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1、章末复习课整合网络构建警示易错提醒1“互斥事件”与“相互独立事件”的区别“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响2对独立重复试验要准确理解nk(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(Xk)Ckpk(1p)n，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的
2、意义，才能正确运用公式3(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等(3)常见事件的表示已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为AB；都发生为AB；都不发生为AB；恰有一个发生为(AB)(AB)；至多有一个发生为(AB)(AB)(AB)4对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)5(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E()的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值它们都由的分布列唯一确定(2)D()表示随机变量对E()的平均偏离程度D()越
3、大表明平均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之D()越小，的取值越集中D(3)D(ab)a2D()，在记忆和使用此结论时，请注意D(ab)aD()b，(ab)aD()6对于正态分布，要特别注意N(，2)由和唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x.n（）427所以P(AB)n（AB）122.率为P(B|A)P（AB）772所以P(B|A)n（AB）121.专题一条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等3例1坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，个是白皮的如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第
4、1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.746(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n()A242，根据分步乘法计数原理，n(A)A1A124.n（A）244于是P(A).4(2)因为n(AB)A212，n（）427(3)法一由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概P（A）241.法二因为n(AB)12，n(A)24，n（A）242P（A）n（A）4，第
5、二次取到正品的概率为P(B|A)，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率归纳升华解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P（AB）n（AB）P(B|A).(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A).变式训练已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品；(2)两次都取到正品解：设A第
6、一次取到次品，B第二次取到正品(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P(A)961009910099825为P(AB)P(A)P(B|A)49632.100(2)因为A第一次取到次品，且P(A)1P(A)96，P(B|A)，所以P(AB)P(A)P(B|A).9596951529910099165专题2独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响2例2某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P13，乙的命中率为P2，在射击比赛活动中每人射击两发
7、子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”1(1)若P22，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为，如果E()5，求P2的取值范围21解析：(1)因为P13，P22，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣荣获“先进和谐组”的概率PC21C21.332233223(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率PC21C12P2(1P2)22(P2P2)P2P22，由E()5知，P2P22125，获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两
8、人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中2111221112133843399又B(12，P)，所以E()12P，84993解得4P21.变式训练甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率(2)2人中恰有1人射中目标的概率(3)2人中至少有1人射中目标的概率解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件(1)2人都射中目标的概率为P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件
9、AB发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件AB发生)根据题意，知事件AB与AB互斥，是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个因为P(A)3，所以P(A)1P(A).332P(X3)C225551253C612132428A.8024324372972943645解析：每次摸球中奖的概率为2，所求的概率为PP(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为PP(AB)P(AB)P(AB)0.720.260.
10、98.专题三独立重复试验与二项分布n二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式Pn(k)Ckpk(1p)nk，k0，1，2，n，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查例3现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都3455数，求X为1和3的概率解：(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A“张同学所取的3道题都是甲类题”5C1066110222(2)P(X1)C1555C0555125；20.归纳升华解决
11、二项分布问题必须注意：n(1)对于公式Pn(k)Ckpk(1p)nk，k0，1，2，n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次变式训练口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()10080100B.C.D.C1C1205C9369解：(1)由已知，有P(A)342C1C1C231C103所以，事件A发生的概率为.C23C
12、23C244C102C13C13C13C147C13C144由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率552801PC1399243.答案：A专题四离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容例4(2016天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和
13、数学期望.13(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X0)，15P(X1)，2C1015P(X2).2C1015所以随机变量X的分布列为：XP041517152415随机变量X的数学期望E(X)0121.474151515归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：明确随机变量X取哪些值；计算随机变量X取每一个值时的概率；将结果用表格形式列出计算概率时要注意结合排列组合知识(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出均值，然后利用D(X)xiE(X)2pi求出ni1方差变式训练根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：
14、mm)对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数YX3000300X7002700X9006X90010历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率解：(1)由已知条件有P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2.P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列为YP00.320.460.2100.1由条件概率，得P(Y
15、6|X300)P(X900|X300)P（300X900）0.66.故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是.于是，E(Y)00.320.460.2100.13，D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(X300)1P(X300)0.7，又P(300X900)P(X900)P(X300)0.90.30.6.P（X300）0.7767专题五正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键例5某市去年高考考生成绩服从正态分布
16、N(500，502)，现有25000名考生，试确定考生成绩在550600分的人数所以P(550X600)P(500250X500250)P(50050X50050)4零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.得P(5000X5200)0.3413.解：因为考生成绩XN(500，502)，所以500，50，1122(0.95440.6826)0.1359.故考生成绩在550600分的人数为250000.13593398(人)归纳升华正态分布概率的求法1注意3原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率2注意数形结合由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思
17、想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题变式训练某镇农民年收入服从5000元，200元的正态分布则该镇农民平均收入在50005200元的人数的百分比是_解析：设X表示此镇农民的平均收入，则XN(5000，2002)由P(5000200X5000200)0.6826.0.68262故此镇农民平均收入在50005200元的人数的百分比为34.13%.答案：34.13%专题六方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果例6甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一
18、种零件，已知甲机床加工的零件是一1等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的12129(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率解：记A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件由题设条件有P（A）1，P（A）1P（B）1，P（AC）2，P（A）P（C）.9B44CP（B）1，即P（B）1P（C）12，1229由得P(B)1P(C)，代入得解得P(C)或P(C)(舍去)将P(C)分别代入可得P(A)，P(B).故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的
19、概率分别是，.6n；pi1，列出方程或不等式求出未知数9827P(C)251P(C)220.21139211334112343(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件2315则P(D)1P(D)11P(A)1P(B)1P(C)13436.5故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.归纳升华p(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：10，i1，2，3，ni1(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数变式训练若离散型随机变量的分布列为：01P9a2a38a解得a(舍去)或a.求常数a及相应的分布列9a2a38a1，解：由离散型随机变量的性质得09a2a1，038a1，2133所以，随机变量的分布列为：01P2313
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