三角函数精讲

《三角函数精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数精讲（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、精诚凝聚=A_A=成就梦想三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问 题三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具1.角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性 当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a的值 增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论72注意到 sin 45 cos45= _ ，由（1）可知，当时 Ov a

2、v 45 时,cosa sin a;当 45v av 90寸,cosav si na.三角函数的有界性|sina| w 1,|cosa|、走tgag可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导 出）.2例1 （1986年全国初中数学竞赛备用题）在厶ABC中，如果等式sinA+cosA=二成立，那么角A是（）（A）锐角 （B）钝角（C）直角分析 对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当 A=90 时，si nA 和 cosA=1 ;当 45v A v 90 时 si nA 1 , cosA 0, 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼/ sinA+cosA 二 当A=45时,当

3、 0v A v 45 时，si nA 0,cosA 二/ sinA+cosA JTa 2. 1,-都大于二.淘汰（A ）、（ C）,选（B）.例2 （1982年上海初中数学竞赛题）ctg67 3的值是（）(A)-1( B) 2-分析构造一个有一锐角恰为 67 3（的 Rt，再用余切定义求之.解 如图36-1，作等腰 RtA ABC，设/ B=90 , AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC,则/ D=22.5 :/ DCB=67.5 这时,ctg67 30 Z(DCB=匕 .匸.选(A).图36 1例3（1990年南昌市初中数学竞赛题 ）如图,在厶ABC中，/A所对的BC边的边长等于

4、a,旁切圆O O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于 D , E, F求证：1 + sin 22cosRw a -证明 作厶ABC的内切圆 0分别切三边于 G,H,K.由对称性知 GE=KF（如图36-2）.设GB=a , BE=x ,KC=y,CF=b.则x+a=y+b,且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是，x-a=y-b.+得,x=y.从而知a=b. GE=BC=a.设O O半径为r.显然R+r!方程的判别式(1 1) AI - k 0. 1=4 (sin2Ai-sinA2)401方程无实根，与已知矛盾，故sinAi_ .7373当 sinAi= _ 时，sinA2_

5、 , sinA3_ ,方程的判别式精诚凝聚=A_A=成就梦想2 1=4 (sin Ai-sinA2)=0.方程无实根，与已知矛盾，故 sin A1= _ .综上所述，可知sin A 1=1, Ai=.同理，A2=A3= JI .这样其余4n-1个内角之和为 4x180-3x90o = 720-270 .这些角均不大于 150：7205270込(切1)廿01 又n为自然数， n=1,凸n边形为6边形，且A4+A5+A6=4二.2.解三角形和三角法定理S 与 a、b、c、S若推论设r匸心J T Ji a、 b、 c、ZC = W(或眩-I 则.我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角

6、形和用三角函数解几何题时有更大的 自由.(1)解三角形例5 (第37届美国中学生数学竞赛题)在图 36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，/ AED=a, CDE和厶ABE的面积之比是().(A)cos a (B)sin a ()c(D)sin a (E)-sin a解 如图，因为 AB / DC,AD=CB,且厶 CDEABE,BE=AE,因此uDEBEDEAS连结AD，因为 AB是直径，所以/ ADB=在直角三角形 ADE中，DE=AEcosa.沁曲a.应选(C).图 3-5-3例6（1982年上海初中数学竞赛题）如图36-4,已知Rt斜边AB=c, / A

7、=a,求内接正方形的边长 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼D H E图364解 过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得一匚一上工2H二C=CH_又 ABCGFC,.,即CH-GFGF鈴利舲比定理可得込竺竺从而时竺如GF ABCH + ABc cos a sin _ c cos ct sin a c cos a sin a + c cos a sin a +1（2） 三角法利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法 特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的 目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中

8、技巧性很强的作辅助线的困难例7 （1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在 ABC中，BE、CF是高，/ A=，则AFE和四边形FBCE的面积之比是（）(A)1:2 (B) 2:3 (C) 1 :1 ( D) 3 : 4解由BE、CF是高知F、 B、 C、E四点共圆，得 AF-AB=AE AC II精诚凝聚 7=成就梦想定曲肿 ASAE AE AC卫0月C AB ACAF AB在 Rt ABE 中，/ ABE=, 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生 .鑼图 36-5例8 （1981年上海中学生数学竞赛题 ）在厶ABC中/ C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB 2h. 证明如图 36-6

9、,AB=AD+BD=h（ctgA+ctgB） / C 是钝角，/ A+ / B vctgB ctg（ I 丨-A）=tgA.由、和代数基本不等式，得.-图 36-6例9（第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.解如图 36-7，设四边形 ABCD 面积 S 为 32cm2,并设 AD=y,AC=x,BC=z.贝U x+y+z=16（cm）由sin| ljsin 1,有S + z) -但 S=32, sin 0 =1,sin =1,且 x-8=0.故 0= =1 且 x=8,y+z=8.这时易知另一条

10、对角线BD的长为-: :2 ：! ：.此处无图例10（1964年福建中学数学竞赛题）设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n3求证:an+bnv cn.分析如图34-8,注意到Rt ABC的边角关系：a=csin aO,b=ccos a 0,可将不等式转化为三角不等式 sinna +CoSaV 1 来讨论.证 明设直角 三角 形一锐角/BACa （如图）,则sin cs = ,coses = .9 sin a 兀 1,Icos a tu 1,当用 2 39寸，sin a vr sin J z. cc/y /cos a 7T cos3sin28 g + cosB a ?r sin ct + cos a = 13卩一 =一图36 8