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1、圆一、知识回顾圆的周长：C=2r或C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r或S=（R-r）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、
2、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切d=r有一个交点；3、直线与圆相交dR+r；外切（图2）有一个交点d=R+r；相交（图3）有两个交点R-rdR+r；内切（图4）有一个交点d=R-r；内含（图5）无交点dR-r；dddRrRrRr图1图2图3dRrdrR图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直
3、于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径ABCDCE=DE弧BC=弧BD弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCDCODO弧AC=弧BDABCEDB六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对
4、的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，E即：AOB=DOE；AB=DE；FOOC=OF；弧BA=弧BDDACB七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角CAOB=2ACBBOA2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O中，C、D都是所对的圆周角C=DDBOCA推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是
5、直径。即：在O中，AB是直径或C=90C=90AB是直径CBOA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。C即：在ABC中，OC=OA=OBABC是直角三角形或C=90BOA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等的一半的逆定理。八、圆内接四边形于斜边圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形ABCD是内接四边形C+BAD=180B+D=180CDDAE=CBAE九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN
6、OA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。OMAN推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线BPA=PBPO平分BPAPOA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，BODPAPB=PCPDCPA（2）推论：
7、如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，CBOEADCE2=AEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线APA2=PCPBDEPO（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的两条线段长的积相等（如上图）。即：在O中，PB、PE是割线PCPB=PDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：OO垂直平分AB。12CAB的交点即：O、O相交于A、B两点12O1O2OO垂直平分AB12十三、圆的公切线B两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：RtDOOC中，AB2=CO2=OO2-CO2；121122（2）外公切线长：CO是半径之差；内公切线长：CO是半径之和。22ACO2BO1十四、圆内正多边形的计算C（1）正三角形在O中ABC是正三角形，有关计算在RtDBOD中进行：OOD:BD:OB=1:3:2；BDA（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtDOAE中进行，OE:AE:OA=1:1:2：BACOED（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtDOAB中进行，AB:OB:OA=1:3:2.OBA
(人教版)2019年数学初三上学期各单元知识点总结四
