锐角三角函数--讲义

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1、哈佛教育宾老师锐角三角函数 讲义一、基础知识点：1.定义：如图在ABC中，C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作；把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作；把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作；2、三角函数值（1）特殊角的三角函数值角度三角函数030456090sinA01cosA10tanA01不存在（2）锐角三角函数值的变化：（1）当为锐角时，各三角函数值均为正数，且0sin1，0cos1，当045时，sin，tan随角度的增大而_，cos随角度的增大而_（3）当045时，sin_cos；当4590时，sin_cos3、 同角、互余角的三角函数关系：（1）同角三角

2、函数关系：.； ；（2）互余锐角的三角函数关系：，。1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：已知条件解法一条边和一个锐角斜边c和锐角A直角边a和锐角A两条边两条直角边a和b，直角边a和斜边c备注：a、b、c为三角形的三边；A、B、C为三角形的三个内角、S为三角形的面积三、典型例题：1 锐角三角函数的相关概念例1、如图1，在RTABC中，C=90，sinA=，则tanB的值为（）ACB图1ABCDABCDO例2例5例2、如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若

3、O的半径是，AC=2，则sinB的值是（ ）ABCD例3：已知在中，C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sinA =例4：在中，分别是的对边，若，则 例5：如图，在RtABC中，C90，AB5，AC2，则cosA的值是（）A B C DBACDE例6：如图2，在ABC中，C90，AB10cm，sinA，则BC的长为 _cm.ACBDABO 例7ACB例6变式2图变式1图 例7：正方形网格中，如图3放置，则的值为（）典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1 在RtABC中，C=90，sinB=，点D在BC边上，且ADC=45，DC=6，求BAD的正切值变式训练1 如图，在中，于，若，则的

4、值为（ ）A. B. C. D.变式训练2如图，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=60，BD=4，CE=，则ABC的面积为（ ）A B15C D题型三：化简计算例1（1）计算：.变式：已知是锐角，且sin(+15)=。计算。特殊角的三角函数值例1菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（ ）A B C D变式训练2. 如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC 的余弦值为( ). A B C D变式1图例1图ABO第4图第3图概念巩固练习1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，则（ ）A. B. C. D

5、. 2.已知为锐角，且，则等于（ ）ABCD3.如图，已知直角三角形的斜边长为，则直角边的长是（ ）ABCD4.正方形网格中，如图放置，则=（）A B C D5.在ABC中，C90，tanA，则sinB（ ） AB C D6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）ABCD7、如图，AB是O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC2，tanADC1，则AB_ 68CEABD（第6题）例1图第7图2、锐角三角函数的应用性问题(1)求线段长、面积、周长例1如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得ACB30，D点测得ADB

6、60，又CD60m，则河宽AB为 m（结果保留根号）. 变式1如图，一个小球由地面沿着坡度i=12的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为( )A5 m B2m C4m Dm变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD = 24 m，OECD于点E已测得sinDOE =（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？AOBECD例2如图，菱形ABCD的边长为10cm，DEAB，则这个菱形的面积= cm2（2）测量问题例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔

7、的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30；再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m）（3）、航海问题ABO北东西南)55例3、如图3，灯塔A在港口0的北偏东55的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口0出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选数据：sin55=0.8192,cos55=0.5736,tan55=1.4281）四、巩固练习：1. 如图，在中，则下列结论正确的是（ ）BCA（第1

8、题）ABC D2. 如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角为35，则坡屋顶的高度h为 米（结果精确到01米）3. ABC中，C=90，AB=8，cosA=，则AC的长是 ；4.先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）A. B. C. D. DBC5.如图10，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，则CA1= ， BA

9、EDC30图10ABCD6米5235(第7题图) 第5题图 填空第1题图 填空第2题图6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为_.7.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52和35，则广告牌的高度BC为_米(精确到0.1米)(sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin520.79，cos520.62，tan521.28)8. =_9. (1) 计算= （2）计算：= 五、课后练习 1如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为

10、1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A（）m B（）m C m D4m2如图，在等腰RtABC中，C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为（ ）（A） 2 （B） （C） （D）1 3已知在中，设，当是最小的内角时，的取值范围是ABCD4如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A90 B60 C45 D30第11题图（第5题）第4题图第7题图5如图，矩形ABCD中，ABAD，AB=a，AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( ) Aa B C D6在AB

11、C中，C90，sinA，则tanB（）ABCD7在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）ABCD8计算sin45的结果等于_.9在RtABC中,C=90,若AC=2BC,则sin A的值是( )A B2 C D10在RtABC中，C=90，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= 。11直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，点E在AB上，将CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则BCE的正切值为 12如图，在ABC中，B=45，cosC=，AC=5a，则ABC的面积用含的式子表示是 13.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救

12、，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 O米到离B点最近的D点，再跳人海中救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米秒若BAD=4 5，BCD=6 0，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B (参考数据1.4，1.7)MNBOADOC304514.如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）请求出旗杆

13、的高度（参考数据：，结果保留整数）15.小刚有一块含有30角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为9cm；第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得BOC为80(O为AB中点)请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长(参考数据：sin800.98，cos800.17，tan805.67；sin400.64，ABCOcos400.77，tan400.84，结果精确到0.1cm)16.如图，在矩形中，是边上的点，垂足为，连接DABCEF（1）求证：；（2）如果，求的值