非欧几何简介

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1、非欧几何简介 欧氏几何与球面几何的区别与联系 比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1： 表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异 欧氏几何球面几何直线过两点有唯一一条直线过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）直线可以无限延伸大圆是封闭的、有限的角的含义两直线的交角两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）两点间距离含义连结它们的直线段长度过两点的大圆中的劣弧弧长三角形内角和等于180大于180三角形面积底边长乘高线长的一半，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）三角形全等条件SSS，SAS，ASAS

2、SS，SAS，ASA，AAA相似性存在不全等的相似三角形同球面或等球面上没有相似三角形，不存在相似概念平行性过直线外一点有且只有一条直线与之平行任意两条直线必相交于两点；没有平行的概念勾股定理余弦定理正弦定理 通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成系统的理论。他的不朽之作几何原本不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特

3、征，见表6-2。 表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征 欧氏几何球面上的几何直线都是两点间距离最短的道路三角形的性质大边对大角，大角对大边；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。三角形全等的条件SSS，SAS，ASA 两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。 首先分析一下球面三角形的面积公式把这个公式改写成 这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。 在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。 在球面上的几何中角超大于零。 不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小，即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面

4、三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。所以我们可以说：当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。 因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。另一种非欧几何 通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？ 我们简单回顾一段几何发展史。在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就

5、是欧氏几何，它是一切科学的基础。但是到了十七、十八世纪，数学家在对几何理论的基础进行深入研究时，首先把注意力集中在“平行公理”上。 图6-1 平行公理是这样叙述的：在平面上，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线不相交(如图6-1)。 人们没有怀疑这条公理的真伪，而是感到这条公理涉及到无穷的概念，不够直观，人们希望能够证明它，或者用一条更简单、更直观的公理代替它。 在探索过程中，人们证明了平行公理与“三角形内角和等于”是等价的。即可以用“三角形内角和等于”来代替平行公理。当然，这没有什么实质意义，因为它并不比平行公理简单多少。 在经过漫长的研究历程和许多数学家的失败与挫折之后，俄国数学家罗巴

6、切夫斯基（Lobatchevsky,1793-1856）认识到“平行公理”是不可能证明的。如果用一条与“平行公理”对立的命题来替换“平行公理”，将会得到一种新的几何理论。这个命题最后被称为“罗氏平行公理”。 罗氏平行公理是这样叙述的：在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交（如图6-2）。 罗巴切夫斯基用这条罗氏平行公理代替了原来的欧氏平行公理，同时，保留欧氏几何中其他所有公理，在此基础上，推导出了一套几何理论。虽然这种几何理论中有许多看似荒谬的不符合人类实际经验的结论，但是在逻辑上这套理论却是无矛盾的。后人就把这种几何理论称为罗氏几何。这也是人们最早发现的非欧几何。 在罗

7、氏平面几何中，过已知直线AB外一点C有无穷多条直线与已知直线AB不相交。当然还有无穷多条直线与已知直线AB相交。因此存在两条界限直线b和，界于交与不交两类直线之间。这两条直线称为直线AB的平行线。过点C的其它与AB不相交的直线称为AB的离散线。 图6-3 图6-4 图6-5 图6-6 罗巴切夫斯基证明了： 两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离（如图6-3）； 三角形的三个内角之和小于（如图6-4）； 存在边长无限而内角和为零的三角形（如图6-5）； 罗巴切夫斯基在世时，由于罗氏几何的结论与人类的直觉不一致，当时并没有被大多数数学家接受。1868年意大利数学家贝尔特拉米（Beltram

8、i，1835-1900）找到了一种称为伪球面的像两朵喇叭花形状的旋转曲面（如图6-6）。在这种曲面的一片区域上，他发现三角形的三个内角之和小于。这等价于这种曲面上可以建立罗氏几何。这相当于给罗氏几何找到了一种有实际意义的模型。 后来，法国数学家庞加莱（Poincare,1854-1912）构造出罗氏几何的另一个模型，这种模型有助于对罗氏几何的直观理解。具体模型如下：设C是一圆，D是C的内部，如图6-7所示。 （1）庞加莱模型中的点是D中的点，称为“罗氏点”； （2）庞加莱模型中，过点A、B的“直线”l是过点A、B的圆在D内的那部分圆弧。其中是和C在交点处垂直的圆，即在交点E、F处分别作两个圆的

9、切线，它们相互垂直。图6-7 当A、B在C的直径上时，过点A、B的“直线”即是该直径。 若D中两条“直线”（即上述圆弧）相交于圆C上，称这两条直线平行；若D中两条直线不相交时，称这两条直线离散（如图6-8）。 图6-8 根据平面几何的知识，可以得到以下结果（图6-9）： 图6-9 (1)经过两个罗氏点，有唯一的罗氏直线； (2)罗氏平行公理成立：在平面上，过直线AB外一点C，可以做无穷多条直线与AB不相交。 (3)三角形的三个内角之和小于。 庞加莱的模型说明罗氏几何可以在欧氏平面的一个开圆盘上实现。因此，只要欧氏几何是无矛盾的，罗氏几何也就是无矛盾的。有了贝尔特拉米和庞加莱等人的模型后，罗氏几

10、何逐渐被人们真正接受，成为一种典型的非欧几何。 比较欧氏几何与非欧几何的性质，我们可以总结出以下显著的差别：欧氏几何罗氏几何直线过两点有唯一一条直线过两点有唯一一条直线（垂直单位园的圆弧或单位园的直径）直线可以无限延伸直线夹角的含义两直线的交角两圆弧在交点处切线的交角两点间距离含义连结它们的直线段长度，其中C、D为圆弧的延长线与单位圆的交点三角形内角和等于180小于180三角形面积底边长乘高线长的一半，其中A、B、C为三角形的三个内角（弧度制）合同性（全等条件）SSS，SAS，ASASSS，SAS，ASA相似性存在不全等的相似三角形同圆盘或等圆盘上没有相似三角形平行性平面上，过直线外一点有且只

11、有一条直线与之平行圆盘上，过直线外一点有无穷多直线与之不相交勾股定理余弦定理正弦定理分别叫做双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切，其中， 罗氏几何的发现有着重要的理论意义。它打破了欧氏几何对人类认识的束缚，使人们认识到除了欧氏几何以外，还可以有其它的几何。为了实际问题的需要，完全可以把原本不属于几何范畴的问题，通过一种适当的解释，转化为几何问题。再根据它所遵循的基本规律，建立起一套新的几何理论。于是就构造出一种新的几何。正是在这种思想指导下，在现代数学中，才有了多种多样的几何理论。学习非欧几何的意义 1通过学习球面几何与罗氏几何，使我们看到“几何学”并不是欧氏几何的一统天下。虽然欧氏几何在我

12、们的日常生活、生产实践与科学试验中有着广泛的应用，但是在某些领域或某种场合欧氏几何并不适用。例如在地球上要测量相距较远的两地之间的距离，或者较大范围的面积时，用欧氏几何的知识会产生很大的误差，而用球面几何的知识才能真实地反映出客观现实。所以，非欧几何往往也有很重要的实际应用价值，也是我们应该学习的重要理论。 2历史上，从罗氏几何产生以来，逐步地把人们的思想从欧氏几何的束缚中解放出来。特别是使一些科学家认识到，为了解决某一类实际问题（虽然这些问题并不属于几何范畴），也可以仿照几何中的办法，建立起一个空间和一套几何理论，来适应解决这一类问题的需要。于是，人们对“几何”的理解大大扩展了。正是这种思想

13、促使数学科学获得了长足发展，使得在现在数学中出现了多种多样的几何理论，它们各自有着不同的应用范围。这种思想也逐渐形成了数学理论发展的一种模式。 3非欧几何的出现还自然而然地引发出一个问题：我们的宇宙到底是一种什么样的空间？它适用什么样的几何理论？人类对宇宙的探索从来没有停止过。长期以来，人们一直把宇宙空间简单地理解为三维欧氏空间。但是从非欧几何产生后，人们开始有了怀疑。直到二十世纪初，一些天文学家、物理学家经过反复观测与研究，证实了“光线在通过大质量星球时会产生弯曲”。在宇宙中只有光线才能代表直线，而光线又是弯曲的。这很像球面几何中只有大圆才能代表直线，而大圆是弯曲的。由此可以断定宇宙中应该适用一种非欧几何。爱因斯坦的广义相对论，也是建立在这样一种几何之上来描述宇宙的。这种几何一般称为黎曼几何。探索大自然的奇妙是全人类共同的神圣任务，而要成为一个探索者，必学掌握丰富的科学知识。