量子力学考研2021配套考研真题集

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1、量子力学考研2021配套考研真题集一典型真题解析设氢原子处在R21Y11态，（1）求势能r的平均值；（2）求轨道角动量二：的平均值。复旦大学2004研【解题思路】 氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关； 对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理； 轨道角动量力学量二二的本征方程。【解析】（1）对于中心力场，由维里定理可得因为所以4口（2）令4二右十纨_二右七知识储备】氢原子本征方程本征能量为本征波函数为维里定理如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为（牛#W）二笋）（L2,Lz）有共同的本征

2、函数球谐函数Ylm（e,们角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为矽5 %备如嗟）+嘉务相应的本征方程分别为乩林次+1）电（裁）*岫5心岫【拓展发散】假定氢原子的波函数为三；.，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量二：的 平均值的通式。7质量为廉勺粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系 统处于状态/，。土 二,A为常数。（1）写出t时刻系统的波函数客顷；（2）求出t时刻系统的平均能量。中国科学技术大学2012研【解题思路】根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。【解析】（1）以所在平面为XOY平面

3、，则系统的哈密顿量可以写为：其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为：容易解得相应的能量本征值为：可见，对于-二:，能级是二重简并的；当一二：时，能级非简并。A = -j= ，可得r，从而我们已经将】）按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：=-一s st2cJ3町（2）t时刻系统的平均能量为：其中，京一【知识储备】 薛定谔方程波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U( r ,t)与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部 一分的函数分开考虑，y( r )满足定态薛定谔方程孑顶)=顷习此方程即是能量算符的本征方程。.-，人 在某一表象下，算符F在W态中

4、的平均值为F = Jdw*万时8设有一个质量为m的粒子处于(0,a )区域的一维无限深势阱中，其状态波函数为;-二-二，试求解以下问题：(1) 维无限深势阱的本征值；(2) 测量到的粒子处于不同能量本征态的几率；(3) 测量到的粒子能量平均值。南京大学2014研【解题思路】 对于一维无限深势阱中的粒子，一般假定势能不随时间变化，这是定态问题， 显然，这可以直接使用薛定谔方程来求解本征波函数和本征能量;由薛定谔方程求解出的一维无限深势阱中的粒子的本征波函数构成正交归 完备集，所有的波函数都可以用此完备集展开; 量子力学中一个力学量的测量会引起波包塌缩，各个对应本征态的几率可以对 相应完备展开式做

5、傅里叶变换得出。【解析】（1）由题意可知，在一维无限深势阱中运动的粒子所受的势能为V=为当W W二时，由定态薛定谔方程可得即令所以解得本征能量为1-气(.x(xdx H 一H - - x-acx(H crdxH 一 七?)2导，sHa esHBrsafflaM口宙曾揄K c 2 丈 Isn(At & aDxxru幻耳N一 2I馆巨AdxH CJ土 (ID* Tlrl-rc-/lrl)(l)HyR/c kPI在阱内(|x| a)，体系所满足的定态薛定谔方程是，定态薛定谔方程是体系的能量本征值本征函数力学量完备集任一函数w（ X ）可以用一组完全系fn（X ） 来表示冲）=插皿其中，cn常被称为概

6、率振幅，可由下式计算同时满足莎I =1其物理意义是：当体系处于波函数w（x）描写的状态时，测量力学量E所得的 值，必定是算符F的本征值之一，测得F = An的概率为|cn|2。力学量F的平均值称为期望值，可表示成歹=2?小j【拓展发散】 由于外力的作用，分为两种方式改变一维无限深方势阱的阱宽，一种是缓慢改 变，另外一种是急剧改变，缓慢改变的方式还可以结合绝热近似进行考察； 借助一维无限深方势阱的物理模型，也可以考察在本征态中一些力学量对应的 矩阵形式。9试给出以下量子力学基本概念的中文翻译、定义与相关公式：(1) Eigen-function(2 ) Stationary state(3 )

7、Superposition principle南京大学2013研【解题思路】对于量子力学中的重要的概念和定义需要了解对应的英文表达，注重平常在这方 面的积累。【解析】（1）Eigen-function :本征波函数 本征方程三=，其中为本征波函数，f为本征值。（2）Stationary state :定态 定态波函数的形式为（3）Superposition principle :叠加原理 如果yy2、yn、.是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式 为c1y1 + c2y2 + . + cnyn + .,也是微观粒子的可能状态。【知识储备】 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们

8、的本征函数组成完全系。厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。a.当算符:的本征函数组成分立谱时，有 b.当算符:的本征函数组成连续谱时，有波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出一一当U( r ,t)与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部 分的函数分开考虑，y( r )满足定态薛定谔方程孑顶)=顷习此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量 定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。10简答题：(1)波函数有没有物理含义？它的物理含义体现在哪里？物理上对波函数

9、有哪 些要求？(2 )在希尔伯特(Hilbert)空间中，正交归一的完备基矢组设为，试分别 就分立谱和连续谱情形，写出这组基矢完备性的数学表达式。(3)-束单能量无相互作用的粒子流，经中心势场V(r)弹性散射后，在r =w =.产 + f(&)8处的渐进解为,试解释表达式中的第一项和第二项的物理意义，并说明,拦的含义。厦门大学2011研【解题思路】对于波函数、基矢完备性和弹性散射粒子波函数等基本概念和定义在复习的时候 需要理解清楚，这也有助于综合型题目的分析和解决。【解析】（1）波函数本身没有物理含义，波函数的平方代表粒子在空间出现的概率密度， 将波函数的平方对空间积分则代表粒子在空间出现的概

10、率。波函数必须满足的三个基本条件: 有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大;单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种;连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。（2）分立谱连续谱. （3）.表示入射波波函数， * 表示球散射波波函数，f（e,中）称为散 射振幅，满足微分散射截面q（e,们=|f（e,们|2。【知识储备】 玻恩对波函数的统计解释波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方|y（ r ,t）|2）和在该点（x , y,z）找到粒子的概率成比例。力学量存在连续谱和分立谱时，则w（x）可表示为甲0=2。液+J城0沥其中m十诉&=i力学量=

11、的平均值可以表示为S3 盅 H 园汨*照、sslosf【蚩】 -ii- 9 900Z 正-K厂国CWMVBHsiwp丑 N z s-SSEfia叵何(90)薜溜赧长回节骂a暇(90) b lis - lis武旧*同撤图怒、n P#J 十sm-4则式左边可以得出I二三，式右边可以得出T vI Y ;n V pv = mr lx mr ZEx x2出现矛盾，因此假设是错误的。【知识储备】 德布罗意公式：德布罗意受光的波粒二象性启发，提出微粒具有波粒二象性的假设，即微粒的粒子性(E,p)与波动性(V,入或3,k )的关系满足：E =如v =脸- h _ 必p = yr = hK12粒子作一维运动时，

12、常将Px简写为P.设F(x,p )是x,p的整函数，即gp)= v qxy3二：，证明：*=枷产厦门大学2006研【解题思路】 熟练掌握力学量的对易关系恒等式； 对于坐标和动量的对易关系要熟记。【解析】(1)因为x: p = jfi所以瓦=瓦所=？_*+=伊+可毛广=您z + P2 p：pM + P孟 p此-渣pZ + p2 寻pZ十P清广：=2i如4 + p2 工;p即由递推关系可得心矿 1= ihnp(2)=玉 CMxp_M.r0=S 淅 =滴云 UB玩：垢0CP 宇【知识储备】 对易式中满足的基本恒等式A，BC = BA ,C + A, BCx与p满足的对易关系八,以i（。）奴。用=1对于态w先归一化。利用11 迪* 1 cos 2q)J3巫J由