高考数学命题趋势预测及其考场创优策略

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1、高考数学命题趋势预测与考场创优策略 一、高考数学命题趋势预测（一）高考命题原则及解读1、保持整体稳定，考查个性品质；试卷结构的稳定；题型设计及题干的表述上的稳定；2、深化能力立意，注重适度创新对逻辑思维能力的考查置于考查的核心. 对计算能力的考查，注意算理算法. 对空间想象能力，着重考查图形辨识、几何元素的位置关系和几何量的计算. 对分析问题和解决问题的能力考查，兼顾纯数学问题和数学应用题，设计背景公平取材恰当合理，切合中学数学实际. 3、突出主干知识4、在知识网络交汇处、思想方法的交织线上、能力层次的交叉区内命题. 5、关注数学素养、考查理性思维、凸显学科能力. 6、综合测试双基，重点考查新

2、增内容. 基本技能、基础知识和基本方法的考查要求始终主旋律. 试卷对新知识、新思想、新方法的考查设计集中体现命题指向. 总之，2008年高考数学命题将会体现出“保持整体稳定，注重知识重组，强化实践应用，渗透课改理念”的鲜明特征. （二）考点命题特点及趋势展望1、传统内容常考常新，重要考点重点凸现. 1.1函数、导数与不等式函数与不等式是高中数学的主干知识，也是数学高考的重点内容之一，而导数是研究函数不等式的一个桥梁，它能将二者进行有机的结合. 纵观近几年高考各地试题，重要的考点主要表现在以下几个方面：1.1.1函数的图象与性质函数的定义域、值域、最值、函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性等历年

3、都是高考的热点内容，不过题目多以基础题出现. 题1（2007年重庆卷）已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则（ ）、Af(6)f(7)Bf(6)f(9)Cf(7)f(9)Df(7)f(10)解析：由已知得y=f(x)的对称轴为x=8，f(x)在上为减函数，则f(x)在上为增函数，所以f(6)=f(10)0，且； （2）方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根. 解析：（1）因为，所以. 由条件a+b+c=0，消去b，得ac0；由条件a+b+c=0，消去c得.故. （2）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得. 又因为，而，所以方程f(x)=0在区间与内分别

4、有一实根. 故方程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根. 点评高考对三个“二次”的联考，常存常新，特别是充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了。1.1.3函数与不等式的综合问题题4（2007年全国卷）设函数. （1）证明：的导数；（2）若对所有都有，求a的取值范围. 解析 （1）略；（2）令，则，（1）若，当x0时，故g(x)在(0，+)上为增函数，所以，x0时，即. （2）若a2，方程的正根为，此时，若，则，故g(x)在该区间为减函数. 所以，时，即，与题设相矛盾. 综上，满足条件的a的取值范围是点评：导数知识与不等式知识的结合求解一类参数的取值范围，是在知识的交汇点上设计的题

5、目，能考查学生对各知识点进行渗透及综合分析问题的能力，每年的高考都有不少这样的题，今年也如此. 1.2 数列与不等式数列与不等式既是高考的主干知识，又是数学高考的重点内容之一，近几年的高考试题中，既注重数列、极限等自身内容的综合，也注重考查思维能力，在数列与不等式这一部分，常以压轴题的形式出现，它主要从以下几个部分考查：1.2.1 等差、等比数列等差数列和等比数列的基本概念，通项和前n项和公式的应用，等差、等比数列的性质是历年高考的必考内容. 常以基础题的形式出现. 题5（2007福建卷）等差数列an的前n项和为（1）求数列的通项与前n项和Sn；（2）设，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能

6、成为等比数列. 解析：（1）由已知得故（2）由（1）得. 假设数列bn中存在三顶bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则，即 与pr矛盾. 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列. 点评：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力. 1.2.2 递推数列. 递推数列是近几年高考命题的一个热点内容之一。常考常新模型化归是解题的常用方法：化归为等差或等比数列解决；借助数学归纳法解决；推出通项公式解决；直接利用递推公式推断数列的性质解决. 题6（2007天津理）在数列an中，其中. 求数

7、列an的通项公式. 解析方法1：根据已知条件得，据此猜想，然后用数学归纳法证明如下：（略）方法2：将两边同除以，则即：. 令. 则. bn为等差数列，公差d=1. 且 从而，. 点评解法1通过求出的基础上，猜想出an的通项公式，然后用数学归纳法给出证明，而解法2利用等价转换的思想，将数列转化为等差数列，注重了对能力的考查. 1.2.3 数列与不等式数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式、求不等式中的参数范围、求数列中的最大项、最小项、比较数列中的项的大小关系、研究数列的单调性等问题. 数列不等式的证明和解决要调动证明不等式的各种手段，如比较法、放缩法、函数法、反证法，均值不等式法、

8、数学归纳法、分析法等. 因此，这类问题解决方法相当丰富，是考查逻辑推理、演译证明、运算求解、归纳抽象等理性思维推理以及数学联结能力的好素材. 题7（2006天津卷），已知数列满足，并且（为非零参数，n=2,3,）（1）若成等比数列，求参数的取值范围. （2）当0时，证明；（3）当1时，证明解析：（1）（略）（2）由已知，及，可得由不等式的性质，有另一方面，. 因此，故. (3)当1时，由（2）可知又由（2），则从而因此. 点评：本题中的（2）是利用不等式的性质进行证明的，而（3）利用放缩法转化数列求和进行证明的. 1.3 三角与向量三角函数题主要考查考生的运算能力及灵活运用基本公式的能力。客观

9、题中，突出考查基本公式所涉及的运算，三角函数的基本性质，尤其是对角的范围及角之间转换. 解答题以中等难度为主，涉及解三角形，三角形内的恒等变换等。三角函数部分，公式较多，易混淆，在恒等变换时，要观察三角函数中函数名称的差异，角的差异，结构式的差异，确定三角函数变形化简的方向. 平面向量的考查侧重于平面向量的数量积及平面向量中共线、垂直的关系以及其坐标运算. 向量是数学中的重要概念，同时，向量的工具性更不容忽视，以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、立体几何有机的结合是高考命题重要的方向. 1.3.1 三角的恒等变换三角函数的有关运算，特别是分析其中三角函数式的差异、角的差异，利用

10、所学公式进行合理变形. 三角恒等变换化简求值在三角题型中另成一体系，其重要性仅次于三角函数的性质和图象，对此我们也不可掉以轻心，解决该类问题应当特别注意其中角的范围的确定. 题8（2007四川卷）已知且. （1）求值；（2）求. 解析：（1）由得于是（2）由，得又. 由得 所以点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式，三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力. 1.3.2三角函数的图象与性质. 三角函数的图象特征，三角函数的最值、单调性、周期性，对称性，一直以来都是高考的热点内容，主要以客观题的形式出现，而主观题则以向量的形式给出. 题9（2007安徽卷）函数的图象为C. 图象C关于直

11、线对称；函数f(x)在区间内是增函数；由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 以上三个论断中，正确论断的序号是 。解析将代入函数得3.正确；令，即正确；将x的图象向右平移个单位得错误，答案：. 点评：考查三角函数的图象与性质. 1.3.3向量的运算. 向量的平行、垂直及平面向量的数量积是向量运算中的重要的考点，2008年仍在此命题，仍以客观题出现. 例10（2007重庆卷）如图，在四边形ABCD中，则的值为（ ）A2BC4D解析：又，且BDDC,AB/DC. 延长AB到E，使BEDC（如图），连CE，则CDDB. CEAE，AEC是等腰直角三角形，EAC45. 答案C点评：本题考查向量的基

12、本运算. 1.3.4 三角形内的三角函数. 三角形内的三角函数问题主要考查解三角形、三角形形状的判定，三角形内的恒等变换. 题11 （2007浙江卷）已知ABC的周长为，且（1）求边AB的长；（2）若ABC的面积为，求角C的度数. 解析（I）由题意及正弦定理，得两式相减，得AB1.（II）由ABC的面积得由余弦定理，得. 点评：本题充分利用正弦定理和余弦定理解三角形. 当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量具备代数与几何形式的双重身份，它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥梁. 因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势. 1.4 排列、组合、二项式定

13、理、概率与统计 1.4.1 排列组合问题. 排列组合问题是高考必考问题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握. 备考的有效方法是题型与解法归类，识别模式，掌握解题策略. 具体解题策略如下：（1）相邻问题，捆绑为一；（2）不相邻问题，插空处理；（3）特殊优先，一般在后；（4）定序问题只选不排（或先排后除）；（5）元素相同排列，定序处理；（6）条件交叉，容斥原理；（7）平均分堆，先分后除；（8）不同球入盒，先分堆后排列；（9）相同球入盒，隔板处理；（10）正难则反，排除法处理；1.4.2 二项式定理. 二项式定理主要考查二项展开式及展开式的通项，并利用通项求特征项或特征项的系数，并

14、注意系数与二项式系数的区别。一般以客观题形式出现，题目较为基础. 1.4.3 概率与统计. 概率与统计的引入拓宽了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的极好素材. 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法. 随机变量是理科高考的必考内容，其中理科离散型随机变量的分布列、期望与方差最热点. 题型以解答题为主，以选择题、填空题为辅. 这种形势有可能发生变化，即有可能转变为以客观题为主. 文科主要是抽样方法的考查，以客观题为主

15、. 题12（2007安徽卷）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好将笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔，以表示笼内还剩下的果蝇的只数. （1）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（2）求数学期望E；（3）求概率P（E）. 解析：（1）的分布列为0123456P（2）数学期望为（3）所求的概率为点评：本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力. 1.5 立体几何立体几何是高中数学的重

16、要模块之一，它既有自身的独立地位，也可与代数、三角、向量等主干知识相关联。立体几何主要培养学生的空间想象能力、逻辑思维和逻辑推理能力，同时也同函数与方程、特殊与一般、归纳与证明、分类与讨论等数学思想方法相结合，故立体几何在全国各地高考试题中的地位不可撼动，试题份量与分值历年保持相对稳定. 立体几何的线面关系是重点考查内容，特别要注意的是，对一道试题可以用二种方法选用，特别强调用向量法解决问题. 其中，一线与一面垂直是热点，中点是常考，正方体是重要模型。总之，立体几何常从以下几个方面考查. 1.5.1 位置关系的判断或证明. 题13 （2007年江苏卷）已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四

17、个命题：mn, m n； /，m, nm/nmn, mn； ，mn，mn；其中正确的序号是（ ）A、B、C、D、解析：由，m, nmn或m、n异面，错由mn，man或n, 错，故选C.答案：C. 点评：本题考查两直线与平面垂直问题，是两平行直线垂直同一平面，是两平行直线与两平行平面中的一个垂直，则与另一平面也垂直. 1.5.2 空间的距离和空间的角题14 （2007福建卷）如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. （1）求证：AB1平面A1BD；（2）求二面角AA1DB的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离；解析：（1）取BC 中点O，连结AO，正三棱柱ABC

18、A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1，连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，B1OBD，AB1BD. 在正方形ABB1A1中，AB1A1B，AB1平面A1BD. （2）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作CFA1D于F，连结AF，由（1）得AB1平面A1BD，AFA1D, AFG为二面角AAD1B的平面角. 在AA1D中，由等面积法可求得AF=,又，所以二面角AA1DB的大小为. （3）A1BD中，BD=A1D=，在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为设点C到平面A1BD的距离为d. 由得 点C到平面A1BD的距离为.

19、点评：本题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识。考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.此题还可以用空间向量的方法解答 1.5.3 有关面积与体积的计算计算几何体的体积问题，应记住相应的几何体的体积公式，要边证明边计算，一般会涉及到割补问题、特定位置问题，涉及到多面体、正棱柱（锥）以及球的性质。求体积、面积的最值时，往往还会选择导数方法来处理. 题15（2007年江西卷）直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=1，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=2，CC1=3，求此几何体的体积. 解析本题的几何体体积

20、可转化为求三棱柱A1B1C1A2B2C2和四棱锥BAA2C2C体积的和，由已知，三棱锥A1B1C1A2B2C2和四棱锥BAA2C2C的体积都很容易求解. 过B作截面BA2C2/面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2. 作BHA2C2于H，连CH. A1B1=B1C1=1，所以，=. . .点评本题是将所求几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，从而用规则的几何体求积方法求解，用割补方法解决此类问题较为合理. 1.6 平面解析几何平面解析几何研究的两个基本问题是：根据动点满足的条件求其所表示的平面曲线的方程；通过方程研究平面曲线的性质。近年的高考中，解析几何试题多数是围绕这两个方面进行命制

21、的. 解析几何包括直线与圆和圆锥曲线两个部分. 直线与圆的方程是解析几何中最基础的内容，在高考试题中，主要以客观性试题的形式出现，属于低档题，考查内容主要为直线的倾斜角、斜率，求直线的方程，判断直线与直线、直线与圆的位置关系；点到直线的距离，两直线所成的角；对称问题. 另外线性规划是命题的重点；所考查的思想方法仍将是坐标法、形数结合、分类讨论、方程思想和待定系数法. 因此复习这部分内容时，对于基本知识和方法熟练掌握，以提高分析问题和解决问题能力. 圆锥曲线主要从以下四个方面考查：以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；求平面曲线的方程和轨迹；圆锥曲线的有关元素计算、关系证明和范围确定；涉及

22、与圆锥曲线对称变换、最值和位置关系有关的问题. 综合以上知识，归纳如下：1.6.1 直线与圆题16 （2007浙江卷）设m为实数，若，则m的取值范围是 . 解析 题中所给的集合关系为两个点集的关系，记O(0, 0), C(3，4)，借助图形并结合分析，若mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为. （1）（略）（2）设Q1、Q2为椭圆上两个动点，OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程. 解析 （II）设点D(x0, y0)，当y00时，ODQ1Q2， ，Q1Q2方程为y=kx+m，Q1(x1, y1),

23、 Q2(x2, y2)满足 ，故, 又，由OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0，有. 当y0=0时，x=x0, Q1(x1, y1), Q2(x2, y2)满足， ，由于x1x2+y1y2=0，即 ，D为坐标仍满足方程. 点评 直线与圆锥曲线的位置关系是高考中重中之重，应熟练掌握解决此类问题的基本思想与方法，即方程组思想，在设直线方程时，应考虑到直线垂直于x轴的特殊情况，分类讨论等，在用韦达定理时，不能忘记0的条件. 1.6.5 定值与最值及参数的取值范围题20 （2007四川卷）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值. （2）设过定点M(0,

24、 2)的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围. 解析（1）设P(x, y)，则，又 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2.时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1. （2）直线x=0不满足条件，可设直线,由得 ,，令，得.又，故cos0， .即，又， k24，即2k2. 综上有.点评 本题是求最值与参数的取值范围。这类问题涉及面广、条件隐蔽，能力要求高。常见思想有： 根据问题中显性条件或隐蔽性条件构建各变量的不等式组， 如利用圆锥曲线的有界性、判别式、二次方程根的分布，点与曲线的位置关系（右支、左支等）；根据变量间的关系，构造变量

25、的目标函数，通过求函数的值域或最值来确定；根据平面几何性质求变量的最值. 2. 注重知识交汇交叉，整合重组模式多样由于高考试题有区分选拔功能，在考查基础知识的同时，还要注重能力的考查，确立能力立意命题的指导思想。因此命题时，特别注意知识之间的交叉、渗透与整合，命题者常常在知识的整合、交汇点上设计试题，应当特别关注下列整合模式. 2.1 平面向量与其也知识点的整合由于平面向量具有代数式与几何双重形式的身份，具有极其丰富的数与形的教学背景和很强的工具性能，因此成为高考中能力考查的一大新热点. 2.1.1平面向量与代数的整合例如：（湖北卷）已知向量ab，若函数ab在区间(1，1)上是增函数，求t的取

26、值范围. 答案：t5.2.1.2平面向量与三角函数的整合例如：（山东卷，17）已知向量m和n ，且|m+n|=，求. 答案：. 2.1.3平面向量与解析几何的整合例如：（全国卷I）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a（3，1）共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值. 答案：略2.1.4平面向量与平面几何的整合例如：（湖南卷）P是ABC所在平面上一点，若，则点ABC的（ ）A、外心B、内心C、重心D、垂心答案：D2.2 数学期望与其他知识的整合数学期望，作为新增的教学内容，既是教学重点，又是教学难点，

27、近年来出现的数学期望与其它知识点整合的高考试题，让人耳目一新. 2.2.1数学期望与函数的整合例如：（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市游览的景点与没游览的景点数之差的绝对值. （1）求的分布列及数学期望；（2）记“函数f(x)=x23x+1在区间2，+）上的单调递增”为事件A，求事件A的概率. 答案：（略）2.2.2数学期望与解析几何的整合例如：（全国卷III）设l为平面上过点(0, 1)的直线，l的斜率等可能地取，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E= . 答案：.

28、 2.2.3数学期望与数列的整合例如：（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白球的数量比为s:t，现在从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其中放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数. （1）求的分布列；（2）求的数学期望；答案：（略）2.3 导数与其他知识的整合导数是研究函数的重要工具，近两年来已出现导数在研究不等式及向量、三角函数等方面的综合试题. 2.3.1导数与不等式的整合例如：（湖南卷）设f(x)、g(x)分别定义在R上的奇函数，当x0时，且g(3)=0，则不等式f(x)g(x

29、)0的解集是（ ）A、B、C、D、答案D2.3.2三角导数与向量的整合例如：（江西卷）已知向量a，b=，令f(x)ab，是否存在实数，使（其中是f(x)的导函数），若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之. 简解：由，得，但此时无意义，故不存在这样的实数x. 3. 应用问题有规可循，偶尔出人意料之外应用性问题，近年来，一改过去应用问题局限于函数及不等式的范畴，在线性规划、导数及概率、期望两年内就出现许多内容新颖、贴近生活的优秀试题，2008年应重点关注下列4种模式的应用题. 3.1利用线性规划求值例如：（湖北卷）某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg

30、，价格为140元；另一各是每袋24kg，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费 元. 解析：设购买35kg的x袋，24kg的y袋，则35x+24y106,xN, yN, 共要花费z=140x+120y. 作出35x+24y106，xN, yN对应的可行域，目标函数z=140x+120y在格点（1，3）处取最小值500元，填500.3.2利用导数求最值例如（辽宁卷）甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的甲方的情况下，乙方的利润x(元)与年产量(t)吨满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须

31、赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）；(1)将乙方的年利润w（元）表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 答案略3.3概率和期望的实际应用例如（天津卷）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果. 投资成功投资失败192次8次则该以司一年后估计可获收益的期望是 （元）. 答案67603.4正态分布与

32、线性回归的应用例如（07广东卷）下表提供了某厂节能降耗技术改造后甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据. x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产以能耗为90吨标准煤，试根据（II）求出线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5） 答案略又如： 2006年湖北、2007年连续两年都考查了正态分布问题. 4. 高考新题层出不容，设计线索扑朔迷离作为选拔性的

33、高考，不仅是知识性的测试，更侧重于能力的考核，因此高考应突出能力立意，不但要考查学生学过的、见过的知识的综合与运用，还要考查课堂没有教过的学生没有见过的，需要挖掘潜能方能解决的一些问题. 4.1 “即时定义”题层出不穷所谓即时定义题，就是在试题的叙述中当场给出一个概念，概念的给出常伴有“设”“称”“规定”“定义”等字眼，然后再根据这个概念现学现用来解题. 这一类试题考生往往比较陌生，但又有新意. 例如：（辽宁卷）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x成立，则（ ）A、1a1B、0a1时，；（2）对于n6，已知，求证：，（3）求出满足等式的所有正整数n. 数论是数学的一个重要分支，整数的基本性质

34、是其中最为重要的部分. 本题具有很多的高等数学背景，第1问可由伯努利不等式借助导数得证，第3问不定方程问题，它具有勾股定理，费尔马大定理，埃斯柯特猜想等背景，本题选材、立意时代感强，此类试题在高考中较为常见. 4.4.3以函数的上下确界为设计线索例如：定义在D上的函数f(x)，如果满足：常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）试判断函数在1, 3上是不是有界函数？请给出证明；（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M1为的上界的有界函数，求实数a的取值范围. 答案略有界函数是数学分析的一个基本概念。本题以高观点为背景，

35、通过给出的定义（设置新情景），考查学生阅读、理解、迁移新知识的能力，以及灵活运用函数知识求解不等式恒成立问题的能力. 4.4.4以图论知识为设计线索例如：对大于或等于2的自然数m的n次宽幂进行如下图的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为 . 图论作为一个数学分支，与计算机有关学科的学习与研究有着密切的关系，本题通过图形语言传递给我们一种信息，即按一定的规则进行“分裂”，本题的求解过程中融入了等差数列的知识，使试题的创新有了坚实的基础. 4.4.5以级数的收敛性为设计线索例如：（2006年全国卷）设数列an的前n项（1）求首项a1与通项

36、an；（2）设 证明：. 以高等数学中的级数收敛性为背景，以数列和不等式的知识为载体，考查了转化思想以及分析问题和解决问题的能力，此类问题有时比较复杂，此时数学归纳法和放缩性是基本解法，放缩时应注意放缩的目标，应以我们熟悉的基本求和方法所适用的数列为准，此类问题在高考中屡见不鲜. 表述方法带有高等数学色彩的试题还有许多，如函数的凹凸性、介值定理、行列式、线性有关、分形几何等，剖析这类试题，不难看出他们往往以新定义的概念或是简单解法的形式出现在高考试卷中，充分体现了中学数学与高等数学在形式上、思想方法上或是知识上的和谐衔接，这些题目形式新颖，将各种能力的考查融于一身，已成为高考一道独特的风景，值

37、得引起我们的注意，尤其是能力较强的学生可在老师指导下，阅读一点高等数学书籍以便争创高分或满分. 二、考场创优策略答卷方法恰 当与否直接影响考生的成绩，是考生应该特别注意的一个重要环节，提醒同学们注意以下几个方面：1.答卷时间要分配好考生拿到试卷以后，不要匆忙下笔答题，应在答题之前先看试卷前面的说明和要求，并把试卷从头尾浏览一遍，了解试卷的结构、题量、题型、难度、分值等等，做到心中有数，沉着应战，通览全卷之后，可大体分配一下各类题型的答题时间，在以后答题时，每做完一类题型后对照一下时间进度，并根据情况适当调整策略，一般情况下，一场考试时间大体可分为三段：第一段，初审题目，接到试卷后，再用三分钟的

38、时间先大体上浏览一遍，把握题型和题量，做到心中有数，第二段，答题. 这一段分配时间约为考试规定时间的；第三段，检查答卷，检查答卷的时间最少要保证1020分钟. 2.审题要认真考试固然讲究做题速度，但没有质量，速度又有何意义？有的考生惟恐做不完，草草审题，在没有弄清题目要求的情况下匆匆作答. 因为理解不透彻、不到位、造成等题不全，失分很多，甚至发生审题错误，结果一分不得. 题目审清了，解题就成功了一半，审题是正确答题的基础，认真审准题，才能正确定向，一举突破，每次考试，总有一些考生失误丢分，令人痛心. 尤其是那些似曾相识的题，极易混淆，因此要特别细心，以防“上当受骗”. 3.答题时要“六先六后”

39、在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于单一，大脑趋于兴奋，思维 趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了. 这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则. 3.1先易后难。答题时先易后难，这是答卷的一条重要原则，因为考生刚上一场，心情较为紧张，记忆、思维等方面都达不到最佳状态，做出了几道简单题后，情绪渐渐稳定，信心越来越足，解题速度随之加快，这样，对攻克难题肯定会有帮助. 3.2先熟后生。即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题，这样，在拿下熟题的同时，思维也变得流畅了，对拿下中高档题有一定“催化”作用. 3.3

40、先同后异。就是说，先做同科同类型的题，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益. “先同后异”可以减轻大脑负担、保持旺盛精力. 3.4先小后大。小题一般信息量少，运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，打下一个宽松的心理基础，当然，个别小题目做不出来，不妨先放一放，也是明智的选择. 3.5先高后低。即在考试的后半段时间要注重时间效益. 如估计两题都会做，则先做高分题，估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足的前提下得分. 3.6先紧后松。答题时，开始要抓紧时间，不要怠慢，要多留点时间答后面的难题和检查答卷

41、，如果先松后紧，可能到最后，题未答完，虽然有些题本来会做，可是考试结束的铃声响了，只好“望题兴叹”追悔莫及！4.分段得分，每分必争考分是高考录取的重要依据，有时一分之差就决定取舍，因此答题不必“高姿态”、“讲大方”，而应全力以赴，每分必争。会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是：对不能全面完成的题目如何分段得分呢？下面介绍五种常用方法：4.1缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤。先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如数学考试时从最初的文字语言译成

42、符号语言，把条件和目标译成数学表达式；设应用题的未知数设轨迹题的动点坐标；依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第一步、分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分，而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，人局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功. 4.2跳步解答。解题过程卡在一中间环节上，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底。另外，若题目有两问，第一问做不出，可以以第一问为“已

43、知”，完成第二问，以上都叫跳步解答，也许后来由于在解题中对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下中间难点，可以在相应题尾补上. 4.3退步解答。如果我们不能马上解决所面临的问题，可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论（通俗说，难的不会想简单的），总之，退到一个能够解决的问题，认透了、钻深了，然后再上去. 4.4倒步解答。顺推有困难时就逆推，直接证有困难时就间接证，从左边推右边有困难时就从右边推左边等等，都不失为行这有效的分段得分手段. 4.5辅助解答。一道题的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤. 实质性

44、的步骤找不到，找辅助性的步骤是明智的（也不困难），有时候甚至是必不可少的，这就像打攻坚战时要先扫清外围一样. 以上五种处理办法，既是考试的得分策略，又是重要的解题策略，因而同时具有得分与解题的两个功能，退可分段得分，进可解决全题，希望考生从积极的方面运用这些技术、力争解决全题. 5.只要不倒扣分，不妨大胆猜测当今的考试近乎标准化，选择题是标准化考试中的主要题型，答题时，碰到有解不出的选择题，奉劝考生不要轻易放弃，凭经验大胆地去猜测（概率论的观点，对于四择一的选择题，完全靠猜测，有25%的猜对可能），很多研究都证明，在标准化考试中，“勇于猜测的人”比“谨慎小心的人”更易于取得较好的分数. 但需要

45、说明的是：这样猜测的前提是猜错而不倒扣分，否则，将会冒很大的风险，甚至还不如不答为好，再则，猜测之举一定要放在最后，即其他可以准确解答的试题已解答完毕，而且对不能回答的试题已从不同方面进行过努力，确实无力解答时，再去猜测那些准备留成空白的选择题. 6.草稿不草、不废考试时，要重视草稿纸的作用，“草稿纸是答题思路的履历表”. 因此，必须做到在草稿纸上演算，答题要整洁有序，重要地方做好标记，要排好版、编好号、此举对突破思维障碍，解答疑难试题会起到意思不到的作用7.保持卷面整洁卷面整洁与否，给阅卷者的第一印象大不一样，卷面整洁，阅卷者看起来赏心悦目，心情愉快，很可能无形中放宽几分，而一遇到书写马虎潦

46、草的试卷，有些阅卷者马上就会心烦意乱，看一份试卷下来，头昏眼花，情绪不佳，评分时，无形中就扣去几分，这就是所谓的“情绪效应”，因此，每位考生都应当充分认识到这一点，不要因为自己的不良习惯而丢了“情绪分”. 8.认真检查答卷检查答卷是考试的必要环节，但常为考生所忽视，致使可以得到的小分被丢掉了. 因此，应注意：一方面，答卷时要认真仔细；另一方面，答卷完毕不要急于交卷，要充分利用剩余时间对答卷进行检查验证，一旦发现错误，立即改正. 实践证明：考试成绩不是由智力因素惟一决定的，非智力因素对考试成绩的影响也是不容低估的，考试既是对学生智力品质的检测，也是对学生非智力品质的检验，同学们在充分开发智力因素的同时，也应着力锻炼非智力品质.