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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1垂直于同一条直线的两条直线一定( )A平行B相交C异面D以上都有可能2正四棱柱中，则异面直线所成角的余弦值为( )ABCD3经过平面外两点与这个平面平行的平面( )A可能没有B至少有一个C只有一个D有无数个4点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若ACBD，且AC与BD所成角的大小为90，则四边形EFGH是（ ） A菱形B梯形C正方形D空间四边形 5已知 m，n 为异面直线，m平面 a，n平面 b，a bl，则( )Al与m，n都相交Bl与m，n中至少一条相交Cl与m，n都不相交Dl只与m，n中一条相交6在长方体
2、ABCD-A1B1C1D1中，ABAD2，CC1，则二面角C1-BD-C的大小为( )A30B45C60D907如果平面 外有两点A，B，它们到平面 a 的距离都是a，则直线AB和平面 a 的位置关系一定是( )A平行B相交C平行或相交DABa8设m，n是两条不同的直线，a，b 是两个不同的平面下列命题中正确的是( )Aab，ma，nbmnBab，ma，nbmnCma，nb，mnabDab，abm，nmnb9平面 a平面 b，AB，CD是夹在 a 和 b 之间的两条线段，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与 a 的关系是( )A平行B相交C垂直D不能确定(第10题)10平面 a平面 b，A，
3、B，AB与两平面 a，所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，则ABAB 等于( ) A21B31C32D43二、填空题11下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为 DCAB(第11题) 12正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是 (第12题)ABCA1B1C1EF 13如图，AC是平面 a 的斜线，且AOa，AO与 a 成60角，OCa，AA a 于A，AOC45，则点A到直线OC的距离是 (第13题)14已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为 15已知a，
4、b为直线，a 为平面，aa，ba，对于a，b的位置关系有下面五个结论：平行；垂直不相交；垂直相交；相交；不垂直且不相交 其中可能成立的有 个三、解答题16正方体AC1的棱长为a(1)求证：BD平面ACC1A1；(2)设P为D1D中点，求点P到平面ACC1A1的距离POECDBA(第17题)17如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：(1)PA平面BDE ；(2)BD平面PAC(第18题)18如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90(1)求证：PCBC；(2)求点A到平面PBC
5、的距离D1C1B1A1CDBA(第19题)19如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：AC平面B1D1DB；(2)求证：BD1平面ACB1；(3)求三棱锥B-ACB1体积(第20题)20. 已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且l(0l1)(1)求证：不论 l 为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当 l 为何值时，平面BEF平面ACD？参考答案一、选择题1D解析：当垂直于直线l的两条直线与l共面时，两条直线平行；当这两条直线与l不共面时，两条直线平行或相交或异面2D解析：当将AD1平移至BC1，连接A1C
6、1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.在A1BC1中，容易计算A1BBC1，A1C1由余弦定理得cosA1BC13A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在4C解析：依条件得EFAC，GH AC， EF GH又EHBD，FGBD， EHFGABBC，EFEH AC与BD所成角的大小为90， EF与EH所成角的大小为90四边形EFGH是正方形5B解析：对于A，满足条件的直线l可以与m，n中一条相交；对于C，若l与m，n都不相交， l分别与m，n共面， lm，ln mn矛盾；对于D，满足条件的直线可以与m，n都相交6A解析：若设AC，BD交于点O，连接
7、C1O，则BDCO，BDC1O COC1是二面角C1-BD-C的平面角tanCOC1 COC1307C解析：当A，B两点在 a 同侧时，直线AB和平面 a 平行；当A，B两点在 a 异侧时，直线AB和平面 a 相交8B解析：对于A，ab，ma，nb，m，n可以不垂直； 对于C，ma，nb，mn，a，b 可以不垂直；对于D，ab，abm，nm ， n，b 可以不垂直9A解析：设A，Ca，B，Db， 若AB，CD共面，ab， ACBD. E，F分别为AB，CD的中点， EFAC，且EFa，ACa， EFa若AB，CD为异面直线，则过点F做直线MNAB，MN交 a 于M，交 b 于N，则MCND F
8、为的MN中点EFAM，且EFa，AMa， EFa(第10题)10A解析：连接AB，AB，于是ABA，BAB.设ABa， ABacosa，BBacosa ABa ABAB21二、填空题1160ABCA1B1C1EF G(第12题)解析：将展开图恢复为正方体时，点B，D重合， AB，CD，AC三条面对角线构成等边三角形， 直线AB，CD所成角的大小为6012如图，取A1B1的中点G，连接FG，EG，FG1，EG 2， EFABCOA(第13题)13a解析：如图过点A作ABOC，垂足为B，连接AB，点A到直线OC距离是AB依条件得AAa，AOa，ABa ABa a1460解析：依条件可知正四棱锥底面
9、中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为2， 侧面与底面所成的二面角的余弦值是 侧面与底面所成的二面角的大小是60155解析：依条件可知当aa，ba 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立三、解答题ABCA1B1C1PDD1O(第16题)16 证明：(1) AA1AB，AA1AD，且ABADA， AA1平面ABCD又BD平面ABCD， AA1BD又ACBD，AA1ACA， BD平面ACC1A1 (2) DD1AA1，AA1平面ACC1A1， DD1平面ACC1A1 点P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离. 也就是点D到平面ACC1A1的距离，设
10、AC BDO，则DO的长度是点D到平面ACC1A1的距离POECDBA(第17题)容易求出DOa P到平面ACC1A1的距离为a17证明：(1)连接EO， 四边形ABCD为正方形， O为AC的中点 E是PC的中点， OE是APC的中位线 EOPA EO平面BDE，PA平面BDE， PA平面BDE (2) PO平面ABCD，BD平面ABCD， POBD 四边形ABCD是正方形， ACBD POACO，AC 平面PAC，PO 平面PAC， BD平面PAC18(1)证明： PD平面ABCD，BC 平面ABCD， PDBC由BCD90，得CDBC又PDDCD，PD，DC 平面PCD， BC平面PCD
11、PC 平面PCD，故PCBC(第18题)(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF， 则易证DECB，DE平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC平面PCD，平面PBC平面PCD PDDC，PFFC， DFPC又 平面PBC平面PCDPC， DF平面PBC于F易知DF，故点A到平面PBC的距离等于(第18题)(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h ABDC，BCD90， ABC90由AB2，BC1，得ABC的面积SABC1由PD平面ABCD，及PD1，得三棱锥P-ABC的体积VSABCP
12、D PD平面ABCD，DC平面ABCD， PDDC又 PDDC1， PC由PCBC，BC1，得PBC的面积SPBC VA - PBCVP - ABC， SPBChV，得h故点A到平面PBC的距离等于19(1)证明： ACBD，又BB1平面ABCD，且AC 平面ABCD， BB1AC. BDBB1B， AC平面B1 D1DB(2)证明：由(1)知AC平面B1D1DB， BD1平面B1D1DB， ACBD1 A1D1平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA， A1D1AB1又 A1BAB1且A1BA1D1于A1， AB1平面A1D1B BD1平面A1D1B， BD1AB1，又 ACAB1A， BD1平面ACB1(3)解：(方法1)1(11)(方法2)(V正方体)(第20题)20(1)证明： AB平面BCD， ABCD CDBC，且ABBCB， CD平面ABC又l(0l1)， 不论 l 为何值，恒有EFCD， EF平面ABC EF 平面BEF， 不论 l 为何值总有平面BEF平面ABC (2)解：由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD， BE平面ACD BEAC BCCD1，BCD90，ADB60， BD，AB，AC由ABCAEB，有AB2AEAC，从而AE l故当 l时，平面BEF平面ACD
必修二数学第二章点、直线、平面之间的位置关系
