南航矩阵论第一章 矩阵论（高等教学）

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1、1行业材料教材教材:矩阵论矩阵论，戴华编，科学出版社。，戴华编，科学出版社。主要参考书：主要参考书：1.1.方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.2004.2.2.刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003.2003.3.3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000.2000.4.4.罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.2002.2行业材料第第2 2章章 线性映射与线性变换线性映射与线性变换第第1 1章章 线性空间与内

2、积空间线性空间与内积空间第第3 3章章 -矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的JordanJordan标准标准形形第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解第第7 7章章 矩阵函数与矩阵值函数矩阵函数与矩阵值函数第第5 5章章 HermiteHermite矩阵与正定矩阵矩阵与正定矩阵第第6 6章章 范数与极限范数与极限第第8 8章章 广义逆矩阵广义逆矩阵3行业材料 本章概述线性空间与内积空间的基本本章概述线性空间与内积空间的基本概念和基本理论。这些概念是通常几何空概念和基本理论。这些概念是通常几何空间概念的推广和抽象。在近代数学发展中，间概念的推广和抽象。在近代数学发展中，这些概念和理论已渗透到数学的各

3、个分支。这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。本章内容是学习本书的基础。本章内容是学习本书的基础。4行业材料1.1 预备知识：集合预备知识：集合映射与数域映射与数域1.2 线性空间线性空间1.3 基与坐标基与坐标1.4 线性子空间线性子空间1.5 线性空间的同构线性空间的同构1.6 内积空间内积空间 5行业材料1.1 预备知识：集合预备知识：集合映射与数域映射与数域1.1.1 集合及其运算集合及其运算1.1.2 二元关系与等价关系二元关系与等价关系1.1.3 映射映射1.1.4 数域与代数运算数域与代数运算6行业材料元素元素 a 属于集合属于集合 M,记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合

4、 M,记作记作1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有具有某种特定性质的事物的总体某种特定性质的事物的总体称为称为集合集合.组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集,记作记作 .Ma(或或Ma).Ma7行业材料(1)列举法列举法：按某种方式列出集合中的全体元素按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合有限集合naaaA,21自然数集自然数集,2,1,0Nn(2)描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。xM x 所具有的特征所具有的特征例例:整数集合整数集合 ZxNx或Nx

5、有理数集有理数集qpQ,N,Zqp p 与与 q 互质互质实数集合实数集合 Rx x 为有理数或无理数为有理数或无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 8行业材料是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,BA BA定义定义2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如,ZNQZRQ显然有下列关系:;)1(AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 AB 9行业材料AcABB并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:余集)(ABBABcA其中ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回

6、结束 Bx或10行业材料由集合的交与并运算的定义，显然有由集合的交与并运算的定义，显然有BAABAB AAA AA ABA BBA AAA A11行业材料定理定理 1.1.1 设设A A、B B、C C是三个集合是三个集合,则则(1).,ABBAABBA交换律：(2).()()()()ABCABCABCABC结合律:(3).:()()()()()()ABCABACABCABAC分配律12行业材料ABBA特例:RR记2R为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.2 1.1.2 二元关系与等价关系二元关系与等价关系定义定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对的集合 为A与

7、B 的笛卡笛卡儿积儿积，记作 ，即 ,|),(BbAabaBA,|),(BbAabaBA13行业材料定义定义1.1.31.1.3 设设A A、B B是两个集合是两个集合，的子集的子集R R 称称为 中的一个中的一个二元关系二元关系，即按某种即按某种规定，定义了一个有序对规定，定义了一个有序对(a,b)的集合的集合R，其中其中BABA,.aA bB特别地，特别地，中的二元关系简称为中的二元关系简称为A上的上的二元关系。二元关系。AA实质实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素二元关系是描述两个集合之间元素与元素的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系，的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关

8、系，它是它是满足某种规律的有序对全体满足某种规律的有序对全体。记为：aRb.14行业材料例 1：(B1,2,3AAB设甲，乙，丙，丁 四个人），（三套房间），与 之间是一个住宿关系。例 2：A=A=矩阵论五班学生矩阵论五班学生。RA显然，均来自于南京的同学关系 是 上的一个二元关系。想一想想一想：在该例中还存在什么关系？AB为上的一个二元关系。(),(),(),()RA B显然，甲，1乙，3丁，3丙，215行业材料例：例：4321aaaa李兰，陈平，王兵，张华是学生集合是学生集合 4321bbbb遥感，自动化，硬件，软件是专业集合是专业集合 则：则：1 1（1 1，1 1），（），（1 1，3

9、 3），），（2 2，2 2），（），（2 2，4 4），），（3 3，3 3），（），（3 3，4 4）,（4 4，1 1），（），（4 4，4 4）是选双学位专业的二元关系。是选双学位专业的二元关系。16行业材料定义定义1.1.41.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足（1）自反性：对任意 ，有aRa；（2）对称性：对任意 ，如果aRb，则bRa；（3）传递性：对任意 ，如果 aRb，bRc，则aRc则称则称R R是是A A上的一个上的一个等价关等价关系系。AaAba,Acba,17行业材料定义定义1.1.51.1.5 设R是A上的一个等价关系，称 为a关于R的等价类等价类。A的所有元

10、素关于R的等价类集合 称为A关于R的商集商集。Aa,|xRaAxxa|AaaRA特点特点：1.1.同一等价类之间有关系同一等价类之间有关系R,R,而不同等价类之间而不同等价类之间无此关系。无此关系。2.2.由对集合中各元素性质的研究转化为对一个由对集合中各元素性质的研究转化为对一个等价类的研究，大大减少了工作量。等价类的研究，大大减少了工作量。18行业材料A=A=矩阵论五班学生矩阵论五班学生，R:R:为同性别关系。为同性别关系。例 4：RR11则【男】男生，【女】女生。11/,.RA RR【男】【女】例例 5 5：张扑克张扑克1 1（，）与同花，是扑克（，）与同花，是扑克2 2（，）与同点，是

11、扑克（，）与同点，是扑克19行业材料 1 1把分为四类同花类，把分为四类同花类，则则 2 2把分为类同点类。把分为类同点类。20行业材料 定义定义1.1.61.1.6 设每个 都是集合A的非空子集，如果 ，并且对任意 ，当 时有 ，则称 是A的一个分类分类。)(IiBiIiiBAIji,ji jiBB iB21行业材料定理定理1.1.2 （1）集合集合A上的每个等价关系上的每个等价关系R 都决定都决定A的一个分类。的一个分类。（2）集合集合A的每个分类都决定的每个分类都决定A 上的一个等价关系。上的一个等价关系。证明证明（1）如果如果R是是A上的等价关系，则上的等价关系，则 A/R给出了给出了

12、A的一个分类的一个分类。（2）如果如果 是是A的一个分类，令的一个分类，令 存在存在 ，使得，使得 则则R是是A上的一个等价关系。上的一个等价关系。iB|),(yxR iB,iiByBx22行业材料定义定义1.1.6 若集合若集合A上的一个二元关系上的一个二元关系R满足满足（1）自反性：对任意自反性：对任意 ，有有aRa；Aa（2）反对称性：对任意反对称性：对任意 ，如果，如果aRb，且且bRa，则则a=b；Aba,（3）传递性：对任意传递性：对任意 ，如果，如果 aRb，bRc，则，则aRcAcba,则称则称R是是A上的一个上的一个偏序关系偏序关系，记为，记为“”。若。若是集合是集合A上的一

13、个偏序关系，则称上的一个偏序关系，则称A是关于是关于偏序关系偏序关系的偏序集，记为（的偏序集，记为（A,）。）。23行业材料定义定义1.1.6”设（设（A,）是一个偏序集，如）是一个偏序集，如果对任意果对任意 ，总有，总有 或或 则称则称是集合是集合A上的顺序关系，并称（上的顺序关系，并称（A,）为序集或序空间。为序集或序空间。Aba,ba ab 24行业材料1.映射的概念映射的概念 南航学生的集合南航学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号矩阵论矩阵论5班学生班学生的集合的集合531教室座位教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1.25行业材料设

14、X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 26行业材料机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Df手电筒DD1D映射f 27行业材料恒等

15、映射（单位映射）恒等映射（单位映射）I：.)(,:,aaIAaAAIA有的映射，对为一个非空集合设28行业材料对映射YXf:若YXf)(,则称 f 为满射满射;XYf)(Xf若,2121xxXxx有)()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.XY)(Xff机动 目录 上页 下页 返回 结束 29行业材料设设111:BAf222:BAf如果如果)()(,2112121afafAaBBAA有并且对任意则称映射则称映射21ff 与.21ff 记为相等相等，30行业材料1.1.8 逆映射的定义 定义定义:设有映射,:BAf若存在一新映射

16、,:ABg使习惯上 计为例如,映射,0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 xBAf1f,.,.BAIgfIfg为恒等映射，BAII,称此映射g为 f 的逆映射,机动 目录 上页 下页 返回 结束.1f若f有逆映射，则称f可逆.31行业材料 定理定理1.1.4 设映射设映射f:ABB是可逆的，则是可逆的，则f 的逆的逆 映射映射 是唯一的。是唯一的。1f32行业材料 12.ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 B2f手电筒A1fCC引例引例.复合映射 A21.ff33行业材料 定义定义1.1.9 设设A、B、C是三个非空集合，并是三个非空集合，并设设 有两个映射有两个映射,:,:21CBfB

17、Af由由21,ff确定确定 A 到到 C 的映射的映射)(:123Aaaffaf称为称为映射映射21ff 和的的乘积（复合）乘积（复合），记为，记为123fff34行业材料)(2BfY)(2ufy )(12xffBAx)(1xfu 1f2f12ff)(1Af机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:构成复合映射的条件 BAf)(1 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.C C35行业材料定理定理1.1.3 设有映射设有映射,:,:21CBfBAf则有,:3DCf;)()()1(123123ffffff.)2(111ffIIfBA注意：复合映射一般不满足交换律。注意：复合映射一般不满足交换律

18、。1212(1)2(1)1(2)1(2)11,2.,.ffffABC如设定义：21212.)(1)(1)(2)1,fffff则(而12121(.)(1)(1)(1)2,f ffff2112.fff f36行业材料定理定理1.1.51.1.5 映射f:AB是可逆映射的充分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。证明：B-1设f:AB是可逆映射,f:A为f的逆映射.先证f是单映射。22,()(),aA ff a11对 aa22()(,fff aa-1-1-1111则 af(a)=f(a)=f()=f是AB单映射;b,(),Bba-1再证f是满映射。对设f则()()(),bbb-1-1f(a)=f(f

19、f ff是AB满映射，f是AB的双射。必要性（略）。37行业材料定义定义1.1.111.1.11 设A 是一个非空集合，A 到自身的映射称为A 的变换；A 到自身的双映射称为A 的一 一变换；如果A 是有限集，A 的一一变换称为A 的置换。38行业材料1.1.4 1.1.4 数域与代数运算数域与代数运算定义定义1.1.12 设设 P 是包含是包含0 0和和1 1在内的数集，如在内的数集，如果果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数中任意两个数的和、差、积、商（除数不为不为0）仍是）仍是 P 中的数，则称中的数，则称 P 为一个为一个数域数域。一个数域。也是如：数集,|2)2(QbabaQ39

20、行业材料定义定义1.1.13 设设A,B,C是三个非空集合，是三个非空集合，到到C的映射称为的映射称为A与与B到到C的一个的一个代数运算代数运算。特别地，特别地，到到C的映射称为的映射称为A到到C的代数的代数运算；运算；到到A的映射称为的映射称为A的代数运算或的代数运算或A的的二元运算二元运算，也称集合，也称集合A对代数运算是封闭对代数运算是封闭的。的。BAAAAA 一个代数运算是一个特殊的映射。如果一个代数运算是一个特殊的映射。如果有有A与与B到到C的一个代数运算记为的一个代数运算记为“”,则由定则由定义，对义，对任意任意 ，经过，经过代数运算代数运算 得得唯一的唯一的 ，即，即 :(a,b)c，记为记为c=a b BbAa,Cc40行业材料41行业材料