Cohen类时频分布

《Cohen类时频分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Cohen类时频分布（38页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 4 章 Cohen 类时频分布4 v 二、亠4.1 前言除了 Wigner 分布和谱图以外，近几十年来人们还提出了很多其它具有双线性行式的时频分布。1966年，Cohen给出了时一频分布的更一般表示形式：44：4.1.1)C C, Q： g)= ffl x(u +t /2*C 一2)g , t )e-j+qt-o)dwdid0 x2兀该式中共有五个变量，即t , Q , t , 9和u ,它们的含义我们将在下一节解释。式中g，T) 称为时频分布的核函数，也可以理解为是加在原 Wigner 分布上的窗函数。给出不同的g(9, T)，就可以得到不同类型的时一频分布。通过后面的讨论可知，目前已提

2、出的绝大部分具有双线性形式的时一频分布都可以看作是匸0类的成员。通过对Cohen类分布的讨论 有助于我们更全面地理解时频分洛 誦入地晶它们的性质并提胪进诸如交叉项这些 不足之处的方法。在C0h；n类时一频分布的讨论及抑制交叉项的方法中,在雷痊信号处理中 广泛应用的模糊函数(Ambiguity Function, AF)起着重要的作用。因此，本章首先给出模糊 函数的定义及其与Wigner分布的关系，然后讨论Cohen类分布及其不同的成员。在4.4节讨 论为确保Cohen类分布具有一系列好的性质而对g(9，T)所提出的要求。最后，在4.5节讨 论核的设计问题。文献47对非平稳信号的联合时频分布给出

3、了较为详细且是较为权威性的论述。4.2 Wigner 分布与模糊函数令xC)为一复信号，我们在第三章已定义r (t, T)=xC +t/2)x*(-t/2)(4.2.1)x为xC)的瞬时自相关函数，并定义r (t, t)相对T的傅立叶变换 xW (t, Q)=J r (t, T)-jQTdT(4.2.2)xx为xC)的WVD。除去特别说明，该式及以下各式中的积分均是从-+ 8。x(t)的对称模糊函数A G, t)定义为r (t，t)相对变量t的傅立叶逆变换17,46,47,即:xx4.2.3)A , T = J r (t, T)ej6dtx2兀x对比(4.2.2)和(4.2.3)两式可以看到，

4、W C, 0)和AT)之间似应有某种联系，起码xx在形式上有一种对称联系。由(4.2.3)式，有4.2.4)r (t，T)=f A(0，T)e-j0tdtxx对该式两边取相对变量工的傅立叶变换，立即可得4.2.5)W (t，Q)=JA 0 Vt, VQxQ0: g, 1）是某些函数的模糊函数P:实值性C C, Q)g R, Vt, VQxq : g, t)-g*Ce,-T) P :时移s(t)= x(t -1C (t, Q)=c (t - ；, oJx0q2 : g, 不决定于tP3 :频移s(t)= x(t)ejQ0 T C ( =C (t, Q-Q )x0t, Q)q3 : g, 不决定于

5、QP4:时间边界条件1 I C (t, Qdo-J2 xl(t 2Q : g,0)-1VO4仆频率边界条件I C (t, Qdt - X(QxI2Q : g6 O)-1VtP6 :瞬时频率(、IqC (t, Q)dQQ (t丿一 xviJ C (t, QdQxQgO TJQ : Q及升-0VOT-0匚：群延迟/ j I tC C, Q)dt t gj_ gJ C (t, QJdtxz XQgO TJQ : Q及希75 以T-0 VtO-0P8 :时间支持域若x（t丿一0对艸tc，则C C Q）- 0 Ittx /、1 1cQ : 1 g, T)e-曲0 - 0T 2 t仆频率支持域若x s丿-

6、0对|C (t, Q)- 0xQQc，则 |QQQ : 1 g,-加0- 0 o 丫 时,山）=0，希望CC，）三0，对PI t8CXCQ :J g0 Jj&d0= 0忖Q 时，X()三0,Q : J g0 t )ej0TdO = 09希望C C, )三0x对0|C现对P9和作一简单的解释。给定一个信号x（t），记其时一频分布为tfC, ）。假定x（t）在t J的范围x12内为零，若TF。, ）在t t2的范围内也为零，则称TF（t, ）具有弱有限时间1 2支撑性质。同理，假定X （）在（1，2）之外为零，若TFx（，）在（1，2）也为零, 则称TfC, ）具有弱有限频率支撑性质。P和P指的是

7、弱有限支撑。89若信号x（t）分段为零，TF（t, ）在x（t）为零的区间内也为零，则称TF（t，）具有XX强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是:只要x（t）为零，在所对应的时间段内” c ）x恒为零。同理可定义强有限频率支撑。由（4.3.7）式， Q8 的要求是I g，t-jtQdt = gf（t，T）= 0，对21。式中gt）是时间域的核函数。当该核函数在（平面上在忖苹这一范围内为零时，C (tx。）即具有弱有限时间支撑性质。有关忖 21的由来见下一节的讨论。10、P10：减少交叉项干扰，T）平面上的2-D低通函数。Q : g6 t10减少交叉项干扰分布（Reduced Interfer

8、ence Distribution， RID）又称RID分布。其核 函数有着其它的特殊性质,我们将在下一节进一步讨论。4.5 核函数对时频分布中交叉项的抑制我们在 1.5 节已给出了单分量信号和多分量信号的概念。其区别是在任意固定的时刻该信号的瞬时频率C）是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即:4.5.1)xC)=h x (t)k k=1式中x (t)ik =1，2， ，n 都是单分量信号，因此=Hx (t +t ：2)x*(t 一02)+ 工为 x (tk=1相应的时-频分布ii=1 j=l4.5.2)0）+工He C, 0）x , xi=1 j=1 i j 同样也由自项和

9、互项所组成。互项即是交叉项,它是对真正时-频分布的干扰,应设法将其 去除或尽量减轻。减轻C C, 0）中交叉项的一个有效途径是通过xC）的模糊函数来实现。xC t，x0)=工 C C,xk,xkk=14.5.3)由4.2节的讨论，xC）的广义模糊函数:Mt)=Mt)+工艺xk=1xk,xki=1 j=1Mt)x , xij4.5.4)式中Mxi,xjp)= g ,T)= gt) x (u + p .C* (u 一 p ；2丄向 duT)x (u +p/2)x*(u -T；2)ej氐dui j4.5.5)(4.5.6)分别是AF的自项和互项。我们在本章第二节的讨论中已指出，模糊函数的自项通过,

10、T)平面的原点，互项远离，t)平面的原点，而AF中的互项又对应了时一频分布中的交叉项, 这就为我们去除或抑制时一频分布中的交叉项提供了一个有效的途径。即令核函数g，T) 取9，T)平面上的2-D低通函数。由上节的讨论可知，为保证C C，具有时间及频率边缘条件性质，核函数g9, T)应x满足Q4和Q5，即在9和T轴上应恒为1，这也是设计核函数时必须考虑的要求。当然，除 了 Q难于满足外，QQ应尽量满足。0 1 10现举例说明核函数g 9, T)对交叉项的效果。Choi-Willarms于文献37提出了一个指数核g9t)= e 9 2t 2 o4.5.7)其相应的T-F分布称为指数分布(ED),由

11、表4.3.1，它属于Cohen类。显然，g0,0)= 1, g 0, T)= g ,0)= 1，且当9和T同时不为零时g 9, T) 1。式中o为常数。o越大，自项的分辨率越高， o 越小，对交叉项的抑制越大。因此， o 的取值应在自项分辨率和交叉项 的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频率变化得快，那应取较大的o , 反之取较小的o。o的取值推荐在0.110之间。当o 时，g 0, T)T 1 , ED变成WVD,在这种情况下ED (即WVD)具有最好的分辨率，但交叉项也变得很大。ED可以有 效地抑制交叉项，但不能保证性质P和P。89ED 对应的时域的核为13g(t, t)=

12、J g(9, T)e-jt0d9= Jexp-ot2/4T2(4.5.8) 4兀T 21-相应的时-频分布是Gt 24T 2x(ul2)x*(u -t/22e-网dudT(4.5.9)CW C, Q）= 口 - exp x4kt 2例4.5.1令x（t）由三个时一频“原子”组成，x C）和x C）具有相同的归一化频率（0.4）, 12但具有不同的时间位置（分别是32和96）。令x C）和x2C）具有相同的时间位置，但归一化 32频率为0.1。x（t）的时域波形如图4.5.1a所示，其理想的时一频分布如图4.5.1b所示。其WVD如图4.5.1c所示。可以看到，图c中存在着由这三个“原子”两两产

13、生的共三个交叉项。图4.5.1d是x（t）的模糊函数。由该图可以看出，AF的自项位于中心，在0轴和t轴上各 有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有6个互项。图4.5.1e 是指数核g ，T）=exp L&2T 2,心的等高线图，它在原点最大，在轴和T轴上恒为1。改变G，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。G越大，距离越大，反之距离越小。g，t）的作用是抑制AF中的互项。将图（d）和图（e）对应相乘，即g，t）A ，t），x其结果示于图（f）。显然，在第二和第四两个象限的互项已被去除，在轴和T轴上的四个 互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。图4.5.1g是用ED求出的

14、xC）的时一频分布。可以看出，这时的交叉项较之图4.5.1b的WVD,已大大减轻。3 Gaussia n atom(s)0204060Time80100 1200.450.40.350.30.250.20.150.10.05Time s0.450.40.350.30.250.20.150.10.05204060 80 100 120Time s图4.5.1核函数g，T)对交叉项抑制的说明，该图由上及下分别为agCohen类分布的其它成员，所用g0，T)对交叉项抑制的原理和上述过程大致相同。4.6 减少交叉项干扰的核的设计除了我们在前面几节提到的Cohen类的各种时一频分布外，人们还希望能设计出

15、其它更 好的时频分布。为此，文献76给出了一个核设计的方法，现给以简单地介绍。如果g0，T)可以写成变量0，的积的函数，即g 0，1)= g T)那么该核函数称为“积核”在表4.3.1中，cosGt/2), ej0T2, sinea0T )及ED核都是积核。如果g0，t)可以写成0,T各自函数的积，即g，T)= g 0)g (T)12那么g0，t)称为可分离的核。对这一类核，其计步骤如下：步骤1设计一个基本函数ht)，使之满足下述条件：(a) h(t)有单位面积，即i)dt = 1 ；(b) ht)为偶对称，即 h(- t)= h 12时hC)= 0。(d) ht)以t =0为中心向边际平滑减

16、少，以保证h(t)含有较少的高频分量。步骤2取h(t)的傅立叶变换，即H 1/2时hC）三0，即是当 1/2时，（4.6.2）式恒为零，也即T| 2|t时 TJ g0, tL-jQd0= 0。这正是Q，同理，条件（c）意味着Q满足。89条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令g0, t）是0, t）平面的2-D低通函数，因此条件（d）满足Q10。文献74考察了不同hC）所对应的T-F分布形式，如果：（1）若h（t）=6（t）,那么g0, T）= 1，对应的分布是WVD。h（t）满足条件（a）、（b） 和（c）,但不满足（d）,因此WVD不具备性质P及相应的制约Q10 10（2）若h（t）=l

17、5（t 1 2）+5（t +1 2）2 ,则 g0, T）= co 0t；2）,对应 Re Rihaczek分布，hC）也只满足条件（a）（c）,不满足（d）,所以该分布也和WVD 样，满足PP ,19 不满足P及相应的制约Q。10 10（3）若h（t）=6（t + I 2）,则gT）二e血2，此为复数核形式的Rihaczek分布，hC）满足条件（a）和（C）,不满足条件（b）和（d）,因此该分布只满足性质匚和Pg。若 hC)= 1 对 |t| 1/2,则 g,T )= g T )=2 sin t 2 )9t，对应 BornJordn 分布，hC）满足条件（a）（d）,所以该分布满足性质PP。

18、1 105)若 haxp C 12 $2a 2）,此 hC）对应 ChoiWiliams 分布，hC）满足 条件（a）, （b）和（d）,所以相应的TF分布有性质PP和P。1 7 10由于（4）和（5）的hC）对应的分布满足性质P，所以它们属于减少干扰类（RID）分10布。现以BornJodan分布为例，说明这一设计方法的思路及所得到的核在四个域内的形状。Born Jodan（ BJ） 分布对应的hC）= 1，对|t| 1/2。该hC）满足上述（a）（d）的四个条件。由H(0)=f 12 h(t)e-jOtdt =用6t代替6，得BJ分布的核，即T)= H T)=兽4.6.4)这是模糊域6,

19、T）的核函数。其形状如图4.6.1 （a）所示。对应C, T）域，有gt)=J g6,t )e - jt6 d6 = J H 2|Q|4.6.1)P| 2 |Q|g仏p）和G（n, o）的形状如图4.6.1 （e）和d)所示。在各自的平面上它们的存在范围式的对称性。二者的形状几乎相同。有着“蝴蝶结”似的形状。由于（4.6.5）和（4.6.6）由上面的导出过程可知，给定的h（t）只要满足条件（e）的时限性质，其在C, p）和（n, 0）域的核的自变量的取值范围必然要受到（4.6.5）和（4.6.6）式的制约。这也就是表4.4.1中的制约Q8和Q9。4.6.7)最后，g，p）在C, n）域的表示形

20、式应是gp）的2-d傅立叶变换，即G（t， n）=J! g , p ）e - j （0t+np ）d0dT=2兀 J h（t； P）e - j0p dP忡.其形状如图4.6.1 （b）所示。由于BJ分布使用的hC）是在（-1212 ）内的矩形窗，所以g工）是p）平面的2-D sine函数，但在0轴和p轴上始终为1,因此可有效地抑制除o、T轴以外的交叉项。 对于其它属于RID的分布，其核函数在四个域内有着类似的形状。图 4.6.1 BJ 分布核函数在四个域内的形状（a） , T）域，（b） C，0）域，（c） C, T）域，（d） 6 e）域上面的讨论揭示了不同形式时频分布的内在联系，给我们指出了一个设计较好的时 频分布的总的原则。有关核的分析与设计还可参考文献121，有关时频分布应用的例子请 参考文献2。前已述及，对性质P，即时一频分布的恒正性，除谱图以外，目前对能否构造出既具有 0时频分布的意义（如性质PP ），同时又是恒正的分布，目前尚不知道，这一问题仍有待1 10研究。