理分解正确使用

11、链导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.注意注意:);()()()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.上页上页下页下页首页首页思考题思考题 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（）（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；上页上页下页下页首页首页思考题解答思

12、考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)(在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x)1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x)2(上页上页下页下页首页首页一、一、填空题：填空题：1 1、设设4)52(xy,则则y=_._.2 2、设设xy2sin,则则y=_._.3 3、设设)arctan(2xy ,则则y=_._.4 4、设设xycosln,则则y=_._.5 5、设设xxy2tan10，则，则y=_._.6 6、设设)

13、(xf可导，且可导，且)(2xfy ，则则dxdy=_._.7 7、设设xkexftan)(,则则)(xf =_，若若ef 4，则，则 k_._.练练 习习 题题上页上页下页下页首页首页二、二、求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、xy1arccos；2 2、xxy2sin；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ；6 6、xeyarctan；7 7、xxyarccosarcsin；8 8、xxy 11arcsin.三、三、设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf,求函数求函数)()(22xgxfy 的

14、导数的导数.四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0(f，0)0(f,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 .上页上页下页下页首页首页一、一、1 1、3)52(8 x；2 2、x2sin；3 3、412xx；4 4、xtan；5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx；6 6、)(22xfx ；7 7、xxkekxk21tansectan ,21.二、二、1 1、122 xxx；2 2、22sin2cos2xxxx；3 3、221xa ；4 4、xcsc；5 5、242arcsin2xx；6 6、)1(2arctanxxex；练习题答案练习题答案 7 7、22)(arccos12xx ；8 8、)1(2)1(1xxx .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf .上页上页首页首页