反例在中学数学教学中的作用

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1、毕 业 论 文题 目 反例在中学数学教学中的作用 学生姓名 张栓 学号 1109014150 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级 数学与应用数学专业(师范类)11级2班 指导教师 张 琳 2015 年 5 月15 日陕西理工学院毕业论文反例在中学数学教学中的作用张栓（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业（师范类）11级02班，陕西 汉中 723000）指导老师：张琳摘要 主要阐述反例在中学数学教学中的几点功能，应用反例进行教学时应注意的几个问题及反例的背景类型等方面的内容。在数学教学中利用反例可以有效的激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解，反例不仅有助

2、于学生全面正确的理解，掌握数学的基本概念和基本定理，而且是纠正错误，发现问题的重要途径。关键词： 反例 中学数学 教学 作用1 引言 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证

3、，从而否定这个命题。后者即为通常所说的反例，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。2 数学反例在中学教学中的应用背景数学新课程标准的基本理念的核心内容有这样一条：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程。本条理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展

4、学生的实践能力和创新精神。数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动中探究，在探究中体验，在体验中发现，合作探究，自主构建。数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念，它是激发学生学习兴趣，培养学生创新能力，开发学生创造性思维的一种必不可少的教学方法。3 反例的来源与构造证明一个猜想是真实可靠的，必须经过严格的推理证明才能得出结论;而要证明一个猜想是假的,就只需

5、要找到这个猜想命题的反例.在数学学习中,有这样一种现象：教师为了说明一个命题是假命题,就举出一个例子,说出这个例子虽然满足命题的条件,但是不能满足命题的结论,这就是常用的反例证明。但是反例是怎样获得的呢?与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法包括:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不是凭空得到的。从概念的定义入手分析获得反例是最常用的一种方法，概念是反映事物本质属性的思维形式。在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得就常常需要从定义入手分析。数学中的反例作为简明而又有力的否定方法,它不仅在培养逆向思维能力中

6、占有重要地位，而且在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学新领域中也起到了非常重要的作用，正如美国数学家盖尔鲍姆所说：“数学是由两大类证明和反例组成，而数学的发展也是朝着这两个目标的即提出证明和构造反例。”4 数学反例的概念与类型数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子。从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立。但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：是相对于数学命题而言；是具体的实例；是反驳与纠正错误数学命题的一种方法；是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。一般来说，一个假命题的反例

7、有多个，我们在举反例时，只选其中一个有代表性的就可以了。反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：4.1 基本形式的反例数学命题有以下4种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。全称肯定判断（所有，都有，）与特称否定判断（有，不是，）可以互为反例。例如对任何自然数都有的值为1，这是全称肯定判断，但当时，这是特称否定判断，这就是反例。42充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可以表述为因为某某所以某某。即“有前者，必有后者”。但是“没有前者，

8、不一定没有后者”。必要条件的假言判断，可表述为因为某某不存在，故某某也不存在，即“没有后者，就没有前者”。但是“有了前者，不一定有后者”。可举反例“有了前者，没有后者”说明之。这种反例称为关于必要条件假言判断的反例。43 条件变化型反例数学命题的条件改变时，结论不一定正确，为了说明这一点所举出的反例称为条件变化型反例。条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的。5 反例在数学教学中的作用 反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉，被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观

9、和方法论.它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成.它承认世界的局部可能在一定条件下.过程中,在某一方面(形态,结构,信息,功能, 时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以 是连续的,因而拓展了视野. 虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构 造了有许多奇异性质的三分康托集.1890 年,意大利数学家皮亚诺构造了 填充空间的曲线.1904 年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘 的一类曲线.1915

10、 年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一 样的几何图形.这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉.以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来. 5.1运用反例进行教学，能够帮助学生正确全面地理解数学概念 数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。 例1：关于函数的概念，不少学生片面地认为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了帮助学生澄清、纠正

11、这一错误认识，可向学生提出这样的两个问题： (1)人的身高与年龄成函数关系吗？ (2)若， 则y是x的函数吗？结果不少学生都认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。而(2)中由于=1，因变量y不随x的变化()，故y不是x的函数。老师学生一起参与讨论。发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高)没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。而在问题(2)里，对每一个给定的x值(在x的定义域内)，y随x总有唯一确定的值()和它对应，只不过当x变化时，y的值始终不变罢了。由此使学生认识到y是x的函数，

12、并非一定要求y随x的变化而变化。 通过所举两个反例的学习，学生便自觉地体会到：对变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。 教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，学生往往对一些关键性词语认识不够，对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。比如“36的平方根是多少？”有的同学会不假思索回答：“6”。说明他们没有把“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这个概念搞清楚。此时只要举出反例“”，就加深了理解，很有说服力。再如：“定理：对角线

13、相等且互相平分的四边形是矩形”与“定理：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”内容很相近，公式与结构形式相近，学生搞不清楚。因此在教学中，诸如此类的问题，讲述时多举反例，（也可鼓励学生举反例），达到强化理解的作用。 5.2引入反例进行教学，能够增强学生发现问题、纠正错误的观念。 学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。例2：学生在判断两个相关联的量是否成反比例的量时，往往不是很清楚，如下面的一个实例：小美总共要做10道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。错解：已经做了的题和没有做的题是

14、成反比例的。 有大多数的学生认为这是对的，他们没有充分理解成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。这个题是两个量的和一定，此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因，从而更加深刻的理解成反比例的三个条件。例3：学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，如下面的一个实例： 解方程： 错解:方程两边同乘以， 得： , 即 经检验知是原方程的解。 学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是由把代入方程两边相等。于是，我又举了一个简单的分式方程如何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右边未乘以)，于是学生便迅速地得出正确解法。 通

15、过上面两个例子的教学，例2:使学生能更好的理解成反比例的三个条件是缺一不可的，要同时满足三个条件才是成反比例的量。例3:加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。同时，也使学生认识到，解答结果对并不能保证解题过程的正确。(有时计算结果往往一种偶然的巧合)，收到了较好的教学效果。在教学实践中，经常会遇到学生证明命题时会出现错误或无据可依。构造反例不仅可使学生发现错误，澄清是非，更重要的是从反例中得到较、好的补救。找出自己的漏洞，获得正确的结论。 5.3构造反例进行教学，能够使学生理解并掌握数学中的有关定理、性质 学生在学习一个新的定理、性质时，往往会忽略定理、性质中的关键词语，从而造成解题的错

16、误。为了克服这一现象，教学中要善于构造反例，帮助学生牢记关键词语，达到正确理解并掌握定理、性质。 例4，垂径定理的推论1“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”，学生常会忽略括号中的限制条件，误记为“平分弦的直径垂直于弦”。教学时可以构造反例，如：圆中任意两条直径，虽然它们互相平分，但不一定互相垂直，由此来纠正这一错误，加深对限制条件的理解。 5.4引用反例进行教学，能够加深学生对教学公式、法则的正确理解而达到灵活运用 学生在学习有关公式、法则时，经常会忽略这些公式、法则的运用范围，使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，铸成错误。因此，教学中不仅要向学生讲清、交代公式、法则的适用条件，而且要适当引用

17、一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解而达到有效的掌握。例5：先化简，再求值，当时，有：甲：原式:=0乙：原式=2 你认为谁正确，为什么？此例是有绝对值的化简公式的应用，导致两种截然相反结果的原因是绝对值中的值是大于0还是小于0，由题意知时，因此故乙正确。通过此例甲、乙两同学计算过程的对比，让我们明显体会到今后在化简有绝对值式子时，一定要注意绝对值内a的符号，否则会出现两种完全不同的结果。 5.5运用反例进行教学，能够提高学生否定错误的命题的能力 判断一句话（或一种理论）的真伪，首当其充的方法选择就是构造反例。这是由反例自身的特点决定的。它具有直观、简明、清晰、说服力强等特点，因而在澄清是非

18、，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。数学中有些问题，若从正面角度讲，学生会感到模糊、理解不透，甚至还会产生错误的判断，为了提高学生正确识别、判断能力，教学时应突出反例，借助于反例来提高学生否定错误的能力。 例6负数就是在一个数的前面加一个负号。许多学生都认为是正确的，其实，它是一个假命题，只要构建一个反例即能说明。如果这个数本来就是一个负数，在它的前面再加一个负号那么这个数就变成了一个正数了。再如果这个数是0，在0的前面加个负号还是0。所以这句话是错误的。例7 在对正三棱锥的概念进行学习时，我们很容易就忽略掉“顶点在底面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等

19、腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。对此，可以举如下反例：如图1所示，三棱锥中，。显然底面为正三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥却不是正三棱锥。反例的功能是显而易见的，通过上面简单探讨，不难看出它是理解数学概念的有力工具，也是纠正错误的有效方法，还是强调条件的得力措施，更是否定谬论的锐利武器。数学是一门缜密的科学,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系。在数学学习中,让学生掌握严密的逻辑推理的同时,应鼓励学生多去举反例,这才能更深刻掌握数学基础知识,多层面、多角度观察思考问题,提高其数学修养与培养科学研究能力，“反例的运用可以强化推理的严谨性，培养思维的批判性，发展逆向思维，想象力和创造性，“举反

20、例的过程，就是使我们的数学能力逐步提高的过程”。总结：反例在数学学习中要注意的一些问题在学习中重视和恰当运用反例,不仅可以调动我们的积极性,养成重视条件,严格 推理的习惯,而且还可以提高我们的数学能力和学习能力.6 反例的功能和作用虽然很大，但在学习中,运用反例必须注意一些问题: 6.1注意主次.学习中主要学习概念,定理和方法,对于基本的命题和结论应予以严格的 证明和推导.但举反例重在说明结构,辩清是非,故我们对反例掌握要求不能太高,它应是围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段。 6.2 注意适当.反例应是经过挑选的,既要简单又要能说明问题.学生自己构造的反例难度应当适当,以免浪费很多时间和精

21、力,且容易有挫败感.不同的学习内容,对运用不同的反例,有不同的要求. 总之, 只有符合学习的实际情况, 才能使反例在数学的学习中发挥真正的作用。7 总结反例能培养学生良好的发散性思维和创造性思维。在数学教学过程中，教师往往过于偏重演释论证的训练，注意培养学生的逻辑思维能力上。要知道解决问题固然重要，但没有发现问题何来的解决问题？为了克服教师的这一习惯教法，在教学中要鼓励学生敢于提出问题，不要对学生的问题或猜想给予讽刺和挖苦，甚至是打击，要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范围等要敢于猜想，对不是现成的定理要着眼于发现和创新，自己提出问题，猜想结果，使反例这一工具得以充分应用，这不仅

22、可以使学生的创新能力得以提高，同时更有利于学生开展研究性学习，从而有效地提高教学质量。 反例能优化解题过程。解题是一种数学能力，获得问题的解答是智力活动与非智力活动协调统一的结果。对于中学生来说，解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题，可以考察他们对知识的掌握情况。某段时间学生解题能力的变化，不仅代表着学生学习能力增强或降低，也暗示着学生在这段时间的心理特征。因此，教师在教学过程中更要注重学生解题能力的培养，时刻关注学生学习和心理的变化。学生在做数学题时遇到难以解决的问题是正常的现象，但是大多数学生总是千方百计地从正面寻找解题的出路，即使在他们一次次失败之后仍然想不到，是否可以举出一个反例来否

23、定命题。参考文献1王知人，浅谈反例的教学功能J，教学研究，2000，23(3)：278-279.2郭要红，反例的来源与潜在功能J，数学教育，2003，6：6-8.3罗增儒，数学解题引论M，陕西师范大学出版社，2001(07).4李文铭，初等几何教学研究，数学史M，陕西师范大学出版社，2012(12).5黄淑林，浅谈数学反例J，广西民族轩辕报（自然科学版），1999（04）6席振伟，数学的思维方式M，南京，江苏教育出版社，1995（04）.7马建珍，反例在数学分析中的作用J，宜宾学院学报，2006(08).8肖宏治，反例在数学分析教学中的作用及构造分析J，六盘水师范高等专科学校学报，2005(0

24、6).9Liu Fubao, and a counterexample teaching method in mathematical analysis, science and Technology Innovation Herald, 2009 eleventh.10(US) G. Polya, how to solve M, Shanghai, Shanghai science and Technology Education Press, 2007The role of counterexample in the middle school mathematics teachingZh

25、ang Shuan(Shaanxi institute of mathematics mathematics and mathematics education professional ,Class 11 grade 02, HanZhong 723000 ,Shanxi)Tutor: Lin ZhangAbstract: Mainly expounds the counterexample in middle school mathematics teaching in the function and application of counterexample teaching shou

26、ld pay attention to several issues and examples for the background type negative content. In mathematics teaching using the counter example can effectively stimulate the students thirst for knowledge, through counterexamples can enable students to deepen the understanding of basic knowledge, the counterexample is not only helps the students to a comprehensive and correct understanding, grasp of mathematics basic concepts and basic theorems and correct the error, an important way to find problems.Key word: Counterexample. Middle school mathematics. Teaching. Effect.第7页共8页