1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题： 线面角（中下） 学案（Word版含答案）

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1、空间向量专题8-1 线面角（中下）（7套，8页，含答案） 知识点：线面角： 直线和平面所成的角有三种： （1）斜线和平面所成的角：一条直线与平面相交，但不和垂直，这条直线叫做平面的斜线斜线与的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （2）垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00. 线面角取值范围：00900线面角（空间向量法）：（1） 先标注所有坐标点； 注意：x、y、z轴要两两互相垂直；

2、不容易标注坐标点的，可以先画出俯视图，标注XY轴的坐标，然后再在立体图上标注Z坐标；（2） 画图帮助自己理解线面角； 图中为两向量夹角，为要求的线面角，；（3） 设法向量；（4） 找出平面内的两相交直线的向量，；（5） 令，算出以及；（6） 算出直线AB向量以及；（7） 代入夹角公式：； 角度转换：典型例题：1. 若平面的一个法向量n(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a(1，2，3)，则l与所成角的正弦值为( 答案：B；解析：cosa，n.) A. B. C D.2. 正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_ 答案：；解析：如图，以DA、DC、DD1分

3、别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1，1，1)，(1，0，1)cos，.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为._3. 如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)（ 答案：证明略，；解析：以A为原点，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已

4、知可得：A(0，0，0)，B(0，a，0)，C，P(0，0，a)(1)证明：(0，0，a)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，D，E，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，cosDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角A

5、DEP是直二面角）随堂练习：1. 如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C与平面AB1D1所成的角的余弦值是（ 答案：B； ）(A)0 (B) (C) (D) 2. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_ 答案：，；_ 空间向量专题8-2 线面角（中下）1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；( 答案：；解析：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，

6、0，0)，D(0，1，0)，所以，(0，1，0)，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin .即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，)，设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0，得，所以xz，yz.取z2，得n(2，1，2)设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0t1)又B1(1，0，1)，所以(t1，1，0)，面B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1，1，0)(2，1，2)02

7、(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F使B1F平面A1BE.)2. 如图，四棱锥中，AB/CD ，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成角的正弦值.（ 答案：； 解：方法一：空间向量法（）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，设，则 ，且， ， ，由，得 ，解得： ，由，得 由，得 解，得 ， ， ， ， ， ， ，平面 6分（）设平面的法向量，则， ，又 ， ，取 ，得， ，故与平面 所成的交的正弦值为.方法二：综合法（） 解：如下图，取的中点，连结，则四边形为矩形，

8、，侧面为等边三角形，且，又 ， ，平面.（）过点作于，因为，所以平面平面所以平面平面，由平面与平面垂直的性质，知平面，在中，由，得，所以.过点作平面于，连结，则为与平面所成角的角，因为 ，平面，所以平面，所以，在中，由，求得.在中， ，所以 ，由，得 ，即，解得，所以，故与平面所成角的正弦值为.） 3. 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF证明：平面PEF平面ABFD；求DP与平面ABFD所成角的正弦值 答案：（1）略；（2）；解答：（1）分别为的中点，则，又，平面，平面，平面平面.（2），又，平面，设，则，过作

9、交于点，由平面平面，平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，而，与平面所成角的正弦值. 空间向量专题8-3 线面角（中下）1. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2) 答案：；解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，2)(1)(1，0，2)，易得平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，设与n的夹角为，则cos ，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)(1，0，2)，(0，

10、2，2)，设平面DEF的一个法向量为m，则m0，m0，可得m(2，1，1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值为.2. 如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由（ 答案：证明略，存在；解析：以A为原点，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得：A(0，0，0)，B(0，a，0)，C，P(0，0

11、，a)(1)证明：(0，0，a)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，D，E，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，cosDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP是直二面角） 3. 如图，多面体ABCDEF中，面A

12、BCD为矩形，面ABFE为直角梯形，AB/EF，AEF为直角，二面角DABE为直二面角，AB2AD2AE2EF4（1）证明：平面DAF平面CBF；（2）求直线DE与面ACF所成角的正弦值 答案：； 【命题意图】本题考查空间线面关系的证明和线面角的计算，对空间想象能力和运算能力都有一定要求，难度：中等题解：（1）二面角为直二面角且为矩形，面，又在直角梯形中易证，面，面，面面 5分（2）由（1）易知，两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示 6分 则，8分设面的法向量为，由得，令得 10分设直线与面所成角大小为，则 12分第18题图空间向量专题8-4 线面角（中下）1. 正方体ABCDA1B1C1

13、D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小（ 答案：；）2. 已知空间四个点A(1，1，1)，B(4，0，2)，C(3，1，0)，D(1，0，4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( 答案：C；解析：设n(x，y，1)是平面ABC的一个法向量(5，1，1)，(4，2，1)，n.又(2，1，3)，设AD与平面ABC所成的角为，则sin ，30.故选C.) A60 B45 C30 D903. 如图：在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，ADDE，ADE90，ADCDCB120.（1）证明：平面ABCD平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的

14、正弦值. 答案：证明略，；（1）证明：因为，平面，且，所以平面.又平面，故平面平面.（2）解：由已知，所以平面.又平面平面，故.所以四边形为等腰梯形.又，所以，易得，令，如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，由所以取，则，得，.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.空间向量专题8-5 线面角（中下）1. 正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成角的大小为( 答案：A； )(A)(B)(C)(D)2. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，.侧棱ACBC，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影

15、是的重心G.求与平面ABD所成角的正弦值；（ 答案：；解：(1)建立如图坐标系，设，则，则，则，取平面法向量为，则与夹角为与平面所成角的余角.所以cos， 所以与平面所成角的正弦值为.）3. 如图，四边形与均为菱形，且（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值 答案：证明略，；解析：（1）设与相交于点，连接，四边形为菱形，且为中点，又，平面.5分（2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形，为中点，又，平面.两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，7分设，四边形为菱形， ，. 为等边三角形，.，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为，10分则. 12分注：用等体积法求线面角

16、也可酌情给分空间向量专题8-6 线面角（中下）1. 如图，在棱长为的正方体中，分别在棱，上，且.（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值. 答案：证明略，；解：（1）过作于点，连，则.易证：，于是.由，知，.显然面，而面，又，面，.连，则.又，面，.由，面.（2）在上取一点，使，连接.易知.对于，而，由余弦定理可知.的面积.由等体积法可知到平面之距离满足，则，又，设与平面所成角为，.2. 在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OAOBOC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是_ 答案：； _3. 如图甲所示，BO是梯形ABCD的高

17、，OBBC1，OD3OA，现将梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥POBCD，使得，点E是线段PB上一动点.（1）证明：和不可能垂直；（2）当时，求与平面所成角的正弦值.（ 答案：； 解：如图甲所示，因为是梯形的高，所以1分因为，可得，2分如图乙所示，所以有，所以3分而，所以平面4分又，所以、两两垂直故以为原点，建立空间直角坐标系（如图）， 则，5分（1）设其中，所以 ，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直6分（2）因为，所以 7分设平面的一个法向量是，因为，所以，即9分取10分而，所以所以与平面所成角的正弦值为12分）空间向量专题8-7 线面角（中下）1. 在

18、正方体ABCDA1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1ED1C1，试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值. （ 答案：；）2. 如图，在Rt中，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.（1）求证：；（2）当点为线段的靠近点的三等分点时，求与平面所成角的正弦值. 答案：证明略，；证明：，翻折后垂直关系没变，仍有， 4分(2) ，二面角的平面角，又，由余弦定理得，两两垂直。以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系。则 8分设平面的法向量由可得 故PC与平面PEF所成的角的正弦值为 12分3. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.（1）证明：平面；（2）设二面角为，求直线PD与平面PBC所成角的大小.（ 答案：证明略，；）