数值分析试题及答案

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1、例1、 已知函数表-112-304求Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：（1） 由题可知-112-304插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为例2、 设，试求在0, 1上有关，最佳平方迫近多项式。解：若，则，且，这样，有因此，法方程为，通过消元得再回代解该方程，得到，故，所求最佳平方迫近多项式为例3、 设，试求在0, 1上有关，最佳平方迫近多项式。解：若，则，这样，有因此，法方程为解法方程，得到，故，所求最佳平方迫近多项式为例4、 用复合梯形和复合辛

2、普森公式计算积分。解：（1）用复合梯形公式由于，因此，有（2）用复合辛普森公式由于，因此，有例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组解。解：先消元再回代，得到，因此，线性方程组解为，例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组解。解：设则由对应元素相等，有，因此，解，即，得，解，即，得，因此，线性方程组解为，、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）、当时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度次数为。 （）、矩阵范数。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态。（用） （ ）6、设，且有（单位阵），则有

3、。（ ）7、区间上有关权函数直交多项式是存在，且唯一。（ ）1、（） 2、（） 3、（ ） 4、（） 5、（ ） 6、（ ）7、（） 8、（ ）一、 判断题（101）1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AXb一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非线性方程f(x)=0牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛。 ( )3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 则解线性方程组AXb高斯塞德尔迭代法一定收敛。 ( )4、 样条插值一种分段插值。 ( )5、 假如插值结点相似，在满足相似插值条件下所有插值多项式是等价。 ( )6、 从实际问题精确解到实际计算成果间误差有模型误差、观测误差、截断误差及

4、舍入误差。 ( )7、 解线性方程组平方根直接解法合用于任何线性方程组AXb。 ( )8、 迭代解法舍入误差估计要从第一步迭代计算舍入误差开始估计,直到最终一步迭代计算舍入误差。 ( )9、 数值计算中总误差假如只考虑截断误差和舍入误差，则误差最佳分派原则是截断误差舍入误差。 ( )10、插值计算中防止外插是为了减少舍入误差。 ( )1. 用计算机求时，应按照从小到大次序相加。 （ ）2. 为了减少误差,应将体现式改写为进行计算。 （ 对 ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数

5、项无关。 （ ）复习试题一、填空题：1、，则ALU分解为 。答案：2、已知，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得,用三点式求得 。答案：2.367，0.253、，则过这三点二次插值多项式中系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1， 4、近似值有关真值有( 2 )位有效数字；5、设可微,求方程牛顿迭代格式是( )；答案6、对,差商( 1 ),( 0 )；7、计算措施重要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内根时，二分n次后误差限为( )；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15

6、 )；11、 两点式高斯型求积公式( )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组Ax=b高斯次序消元法满足充要条件为(A各阶次序主子式均不为零)。13、 为了使计算 乘除法次数尽量地少，应将该体现式改写为 ，为了减少舍入误差，应将体现式改写为 。14、 用二分法求方程在区间0,1内根,进行一步后根所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得近似值为 0.4309 ，梯形公式代数精度为 1 ，辛卜生公式代数精度为 3 。16、 求解方程组高斯塞德尔迭代格式为 ，该迭代

7、格式迭代矩阵谱半径= 。17、 设,则 ，二次牛顿插值多项式为 。18、 求积公式代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( )次代数精度。19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求( 12 )。20、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求( 2.5 )。21、假如用二分法求方程在区间内根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。23、是以整数点为节点Lagrange插值基函数，则( 1 )，( )，当时( )。26、变化函数 ()形式，使计算成果较精确 。27、若用二分法求方程在区间1,2内根，规定精确到第3位小数，则需要对分 1

8、0 次。29、若用复化梯形公式计算，规定误差不超过，运用余项公式估计，至少用 477个求积节点。30、写出求解方程组Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为 ，此迭代法与否收敛 收敛 。31、设,则 9 。32、设矩阵，则 。33、若，则差商 3 。34、数值积分公式代数精度为 2 。35、 线性方程组最小二乘解为 。36、设矩阵分解为，则 。二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组必要条件是（ C ）。 AA各阶次序主子式不为零 B C D 2、设，则为( C ) A 2 B 5 C 7 D 33、三点高斯求积公式代数精度为( B )。 A 2 B5 C 3 D 44、求解线性

9、方程组Ax=bLU分解法中，A须满足条件是( B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶次序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生误差。A. 只取有限位数 B模型精确值与用数值措施求得精确值C 观测与测量 D数学模型精确值与实际值 6、3.141580是有( B )位有效数字近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x近似表达ex所产生误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组主元素消去法中选择主元目是( A )。A控制舍入误差 B 减小措施误差C防止计算时溢出 D 简化计算 9、用1+近似表达所产生误差是( D )误差。 A

10、舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-3247500是舍入得到近似值，它有( C )位有效数字。 A 5 B 6 C 7 D 811、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2系数为( A )。 A 05 B 05 C 2 D -2 12、三点高斯型求积公式代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )3位有效数字是0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用简朴迭代法求方程f(x)=0实根，把方程f(x)=0表到达x=j(x)，则f(x

11、)=0根是( B )。(A) y=j(x)与x轴交点横坐标 (B) y=x与y=j(x)交点横坐标(C) y=x与x轴交点横坐标 (D) y=x与y=j(x)交点15、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多项式余项是( B ),牛顿插值多项式余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 17、等距二点求导公式f(x1) ( A )。18、用

12、牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0根。19、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内一种根，把方程改写成下列形式，并建立对应迭代公式，迭代公式不收敛是(A )。(A) (B)(C)(D)21、解方程组简朴迭代格式收敛充要条件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 22、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式稳定性不能保证，因此实际应用中，当（ ）时牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.252

13、4.25所确定插值多项式次数是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次25、取计算，下列措施中哪种最佳？（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。27、由下列数表进行Newton插值，所确定插值多项式最高次数是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。28、形如高斯（Gauss）型求积公式代数精度为（）(A)； (B)； (C) ； (D) 。29、计算Newton迭代格式为( )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 30、用二分法求方程在区间内实根，规定误差限为，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)1

14、2； (C)8； (D)9。32、设是认为节点Lagrange插值基函数，则( )(A)； （B）； （C）； （D）。 33、5个节点牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收敛是( )(A)； (B)； (C)； (D)。36、由下列数据012341243-5确定唯一插值多项式次数为( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。37、5个节点Gauss型求积公式最高代数精度为( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非题（认为对在背面括弧中打，否则打）1、 已知观测值

15、,用最小二乘法求n次拟合多项式时，次数n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表达cosx产生舍入误差。 ( )3、 表达在节点x1二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式长处是在计算时，高一级插值多项式可运用前一次插值成果。 ( ) 5、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )四、计算题：1、 用高斯-塞德尔措施解方程组 ，取，迭代四次(规定按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 求A、B使求积公式代数精度尽量高

16、,并求其代数精度；运用此公式求(保留四位小数)。答案：是精确成立，即 得求积公式为当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。因此代数精度为3。 3、 已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求三次插值多项式，并求近似值（保留四位小数）。答案： 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 6、已知区间0.4，0.8函数表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求近似值，怎样选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 尽量小，即应使尽量小，最靠近插值

17、点三个节点满足上述规定。即取节点最佳，实际计算成果， 且 7、构造求解方程根迭代格式，讨论其收敛性，并将根求出来，。答案：解：令 .且，故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 则当时，故迭代格式 收敛。取，计算成果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且满足 .因此. 8运用矩阵LU分解法解方程组 。答案：解： 令得，得. 9对方程组 （1） 试建立一种收敛Seidel迭代公式，阐明理由；（2） 取初值，运用（1）

18、中建立迭代公式求解，规定。解：调整方程组位置，使系数矩阵严格对角占优故对应高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：. 10、已知下列试验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0x1时，ex，则 ，且有一位整数. 规定近似值有5位有效数字，只须误差 .由 ，只要 即可，解得 因此 ，因此至少需将 0,1 68等份。 11、用列主元素消元法求解方程组 。解： 回代得 。 12、取节点,求函数在区间0,1上二次插值多项式,并估计误差。解： 又 故截断误差 。14、给定方程1) 分析该方程存在几种根；2

19、) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3) 阐明所用迭代格式是收敛。解：1）将方程 （1）改写为 （2） 作函数，图形（略）知（2）有唯一根。2) 将方程（2）改写为 构造迭代格式 计算成果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，当时，且因此迭代格式 对任意均收敛。15、用牛顿(切线)法求近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解：是正根，牛顿迭代公式为， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (

20、-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式及f (1，5)近似值，取五位小数。解：17、n=3,用复合梯形公式求近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：，时，至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 =，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 20、（8分）用最小二乘法求形如经验

21、公式拟合如下数据：1925303819.032.349.073.3解： 解方程组 其中 解得： 因此 ， 21、（15分）用复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不一样等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在收敛性，选一种收敛格式计算附近根，精确到小数点后第三位。解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：， ，23、（8分）已知方程组，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-S

22、eidel迭代法分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵谱半径。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， 25、数值积分公式形如 试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：， 27、（10分）已知数值积分公式为： ，试确定积分公式中参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度次数。解：显然精确成立； 时，；时，；时，；时，；因此，其代数精确度为3。28、（8分）已知求迭代公式为： 证明：对一切，且序列是单调递减，从而迭代过程收敛。证明： 故对一切。又 因此，即序列是单调递减有下界，从

23、而迭代过程收敛。29、（9分）数值求积公式与否为插值型求积公式？为何？其代数精度是多少？解：是。由于在基点1、2处插值多项式为 。其代数精度为1。30、(6分)写出求方程在区间0,1根收敛迭代公式，并证明其收敛性。(6分)，n=0,1,2, 对任意初值,迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算近似值，并运用余项估计误差。用Newton插值措施：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7

24、22755532、(10分)用复化Simpson公式计算积分近似值，规定误差限为。 或运用余项： ，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687534、(8分)求方程组 最小二乘解。， 若用Householder变换，则：最小二乘解： (-1.33333，2.0

25、0000)T.36、(6分)构造代数精度最高如下形式求积公式，并求出其代数精度：取f(x)=1,x，令公式精确成立，得：， ，f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式代数精度=237、（15分）已知方程组，其中，（1）写出该方程组Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法分量形式；（2）判断（1）中两种措施收敛性，假如均收敛，阐明哪一种措施收敛更快；解：（1）Jacobi迭代法分量形式 Gauss-Seidel迭代法分量形式 （2）Jacobi迭代法迭代矩阵为， ，Jacobi迭代法收敛 Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为，

26、 ，Gauss-Seidel迭代法发散 40、(10分)已知下列函数表：012313927(1)写出对应三次Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出对应三次Newton插值多项式，并计算近似值。解：（1） （2）均差表： 42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分近似值（保留4位小数）。解：5个点对应函数值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111-（2分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： (2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 43、(10分)已知方程组，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法分量形式；(2)讨论上述两种迭代法收敛性。解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩阵： 收敛性不能确定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩阵： 该迭代法收敛