状态空间表达式

《状态空间表达式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《状态空间表达式（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、2.5控制系统的状态空间表达式2.5控制系统的状态空间表达式随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统， 多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制 理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在 控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法一一状态 空间就应运而生。2.5.1状态变量在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要 确定了这组变量在诉切 时刻的值以及 司时的输入函数，则系统在 司任何时刻的

2、运动状 态就会全部确定。状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。 一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。若用工1(时庄术庭讯时表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t )的分量。我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为攻) 叩)=现_ 侦*)-分别以状态变量心应盼由作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。系统在t时 刻的状态，就是状态空间的一点。系统在七二苛时刻的状态m称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化 过程。2.5

3、.2状态空间表达式1. 状态方程由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。对于线性系统，可以写成如下形式1 = 口11工1十乩监邛十十两系珏十如肉十妃叱十 -十切叫r 3 = 如1工1十 &工2十，十诳系珏十版1肉十板双十十版叫= ffljiaci + wSCz 十+ FjSJrt + 海.Ul 十加泓2 + . + 电Ur2.59) 若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。若A和B中有随时间变化的元素，状 态方程就是线性时变的。状态方程中不能含有x（t）的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。 对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式记为M) = Aac(

4、i)十 Bu(t)(2.60)式中x(t)是n维列向量(壬)=$1 工斜.SCrt Tu(t)是r维输入向量以0) = Ul 比2 . . . tip fA是n*n维矩阵，称为系数矩阵B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵爵 1 =于_（3C111】足r；t）(2C1 i i111 jilrjii(2.61)n(t) = f记为(2.62)式中f为向量函数。2. 输出方程描述系统的输出变量与状态变量和输入变量关系的方程，称为输出方程。线性系统的输出方程具有以下形式% = G11X1 十 C12X2 十，.十 Gin.十由 1 址 1 十 di22 + 十汀1 f浙呢 =C21XL十4泓2十十笼

5、巾珏十独的十d登出十.十d服迎r临=编国十3E + + E环+扁1的十赢仙+ *出（2.63)记为(2.64)C11G12 Giro如122 0牍(J =式中y（t）为m维列向量，称输出向量 出矩阵理）=洗洗 - 端KC为m*n维矩阵，称为输D为m*r维矩阵，称为直接传输矩阵线性定常系统的输出矩阵和直接传递矩阵的所有元素均为常量。非线性系统的输出方程可表示为(2.65)式中g称为向量函数。输出方程中不含有变量的任何导数项。3. 状态空间表达式系统的状态方程和输出方程总称为系统的状态空间表达式(2.66)= Ax-引 LC1(2.67)传递函数是系统输出与输入之间关系的数学描述，它所描述的系统的

6、动态特性并不涉及系统内部 各种变量的问题，是从外部看到的系统的一种整体特性，我们称其为外部特性。应该说，传递函 数对系统特性的描述是不完全的。在状态空间表达式中，状态方程反映了输入对系统内部状态的 影响，即输入改变了系统的状态，而输出方程则反映了状态变量对输出变量的影响，即状态改变 产生了输出改变。状态空间表达式包含了系统运动的内部信息（状态）和外部信息（输出），是 对系统动态特性的完整描述。图2.35是系统状态空间表达式的结构图。图中用双线箭头表示向量信号。2.5.3状态空间表达式的建立建立控制系统的状态空间表达式，可以根据系统运动的内在机理直接建立状态方程和输出方程， 也可以根据系统的微分

7、方程，传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。1.由微分方程建立状态空间表达式（1）不含输入函数倒数项的n阶线性系统。设n阶线性系统的微分方程具有如下形式，同十由g” 一 1）十，,.十如_ &十如g =皿 zo心、当等初始值及在J U时的输入函数已知时，系统在t时刻的行为就可以完全确定。所以，可以选取柄冬痛）共n个变量为系统的状态变量曲=V邛=寸勇=护一 1）瓦=扒咋_ 1）方程（2.68）可以写成式中输出方程为这就是n阶线性系统的状态方程，记为X =工1 000000000E-1 记为式中G= 1 0 0 0 1工n维矩阵具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上

8、方的元素为1,最后一行 的元素可取任何值，其余元素为零。（2）含有输入导数项的n阶线性系统设n阶线性系统的微分方程具有如下形式卿）十口俨-】）十，,一拉+=柿如十粕】）十，,顼十血（2.71）对于这种情况，若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法，状态方程就会出现输入函数的导 数项，这是不允许的。我们可以这样来选取状态变量= y 。曲仇叫=也目似x3 =（社一饷论宙）伉u = 剧u外=（曾如一 仇小田1）衍皿S-叱，_伉m） %_心=珏一 1 伉一山式中状态方程可写为0 0 010.控制矩阵为输出方程为状态空间表达式记为式中系数矩阵仍为友矩阵 A _B =炕/维矩阵_仲氏X 1输出矩阵为C=

9、1 0 0 . . . 0 1维矩阵而D =机因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统，所以状态方程中输入函数只有一个， 输出方程中输出变量也只有一个，与其相关的矩阵形式也较为简单。例20某线性定常系统的微分方程为2翌+ T翌+卬兽十钩=4俱成 泓 说写出其状态空间表达式。解 先把方程变为式（2.68）的形式手略+璀+4，=阪设状态变量为Hl = y枷玲3则状态空间表达式为r = Ar 十 Bu。=1。Q 例21控制系统的微分方程为泼+吊窿+侦斑+钩=诙十如写出其状态空间表达式。解这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算：角=。昆=。ft = 1供=_5参照式（2.72），（2.7

10、3），可得到状态方程ii =总邛=心十u效=8xl 1。叱7a；3 5 ti输出方程为状态空间表达式为2.由传递函数建立状态空间表达式再根据微分方已知控制系统的传递函数，可以求取其拉普拉斯的反变换，得到系统的微分方程， 程写出系统的状态空间表达式。例22已知控制系统的闭环传递函数为W _5+4X(s)菸十尸十5日十&写出其状态空间表达式。解先写出(决+疽十寿十8)K)=十4)X3)对上式进行拉普拉斯反变换，得到忒 痂 rfy Hu汲+就+ 5反+网=诙+S再计算状态空间表达式为r = Ar 十 Bug= Ct其中_ - 3 - 5 - 1 _B=rG= 1 0 0 根据已知的传递函数，引入一个

11、中间变量Z(s),用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达 式。设已知的传递函数具有下面的形式F(g)如5和十513网十十龈 13十房ra(2.75)日 w + fli-S 企十,+ 仍巾 一 13 + Otj.引入中间变量z(s)，即令奂)奂)(2.76)X叩)其中更声)B 、枫3切 + 版3海_ 1 + . . + b机 _ 1 月 + bm(2.77)珈)1十帛1习1十，十。is +血(2.78)因而有选取中间变量z(t)及其各阶导数为状态变量:由(2.79 )式可得到状态方程，(2.80)式可得到输出方程由其中从式(2.80)可以看出，输出变量只与m+1个状态变量有关，通常情况下mn，

12、所以输出矩阵C 中有n-(m+1)个元素为零。例23已知/十十良十8将其转换为状态空间表达式。解 设中间变量为Z（s）,则有（必十十53十时方=y由此写出状态空间表达式010001-8-5-1一工一X2 +理 H1/ = 4 1 0 2引入中间变量，画出结构图，根据结构图也可以写出状态空间表达式。 例24设系统的传递函数为$4十场扫，十命卫日，+企狩十啊(2.83)引入中间变量w，得到j4十au3十 十皿绪 十 知）Yi（s） =(2.84)(2.85)根据（2.84）式可以画出系统的结构图，如图（2.36）所示。作图的过程是：先画出数目与传递 函数阶次相同的积分环节，积分环节按串联连接。从最

13、左端积分环节开始，每个积分环节的输出 取作状态变量，式（2.84）的系数作为反馈回路的系数。根据结构图可以写出状态空间表达式(2.86工4 = 两工琳邛 一 %工3 一工4十 U(2.87)结构图中，前向通路、反馈通路的系数和状态空间表达式的A,B,C三个矩阵的元素间都有确定的 对应关系。读者熟练后，可直接根据传递函数画出结构图，从而写出状态空间表达式。也可以根 据状态空间表达式画出结构图，进而写出系统的传递函数。给定一个系统的传递函数，若存在一个状态空间表达式仍保持了原传递函数的输入输出关系，我 们称此传递函数是可实现的。传递函数可以实现的充分必要条件：它必须是一个真有理函数，即 传递函数分母的阶次n与分子阶次m必须满足m M n。从一个传递函数出发，用不同的方法，可以建立无穷多个状态空间表达式。所以，传递函数的实现不是唯一的。