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1、第一章习题解答1设兀o,兀的相对误差限为，求In兀的误差。解：设兀的准确值为，则有(|兀-x*|/|x*|)W所以e(lnx)=|Inx-Inx*|=|x-x*|x|(Inx)|x=宀(|x-x*|/|x*|)W另解：e(lnx)=|lnx-lnx*|=|ln(x/x*)|=|ln(x-x*+x*)/x*)|=|ln(x-x*)/x*+1)|W(|x-x*|/|x*|)W2 设x=-2.18和y=2.1200都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限w(x)和w(尹)。解：|e(x)|=|e(-2.18)|W0.005，|e(y)|=|e(2.1200)|W0.00005，所以s(x)
2、=0.005,S(y)=0.00005。3 下近似值的绝对误差限都是0.005，问各近似值有几位有效数字兀=1.38,x2=0.0312,x3=0.00086解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x1,x2,x3有效数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字，x2具有一位有效数字，x3具有零位有效数字。4已知近似数x有两位有效数字，试求其相对误差限。解：Ier(x)1W5x10-2。5设y0=28,按递推公式yn=ynl783/100(n=1,2,)计算到儿00。若取783沁27.982(五位有效数字)，试问，计算y100将有多大的误差？解：由于初值y0=28
3、没有误差，误差是由783沁27.982所引起。记x=27.982,3=x-783。则利用理论准确成立的递推式yn=yn-1-783/100和实际计算中递推式Yn=Yn-1-x/100(Y0=y0)两式相减，得e(Y)=Y-y=Y-y-(x-783)/100nnnn-1n-1所以，有e(Yn)=e(Yn-1)-/100利用上式求和艺e(y)=艺e(y)-3nn-1n=1n=1化简，得e(Y100)=e(Y0)-=所以，计算y100的误差界为sY)3=0.5X0.001=5X10-41006求方程x2-56x+1=0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D=b2-4qc至少要取几位有效数字？如果利
4、用韦达定理，D又应该取几位有效数字？解：在方程中，a=1,b=-56,c=1,故D=562-455.96427,取七位有效数字。由求根公式b+x=1b24ac56+55.964270.035732a22具有四位有效数字，而bxb试统计需要用多少次乘法和加法才能计算出该和式的值；为了减少计算工作量，将和式作等价变换，变换后需要多少次乘法和加法解(1)所用乘法次数1+2+3+n=n(n+1)/2，4ac-5655.96427111.9642722a22则具有八位有效数字。如果利用韦达定理，首先计算出笔，利用12x=1x256+562-4计算，只需取D=562-455.96四位有效数字即可保证方程的
5、两个根均具有四位有效数字。此时有，兀1=0.01786,兀2=55.98。17设s=2gt2，假定g是准确的，而对t的测量有土0.1秒的误差，证明当t增加时s的绝对误差增加，而相对误差减小。证明由于e(s)=gte(t),er(s)=2e(t)/t。而|e(t)|W0.1，所以，对这一问题，当t增加时s的绝对误差增加，而相对误差减小。8序列yn满足递推关系yn=10yn1-1(n=1，2，)。若取y0=21.41(三位有效数字)，按上述递推公式，从y0计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解取x0=1.41，记e(x0)=1.41-2。根据xn=10xn-1-1(n=1，2，)得e(x
6、n)=10e(xn1)(n=1，2，10)所以e(x10)=1010e(x0)从y0计算到y10时误差估计为：|e(x10)|=1010Ie(x0)|W0.5X108。这是一个数值不稳定的算法。9f(x)=ln(x-x2-1)，求f(30)的值，若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(x-x2-1)=-ln(x+x2-1)计算，求对数时误差有多大？解令y=xx21，则当x=30时，y=30-29.9833=0.0167有三位有效数字，其相对误差为10-3。由第一题结论，求对数时误差为10-3。若改用等价公式，令z=x+x21，则当x=30时，y=30+29.9833
7、=59.9833有六位有效数字，其相对误差为10-6。由第一题结论，求对数时误差为10-6。10已知有求和式ij加法次数：0+1+2+(n1)+(n-1)=(n+2)(n-1)/2；(2)将和式等价变形为：力a工biji=1j=1所用乘法为n次，加法次数不变，仍为(n+2)(n-1)/2。11试构造一个算法，对输入的数据,兀2，Xn，以及X(均为实数)，算法输出为(XX0)(x-x1)(x-x2)(x-xn)的计算结果。解算法如下：第一步：输入x；X0,X，x2，xn，M(xx0)；k0；第二步：MMx(xx0)；kk+1；第三步：判断，若kWn,则转第二步；否则输出M,结束。n.11112利用级数公式=1-3+57+可计算出无理数兀的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值Ian+1|。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。k=1解由部分和知，截断误差满足|S-nn42n+1显然，为了得到三位有效数字的近似值，绝对误差限应该为0.0005=5X10-4。只需令151=一2n+1_100002000所以，当三1000时，部分和至少有三位有效数字。3
数值分析课后答案1
