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1、多边形内角和及外角和讲义第一讲 三角形内角和及外角和一、谜语导入：形状似座山，稳定性能坚。三竿首尾连，学问不简单。大家都知道，我们几何都是由线段组成的各种图形，最简单的也就是三条线段围成的闭合图形，但是我们谜面上却说“学问不简单”！好，那么它到底多神秘？我们先从三角形内外角和讲起。二、 基础知识回顾： 第一部分：三角形内角和180。(只知道两角的三角形碎纸可以求出另一角么？)证法1，把三个角剪下来拼凑成一个平角180，这是我们小学法。证法2，利用平行线法，这是初中生应该掌握的。 三角形ABC中，过点A做EF平行于BC 方法很多种，就靠我们自己去发现，去掉EA这段，延长BA至E，同样可利用平行线
2、法证出内角和180。后面方法很多，同学们自己去发现，去探讨。法3：利用平行线把三角形做成一个平行四边形，即两个ABC的内角和（四边形内角和360），故三角形ABC内角和180。这也是证明四边形内角和的主要方法。（同学们可以借鉴此法推断其它多边形内角和。）由三角形内角和180，可知两个特殊的三角形：直角三角形，直角外的两角互补。正三角形的三个角都为60。 第二部分：三角形的外角和。 三角形一条边与另一条边的延长线组成的角叫外角性质1一个外角等于不相邻的两内角和性质2外角与相邻内角互补性质3三角形的外角大于不相邻的任一内角性质4三角形的外角和为360由逆反思维提出三角形的外角和怎么证明呢？ 由定义
3、三角形ABC中A的外角=B+CB的外角=A+C =外角和=2(A+B+C)=360C的外角=A+B 多边形外角和都是360，请同学们思考我们如何得出来的？三、 实战秒杀计详解：例1、三角形ABC中，A:B:C=2：3：4 ，那么A、B、C对应的外角度数比如何？内角和法：设每份X，得出2X+3X+4X=180，得X=20 =A=40B=60C=80 =对应外角140，120，100故比为7:6:5。外角和法：设每份X，由三角形外角和360得出有： 1802X+1803X+1804X=360，得X=20 = 对应外角140，120，100故比为7:6:5。 提高法：设每份X，三角形 A、B、C 对
4、应为2X、3X、4X ，那么他们对应的外角应为（3X+4X）、（2X+4X）、（2X+3X），我们不用解直接得到比为7:6:5。例2、如图，求五个角的度数和。 解：标出6，7 6=1+3，7=2+5 故 4+6+7=180 即 1+2+3+4+5=180同理，我们也能分出其他三角形解出。这种类型的题主要锻炼我们的识图、分图能力。例3、如图示，1=80，2=70，求CEA，BDA的度数。 我们观察出，题中三角形可以还原成一个完整的三角形，如下图。ADE=ADE1=80AED=AED2=70BDA=180802=20CEA= 180702=40提高点：关于这类型的题我们都可以推本溯源找到其母体所在
5、，再分析问题就简单多了。模型一：已知ADE、AED，猜想CEA和BDA与A的关系。 同理，把三角形母体示意出来，如图 BDA=18021 CEA=18022 A=180(120)=BDA+CEA=2A 模型二：如图，已知ADE、AED，猜想CEA和BDA与A的关系。 把三角形母体图示意如右 CED=180AEDCEA=AEDCED=2AED180BDA= 1802ADE A= 180（ADE+AED） = BDACEA=2A模型三：如图，已知ADE、AED，猜想CEA和BDA与A的关系。 把三角形母体图示意如右BDE=180ADEBDA=ADEBDE=2ADE180 CED=180AEDCEA
6、=CEDAED=1802AED A=180AEDADE 联立，可得 CEABDA=2A四、 实题演练（2013，中考原题）如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将BMN沿MN翻折，得FMN，若MFAD，FNDC，则B多少（95） 第二讲 多边形内角和及外角和 三角形是最简单的几何图形，我们已经学了其内外角和，那么多边形的内外角和又有什么特点呢？一、 老师上一讲留了两个悬念给大家，不知道同学们课后有没有思考呢？ 五边形的内角和怎么去算？ 怎样证明多边形外角和都是360？二、知识回顾： 1、四边形内角和 任意一个四边形只要连接一条对角线都可以分成两个三角形，故四边形内角和为2180
7、也可如右图，在四边形中间取一点再连接各顶点，可以构成四个三角形，那么四边形内角和表示为：4180（1+2+3+4）=41803602、五边形内角和任意一个五边形都能分成如右图所示的三个三角形，故五边形内角和为3180 也可如右图所示，在五边形中间取一点再连接各顶点，可以构成5个三角形，那么五边形内角和表示为：5180（1+2+3+4+5）=51803603、 多边形内角和 把多边形可拆分为若干个三角形，在多边形中间取一点再连接各顶点可以得出内角和为:n180360=（n2）180正多边形各内角度数为：4、多边形外角和 如右图示，外角和由一角的外角和此角互补可得： 外角和=1801+1802+1
8、803+1804=4180360=360 同理，多边形外角和n180（n2）180=360三、 秒杀技能详解 口头回答：1、当多边形边数增加时，它的内角和也增大？ 2、当多边形边数增加时，它的外角和也增大？ 3、从n边形的一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，那么可以得到（n-2）个三角形？例1、如果一个多边形的每个外角都相等，且小于45，那么这个多边形边数最少为几条？解：假令每个外角恰好等于45，则36045=8 每个外角都小于45，即n36045=8（多边形外角和不变，角度就越小，边数愈多）故，边最少为9条例2、凸边形中有且仅有两个内角为钝角，则边数的最大值为多少？解：由题意，其外角仅有两个为锐角，其余的（n-2）则90。 2*+(n-2)*=360(为锐角，90) n=(360-2)/+2,要使n取得最大值，要小，要小。 故=90时，n可以取得最大值5 【变式】一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是（大于或者等于4个）四、课后练习：如果一个多边形的内角和与它一个外角的度数之和为1350，求此多边形的边数。
多边形内角和及外角和讲义
