正方形培优试题及答案

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1、武汉重点中学八年级数学下学期正方形专题培优训练1.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是（）ABCD2如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（） Aa2Ba2C（1）a2D（1）a23.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为（）A10

2、B12C14D164.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm25如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是 6.已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OEOF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为 7.如图，分别以ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满

3、足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）8.在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交

4、，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不写求解过程），并画出此时的图形9.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积10.如图，四边形ABC

5、D是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长11.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（

6、2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），试用含的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形EFGH是什么四边形？并说明理由12.如图所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1l于点D1，过点E作EE1l于点E1（1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1

7、、AB之间的数量关系（不需要证明）13.（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长14.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF（1）如图2

8、，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） 武汉重点中学八年级下学期正方形培优试题答案1.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上若正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，则点A3到x轴的距离是（）A

9、BCD解：过小正方形的一个顶点W作FQx轴于点Q，过点A3FFQ于点F，正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3，B3C3 E4=60，D1C1E1=30，E2B2C2=30，D1E1=D1C1=，D1E1=B2E2=，cos30=，解得：B2C2=，B3E4=，cos30=，解得：B3C3=，则WC3=，根据题意得出：WC3 Q=30，C3 WQ=60，A3 WF=30，WQ=，FW=WA3cos30=，则点A3到x轴的距离是：FW+WQ=+=，故选：D2.如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30得到正方形ABCD，图中阴影部分的面积为（）Aa2

10、Ba2C（1）a2D（1）a2解：设BC与CD交于点E，连接AE在ABE与ADE中，ABE=ADE=90，ABEADE（HL），BAE=DAEBAB=30，BAD=90，BAE=DAE=30，DE=ADtanDAE=aS四边形ABED=2SADE=2aa=a2阴影部分的面积=S正方形ABCDS四边形ABED=（1）a 2故选：D3.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为（）A10B12C14D16解：连DB，GE，FK，则DBGEFK，在梯形GDBE中，SGDB=SEDB（同

11、底等高），SGDB公共三角形=SEDB公共三角形，即SDGE=SGEB，SGKE=SGFE，同理SGKE=SGFES阴影=SDGE+SGKE=SGEB+SGEF=S正方形GBEF=42=16故选D4.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含45的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积等于正方形面积的，即是5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n1）=cm2故选C5.

12、如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是20解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，即（a2+b2）=（a2+b2ab）=（a2+b2+2ab3ab）=（a+b）23ab；代入a+b=10，ab=20可得阴影面积为（1010203）2=20；故答案为206.已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OEOF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为解答：解：四边形ABCD是正方形OA=OB，EAO=FBO=45又AOE+EOB=90，BOF+EOB=90AOE=BO

13、F，AEOBFOAE=BFBE=CFAB=3+4=7OAOB= S四边形OEBF=SAOB=OAOB= 故答案为7.如图，分别以ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）解：（1）四边形ADEF是平行四边形（1分）等边三角形BCE和等边三角形ABD

14、，BE=BC，BD=BA又DBE=60ABE，ABC=60ABE，DBE=ABC在BDE和BCA中，BDEBCA（2分）DE=AC在等边三角形ACF中，AC=AF，DE=AF同理DA=EF四边形ADEF是平行四边形（4分）（2）当BAC=150时，四边形ADEF是矩形（5分）（3）当AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形ADEF是菱形（6分）（4）当BAC=150且AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形ADEF是正方形（7分）（5）当BAC=60时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在（8分）8.在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）将一个最短边长大于的

15、直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形解：（1）S=OEEF=；（2）如图，正方形GFEO的面积为1，当重合的面积为正方形GFEO的面积的一半时，有两种情况：四边形OSCB的面积为时，易证得四边形ACOD为正方形，ABCDSC，有四边形OSCB

16、的面积与正方形ACOD的面积相等，故有OD=OA=即点C的坐标为（，）四边形FSCB的面积为时，易证得四边形ACDF为正方形，ABCDSC，有四边形FSCB的面积与正方形ACDO的面积相等，故有FD=FA=即点C的坐标为（1，1）9.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是A

17、B上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积（1）证明：四边形是ABCD正方形，BC=CD，B=CDF=90，BE=DF，CBECDF（SAS）CE=CF （2分）（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45CE=CF，GC=GC，ECGFCG（5分）GE=GF，GE=GF=DF+GD=BE+GD （6分）（3）解：如图3，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC

18、，四边形ABCG为正方形AG=BC（7分）DCE=45，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG（8分）10=4+DG，即DG=6设AB=x，则AE=x4，AD=x6，在RtAED中，DE2=AD2+AE2，即102=（x6）2+（x4）2解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）（9分）AB=12S梯形ABCD=（AD+BC）AB=（6+12）12=108即梯形ABCD的面积为108（10分）10.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+C

19、M的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长（1）证明：ABE是等边三角形，BA=BE，ABE=60MBN=60，MBNABN=ABEABN即MBA=NBE又MB=NB，AMBENB（SAS）（5分）（2）解：当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小（7分）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小（9分）理由如下：连接MN，由（1）知，AMBENB，AM=EN，MBN=60，MB=NB，BMN是等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM（10分）根据“两点

20、之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长（11分）（3）解：过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF=ABFABE=9060=30设正方形的边长为x，则BF=x，EF=在RtEFC中，EF2+FC2=EC2，（）2+（x+x）2=（12分）解得，x1=，x2=（舍去负值）正方形的边长为（13分）11.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2

21、，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），试用含的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形EFGH是什么四边形？并说明理由（1）解：四边形EFGH的形状是正方形（2）解：HAE=90+a，在平行四边形ABCD中ABCD，BAD=180ADC=180a，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD=3604545（180a）=90+a，答：用含的代数式表示HAE是90+a证明：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在平行四边形ABCD

22、中，AB=CD，AE=DG，AHD和DGC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45，HDG=HDA+ADC+CDG=90+a=HAE，AHD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG答：四边形EFGH是正方形，理由是：由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四边形EFGH是菱形，HAEHDG，DHG=AHE，AHD=AHG+DHG=90，EHG=AHG+AHE=90，四边形EFGH是正方形12.如图所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1l于点

23、D1，过点E作EE1l于点E1（1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需要证明）解答：（1）证明：四边形CADF、CBEG是正方形，AD=CA，DAC=ABC=90，DAD1+CAB=90，DD1AB，DD1A=ABC=90，DAD1+ADD1=90，ADD1=CAB，在ADD1和CAB中，ADD1CAB（AAS），DD1=AB；（2）解：AB=DD1+EE1证

24、明：过点C作CHAB于H，DD1AB，DD1A=CHA=90，DAD1+ADD1=90，四边形CADF是正方形，AD=CA，DAC=90，DAD1+CAH=90，ADD1=CAH，在ADD1和CAH中，ADD1CAH（AAS），DD1=AH；同理：EE1=BH，AB=AH+BH=DD1+EE1；（3）解：AB=DD1EE1证明：过点C作CHAB于H，DD1AB，DD1A=CHA=90，DAD1+ADD1=90，四边形CADF是正方形，AD=CA，DAC=90，DAD1+CAH=90，ADD1=CAH，在ADD1和CAH中，ADD1CAH（AAS），DD1=AH；同理：EE1=BH，AB=AHB

25、H=DD1EE113（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长解：（1）在RtABE和RtAGE中，AB=AG，AE=AE，RtABERtAGE（HL）BAE=GAE同理，GAF=DAF（2）MN2=ND2+DH2（3分）BAM=D

26、AH，BAM+DAN=45，HAN=DAH+DAN=45HAN=MAN又AM=AH，AN=AN，AMNAHNMN=HN（5分）BAD=90，AB=AD，ABD=ADB=45HDN=HDA+ADB=90NH2=ND2+DH2MN2=ND2+DH2（6分）（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG设AG=x，则CE=x4，CF=x6在RtCEF中，CE2+CF2=EF2，（x4）2+（x6）2=102解这个方程，得x1=12，x2=2（舍去负根）即AG=12（8分）在RtABD中，在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，MN2=ND2+BM2（9分）设MN=a，则即a 2=（9a） 2+（3

27、） 2，即（10分）14.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PFCD于点F如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PEPB且PE交CD于点E求证：DF=EF；写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PEPB且PE交直线CD于点E请完成图3并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，AC是正方形ABCD对角线，QAP=APQ=45，AQ=PQ，AB=QF，B

28、Q=PF，PEPB，QPB+FPE=90，QBP+QPB=90，QBP=FPE，BQP=PFE=90，BQPPFE，QP=EF，AQ=DF，DF=EF；如图2，过点P作PGADPFCD，PCF=PAG=45，PCF和PAG均为等腰直角三角形，四边形DFPG为矩形，PA=PG，PC=CF，PG=DF，DF=EF，PA=EF，PC=CF=（CE+EF）=CE+EF=CE+PA，即PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；2）结论仍成立；结论不成立，此时中三条线段的数量关系是PAPC=CE如图3：PBPE，BCCE，B、P、C、E四点共圆，PEC=PBC，在PBC和PDC中有：BC=DC（已知），PCB=PCD=45（已证），PC边公共边，PBCPDC（SAS），PBC=PDC，PEC=PDC，PFDE，DF=EF；同理：PA=PG=DF=EF，PC=CF，PA=EF=（CE+CF）=CE+CF=CE+PC即PC、PA、CE满足关系为：PAPC=CE