旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

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1、旋转曲面的参数方程利用正交变换作旋转众所周知，yOz坐标面上的曲线F(y,z)0绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为F(px2,y2,z)0(1)(见同济大学高等数学(5版上册)，313页)。如果以上曲线的方程能写成显函数yf(z)(azb)，则该旋转曲面的方程为Jx2,y2f(z)或x2+y2f(z)2(2)这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点P(0,y,z)，这个方程给出圆心在(0,0,z)，半径为f(z)的一个垂直于z轴的圆。当z取遍a,b中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程是显函数yf(z)(azb)，我们也可以用参数方程来表示这个旋转面:x|f(z)cosyf(z)

2、|sin(02兀，azb)(3)zz这个方程的几何意义是：对每一个zea,b,参数方程给出一个半径为If(z)|的垂直于z轴的圆。当z取遍a,b中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。yf(t)如果曲线的方程能写成参数方程二、(atb)，则旋转曲面的参数方程为：zg(t)x|f(t)cosyf(t)sin(02兀，atb)(4)、zg(t)这个方程的几何意义是:对每一个tea,b，参数方程给出一个半径为|f(t)的垂直于z轴的圆。当t取遍a,b中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。xh(t)(atb)，则此曲线绕z推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为yf(t)、zg(t)轴旋转而

3、成的旋转曲面的参数方程为：x，h(t)2+f(t)2C0Sy，h(t)2+f(t)2sin(02兀,atb)(5)z，g(t)这个方程的几何意义是：对每一个tea,b，参数方程给出一个半径为h（t）2+f（t）2的垂直于z轴的圆。当t取遍a,b中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学高等数学（5版上册），322页）。例1yOz坐标面上的圆（y-b）2+z2，a2（0ab）绕z轴旋转而成的旋转曲面为一圆y，b+acost环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为（0t2兀），z，asint再用方程（4）得到圆环面的参数方程：x，b+acostcosy，b+acostsi

4、n（02兀，0t2兀）z，asint如图1（取a，1,b，3）图1圆环面绘制图1的Mathematica程序：a=1;b=3;xxt_:=O;yyt_:=b+aCost;zzt_:=aSint;rt_:=Absyyt;xt_,theta_:=rtCostheta;yt_,theta_:=rtSintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,0,2Pi,PlotStyle-Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,0,2Pi,

5、theta,0,2Pi,PlotPoints-40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-5,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-5,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange-5,5,-5,5,-3,3,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-5,4,

6、3”x，1例2空间直线y，t（atb）绕z轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程z，2t（5）得到单叶双曲面的参数方程：x，1+12cos0y，1+12sin0（002兀，atb）z，2t（见同济大学高等数学（5版上册），322页）。如图2图2单叶双曲面绘制图2的Mathematica程序：xxt_:=1;yyt_:=t;zzt_:=2t;rt_:=Sqrtxxt入2+yyt入2;xt_,theta_:=rtCostheta;yt_,theta_:=rtSintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,-1.2,1.

7、2,PlotStyleRed,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,-1,1,theta,0,2Pi,PlotPoints-40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=Show

8、X,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange-2,2,-2,2,-3,3,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-5,4,3从图2看出，用参数方程(5)绘制的曲面上的母线并不是原来那条直线(图中红色的直线)绕Z轴旋转时留下的直线族。为了绘出以圆曲线在旋转时的曲线族为母线的曲面，我们必须利用旋转曲面的另一种参数方程。这要用到直角坐标系中的旋转变换。平面直角坐标系xOy中一个点P(x,y)绕原点逆时针旋转角度，后的点Q(X,Y)的坐标为X二xcos,-Y=xsin,+Y丿Isin,6）如图3。（见同济大学线性代数（5版），32页）同理，空间直

9、角坐标系Oxyz中一个点P（x,y,z）绕z轴旋转角度,（从z轴正向看去为逆时针方向）后的点Q（X,Y,Z）的坐标为X=xcos一ysinrxrcos，sin0(xY=xsin+ycos或Y=sincos0y(7Z=zZ丿001丿z丿x=h(t)因此利用正交变换(7),空间曲线y=f(t)、z=g(t)参数方程又可以写成：(atb)绕z轴旋转而成的旋转曲面的rxrcos，sin0rh(t)、y=sincos0f(t)(02兀，atb)z丿001丿g(t)丿例1中的圆环面的参数方程可以改写成：8)rxrcosrrsin，sin0r0rry=cos0b+acost(02兀，0t2兀)z丿001丿、

10、asint丿例2中的单叶双曲面的参数方程可以改写成：rxrcosrrsin，sin0r1rrty=cos0(02k，atb)z丿001丿2t丿我们用这个参数方程来作图(图4)：图4单叶双曲面图4清楚地显示了那条红色的直线在绕z轴旋转时留下的直线族。绘制图4的Mathematica程序：rt_:=1,t,2t;Atheta_:=Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta,0,0,0,1；Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle-Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPl

11、ot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2Pi,Mesh-10,20,PlotPoints-40,AspectRatio-Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-3,3,PlotStyle-AbsoluteThickness3XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRan

12、ge-2,2,-2,2,-3,3,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-6,3,3同理，我们可以很方便地得到空间曲线绕y轴或x轴旋转而成的旋转曲面的参数方程。”x，h(t)结论：设有空间曲线y，f(t)(atb)，则利用绕坐标轴旋转的变换，该曲线分别绕、z，g(t)三个坐标轴旋转而成的旋转曲面的参数方程分别是：(1)绕z轴旋转:,x，cos-sin0、，h(t)、ysincos0f(t)z丿001丿g(t力2)绕y轴旋转:,x，cos0-sin、，h(t)、y010f(t)z丿、sin0cos丿g(t力(02兀,atb)(8)(02兀,atb)(9),x，100、，

13、h(t)、y0cos-sinf(t)z丿、0sincos丿g(t力(3)绕x轴旋转:(02兀,atb)(10)例3求空间曲线x二t,y二t2,z二壬(-1t1)绕y轴旋转而成的旋转曲面的参数方程,x，cos0-sin、ty010t2z丿、sin0cos丿1-1313丿并作图。解根据方程(9)，旋转曲面的参数方程是:(02兀，-1t1)如图5。图5绕y轴旋转的曲面绘制图5的Mathematica程序：rt_:=t,t入2,t入3/3;Atheta_:=Costheta,0,-Sintheta,0,1,0,Sintheta,0,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,

14、t,-1.1,1.1,PlotStyle-Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2Pi,Mesh-10,20,PlotPoints-40,AspectRatio-Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-1,1,PlotStyle-AbsoluteThickness3Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.5,1.5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,Plo

15、tStyle-AbsoluteThickness3XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange-2,2,-0.5,1.5,-1,1,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-6,3,3例4求空间曲线x二t,y二t2,z二3(-1t1)绕x轴旋转而成的旋转曲面的参数方程，并作图。解根据方程(10)，旋转曲面的参数方程是：(1x0cossin0、-sincos,12(1+13)V3丿(02兀,如图6:(1x(1x图6绕x轴旋转的曲面绘制图6的Mathematica程序：rt_:=t,t入2,(1+t入3)/3;Atheta_:=

16、1,0,0,0,Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle-Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2Pi,Mesh-10,20,PlotPoints-40,AspectRatio-Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-1,1,PlotStyle-AbsoluteThickness3Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange-1,1.4,-1.5,1.5,-1.2,1.2,B