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1、华罗庚-，江苏金坛人，初中毕业后刻苦自学，主要从事解析数论、矩阵几何学等领域的研究并取得突出成绩，在解决高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题改良、近世代数论方法应用研究等方面获出色成果年中选美国科学院外籍院士，同年被聘为第三世界科学院院士12不定方程组解读课标如果一个方程组中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程组叫做不定方程组不定方程组的解是不确定的，一般不定方程组总有无穷多个组解，但假设加上整数或正整数解的限制，那么不定方程组的解有无数组，或有限组，或不存在简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是，为整数，且，及之相关的性质有：1无整数解的判定方法假设，而，那么方程没有整
2、数解2全部整数解的表示假设方程有一组解特解，那么方程全部整数解通解可表示为：为整数问题解决例1 某班级为筹备运动会，准备用元购置两种运动服，其中甲种运动服元/套，乙种运动服元/套，在钱用尽的条件下，有种购置方案试一试 设购置甲、乙两种运动服套数为套、套，那么，即将问题转化为求不定方程的正整数解的个数例2 如图，在高速公路上从千米处开场，每隔千米设一个速度限制标志，而且从千米处开场，每隔千米设一个测速照相标志，那么刚好在千米处同时设置这两种标志问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是 A千米 B千米 C千米 D千米试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为、，为自然数)，问题转化为求不定方
3、程的正整数解例3 1求方程的全部整数解；2求方程的正整数解试一试 对于，先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解例4 某中学全体师生租乘同类型客车假设干辆外出春游，如果每辆车坐人，就会余下人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？每辆车的容量不多于人试一试 设原先租客车辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐人，那么，解此不定方程即可例5 购置铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需元；购置铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需元问购置铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需多少元？分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为、，那么，需求的值解法1 原方程组变
4、形为，解得解法2 把直接用、的式子表示解法3 ，需求出，原方程组变形为，得，百钱买百鸡例6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？分析及解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为，那么有通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解，得，即 到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法别离整系数、运用整除求出它的通解由得，令，那么，这样，得到方程组的通解为为非负整数 解得令，得以下四组解： 数学冲浪1假设方程有一组解为那么方程的通解可表示为2假设方程有一组整数解为那么由此得方程的通解为3用一元钱买面值分、分、角的种邮票共张，每种邮票至少买
5、一张，共有种不同的买法4某步行街摆放有假设干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成，乙种盆景由朵红花和朵黄花搭配而成，丙种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成这些盆景一共用了朵红花，朵紫花，那么黄花一共用了朵5方程的正整数解的个数是 A B C D6为了奖励进步较大的学生，某班决定购置甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为元、元、元，购置这些钢笔需要花元；经过协商，每种钢笔单价下降元，结果只花了元，那么甲种钢笔可能购置 A支 B支 C支 D支7三元方程的非负整数解的个数有 A个 B个 C个 D个8某次足球比赛的计分规那么是：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某
6、球队参赛场，积分，假设不考虑比赛顺序，那么该队胜、平、负的情况可能有 A种 B种 C种 D种9一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团人准备同时祖用这三种客房共间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？10某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，方案一年生产安装辆由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进展电动汽车的安装生产开场后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车1每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？2如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人
7、和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？3在2的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元的工资，给每名新工人每月发元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额元尽可能的少？11一个盒子里装有不多于粒棋子，如果每次粒、粒、粒或粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次粒地取出，那么正好取完间盒子里共有多少粒棋子？思维方式天地12正整数、满足，那么的最大值为13顺思逆想一年共有个月，闰年的二月是天，又有个小月，个大月，所以闰年共有天反过来思考：如果非负整数、满足等式：，那么，这样的数组、共有组，它们分别是14甲、乙
8、、丙三人进展智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答以后在抢答过程中假设甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答，抢答完毕后，总共有个问题没有任何人答对，那么甲、乙、丙答对的题数分别是15有甲、乙、丙种商品，某人假设购甲件、乙件、丙件共需元；假设购置甲件、乙件、丙件共需元，那么此人购置甲、乙、丙各件共需元16如果一个两位数及三位数的积为，那么17司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三
9、位数，这三块里程碑上的数各是多少？18陈教师给名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支元的钢笔，每把元的圆规，每册元的词典，共用了元问陈教师买了多少支钢笔？多少本词典？应用探究乐园19将一个三位数的中间数码去掉，成为一个两位数，且满足如试求出所有这样的三位数20物不知其数我国南北朝时期有一部著名的算术著作孙子算经，其中有这样一个“物不知其数问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？12不定方程组问题解决例1 ，例2 C ，为所求的解例3 1，只能取偶数，得一组解，故原方程的通解为为整数2，经观察，为方程的一组解，原方程的通解为为整数解得故当取，时，可知原方程有无
10、穷多组正整数解例4 由，得，得，或，得或当时，师生总人数为人，开走一辆车，每辆载客人，及题意不符，故舍去，从而，师生共有人数学冲浪1为整数2为整数34 设甲盆景盆，乙盆景盆，丙盆景盆，根据题意得：得所以共用了黄花朵5B6D7C 当时，分别取，时，取，有个整数解；当时，有个整数解，当时，有个整数解；当时，只有组整数解，故非负整数解共有个8D 设该队胜场，平场，负场，都为整数，且，那么，解得，那么，9设租二人间间，三人间间，四人间间，那么得，均为正整数，有，；，故有两种租房方案101；2工厂有种新工人的招聘方案；3满足题意要求的招聘方案为：招聘名新工人和抽调名熟练工，此时工厂每月支出的工资总额最少，为元11设盒子里共有粒棋子，那么被，的最小公倍数除时，余数为，即为自然数，又为自然数，得，因，故，得，所以，即盒子里共有粒棋子12 ，时，最大值为13；，14或 设甲、乙、丙分别答对、个问题，那么，即，解得，但不可能自己对自己提问，所以解中不可能有两个零1516 ，那么或或因，那么只能是，当时，故，17设第一次看到两位数为，由题意得，整理得，显然，故三块里程碑上的数分别为，18钢笔支，词典册19因，那么，化简得，这里、，且，因为质数，故故那么，20此数可写成或或形式，得，于是把问题转化为求、的最小正整数值、的最小正整数为，物数的通解公式为为非负整数为什么？，物有
七年级数学思维探究12不定方程组含答案
