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1、 11 图形的对称变换群、群的应用图形的对称变换群、群的应用 8/10/2021定义定义1:使图形不变形地变到与它重合的变使图形不变形地变到与它重合的变换称为这个图形的对称变换换称为这个图形的对称变换.定义定义2：图形的一切对称变换关于变换的乘图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群，称为这个图形的法构成群，称为这个图形的对称变换群对称变换群.8/10/2021 设正三角形的三个顶点分别为设正三角形的三个顶点分别为1、2、3.显然，正三角形的每一对称变换都导致正三显然，正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换角形的三个顶点的唯一一个置换.反之，反之，由由正三角形的三个顶点的任
2、一置换都可得到正正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换，从而可用三角形的唯一一个对称变换，从而可用3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S 表示正三角形的对称变换群表示正三角形的对称变换群.8/10/2021其中其中(1)为恒等变换为恒等变换,(1 2),(1 3),(2 3)分分别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换别表示关于正三角形的三个对称轴的反射变换,(1 2 3),(1 3 2)分别表示关于正三角形的中分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转心按逆时针方向旋转120度、度、240度的旋转变度的旋转变换换.l3Ol1l2231l2l1
3、l3l4O1234 8/10/2021 正方形的四个顶点分别可用正方形的四个顶点分别可用1、2、3、4来表示来表示.于是正方形的每一对称变换可用一于是正方形的每一对称变换可用一个个4次置换来表示次置换来表示.显然，显然，不同的对称变换不同的对称变换所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对所对应的置换也不同，而对称变换的乘积对应了置换的乘积应了置换的乘积.这说明，正方形的对称变换这说明，正方形的对称变换群可用一置换群来表示群可用一置换群来表示.8/10/2021 第一类第一类:绕中心的分别旋转绕中心的分别旋转90度，度，180度，度，270度，度，360度的旋转，度的旋转，这对应于置换这对应于置换
4、 (1234)，(13)(24)，(1432)，(1).第二类第二类:关于正方形的关于正方形的4条对称轴的反射条对称轴的反射,(1 2)(3 4)，(2 4)，(1 4)(2 3)，(2 4)，(1 3).这对应于置换这对应于置换所以所以,正方形的对称变换群有上述正方形的对称变换群有上述 8个元素个元素.这是四次对称群的一个子群这是四次对称群的一个子群.8/10/20211,2,3,4,5,6,7,8 8/10/20211：ABCD2 Pi 8/10/20212ABCD2 PiABCDPi2 8/10/20213ABCD2 PiABCDPi 8/10/20214ABCD2 PiABCD3 Pi
5、2 8/10/20215ABCDABCD 8/10/20216ABCDABCD 8/10/20217ABCDABCD 8/10/20218ABCDABCD 8/10/2021 正正n边形的对称变换群阶为边形的对称变换群阶为2n.这种群称这种群称为为2n 元二面体群元二面体群.记为记为Dn 1123,n 22123,n 11123,nnn ,01,02(31),nn 8/10/20216D 123456(1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(
6、12)(36)(45),(14)(23)(56)8/10/20212 个个2-循环，循环，n 个个n-循环循环,组成，则称组成，则称 121 2nn 型置换，型置换，其中其中1212.nnn例：例：5S中中(123)(123)(4)(5)是一个是一个211 3型置换型置换(12345)是一个是一个15型置换型置换(12)(34)(12)(34)(5)是一个是一个121 2型置换型置换是一个是一个 一个一个n次置换次置换，如果其循环置换分解式，如果其循环置换分解式是由是由1 个个1-循环，循环，8/10/2021二面体群二面体群nD是一个是一个n次置换群次置换群 0(1),123,1,1kknk
7、n 02(31),nn k 的类型是的类型是dnd型，其中型，其中(,)dn k k 当当n是奇数时，都是是奇数时，都是1121 2n 型的型的当当n是偶数时，有两种类型：是偶数时，有两种类型：1221 2n 型和型和22n型型 8/10/2021问题的提法：问题的提法：用用n种颜色的珠子做成有种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？问可做成多少种不同类型的项链？这里所说的不同类型的项链，指两个这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。8/10/2021 设由设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正颗珠
8、子做成一个项链，可用一个正m边形边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。12354678 沿逆时针方向给珠子标号，沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有由于每一颗珠子的颜色有n种选种选择，因而用乘法原理，这些有标择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有号的项链共有nm种。种。但其中有一些可以通过旋转一个角但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转度或翻转180度使它们完全重合，度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。使它们重合的项链类
9、型数。8/10/2021 设设X=1，2，m,代表代表m颗珠子的集合，颗珠子的集合，它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子它们逆时针排列组成一个项链，由于每颗珠子标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链标有标号，我们称这样的项链为有标号的项链.12,nAa aa 为为n种颜色的集合种颜色的集合.则每一个映射则每一个映射:XA 代表一个有标号代表一个有标号的项链的项链.|:XA mn ，它是全部有，它是全部有令令标号项链的集合，显然有标号项链的集合，显然有，是全部有标号项链的数目，是全部有标号项链的数目.8/10/202112km1 2 iiiimkmgD 12km1 2 c c c ckm
10、kcA 设设，其中，其中mD 8/10/2021g 12m11m212m 12iii c cccccggg mgg e 111122112g gggg g 111121221gggggg 1212g ggg 定义定义则则，所以，所以.对对的作用为的作用为 8/10/2021DgmmgD 12g 2 其直观意义是，其直观意义是，对对的作用就是的作用就是使使对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而对项链的点号作一个旋转变换或翻转变换，因而1 与与是同一类型的是同一类型的属于同一轨道属于同一轨道.2 1 与与mD因此，每一类型的项链对应一个轨道，因此，每一类型的项链对应一个轨道，不同不同类型项链数
11、目就是类型项链数目就是对对，可用，可用Burnside引理求解引理求解.作用下的作用下的轨道数目轨道数目 8/10/2021mgD g 下一个关键问题是下一个关键问题是：如何求如何求在在上的不动点数上的不动点数gfg 12 g g 的循环置换分解式可表为的循环置换分解式可表为 （1）gg12 12mm ，这与，这与的置换类型有关的置换类型有关.是一个是一个型置换型置换.设设 8/10/2021 6123645gD 1112332123456aaaaaa 例如，设例如，设，则，则 1112332(1)(2)(3)(4)(5)(6)(gggggggaaaaaa 1112332216543aaaaa
12、a 1 g故故是是的一个不动点的一个不动点.8/10/2021g2122332123456aaaaaa 2 g反之，若对应反之，若对应，则，则 故故不是不是的不动点的不动点.的循环置换分解式中某个的循环置换分解式中某个循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如循环置换中号码的珠子有不同的颜色，例如2122332(1)(2)(3)(4)(5)(6)(gggggggaaaaaa 122332216543aaaaaa 2 8/10/2021gf|,gfg gg下面我们来进一步计算不动点数下面我们来进一步计算不动点数而满足而满足的的，对应于，对应于的同一循环置换中的珠子的颜色必须相同，的同一循环置换中的珠
13、子的颜色必须相同，因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有因而，每一个循环置换中的珠子颜色共有n种选择种选择.g12m而而所含的循环置换个数为所含的循环置换个数为12mn 所以满足条件所以满足条件的项链颜色有的项链颜色有种选择种选择 g 8/10/202112mgfn 121mmm gNnDD mD1221112,1 2,mmmNnmDmc 12,mc 故故将它代入将它代入Burnside公式，就得项链的种类数为公式，就得项链的种类数为其中和式是对其中和式是对进一步表示为进一步表示为其中其中和式是对所有可能的不同置换类型求和和式是对所有可能的不同置换类型求和.中每一个置换求和中每一个置换求和.为同
14、一类型的群元素个数，为同一类型的群元素个数，8/10/2021解解1234566D (1),(123456),(135)(246),(14)(25)(36),(153)(264),(165432),(26)(35),(13)(46),(15)(24),(16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56)8/10/2021按类型计算每一个群元素的不动点数：按类型计算每一个群元素的不动点数：6163gf 型置换有型置换有1个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为221 243gf 型置换有型置换有3个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为3233gf
15、 型置换有型置换有4个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为2323gf 型置换有型置换有2个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为16型置换有型置换有2个，每一个元素的不动点数为个，每一个元素的不动点数为3gf 所以所以643213422 392333312N .8/10/2021 用黑白两种颜色用黑白两种颜色的珠子，串成有的珠子，串成有5个珠个珠子的项链。问有多少种子的项链。问有多少种不同类型的项链？不同类型的项链？12345(1)15 25(12345)51 2(13524)51(14253)51(15432)51(25)(34)11 22 23(13)(45)11 22(15)(24)11 22(14)(23)11 22 (12)(35)11 225314 2582210N 8/10/2021
近世代数全211图形的对称变换群群的应用课件
