第2章无套利定价原理

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1、第第2 2章章 无套利无套利定价原理定价原理 1什么是套利？什么是套利？商业贸易中的商业贸易中的”套利套利”行为？行为？例例1 1：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进：一个贸易公司在与生产商甲签订一笔买进10吨铜合同的同时，与需求商乙签订一笔卖出吨铜合同的同时，与需求商乙签订一笔卖出10吨吨铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以铜合同：即贸易公司与生产商甲约定以15,000元元/吨的价格从甲那里买进吨的价格从甲那里买进10吨铜，同时与需求商乙吨铜，同时与需求商乙约定把这买进的约定把这买进的10吨铜以吨铜以17,000元元/吨的价格卖给吨的价格卖给乙，并且交货时间地点都相同。这样，乙，并且交货时间

2、地点都相同。这样，1吨铜赚取吨铜赚取差价差价2,000元元/吨。吨。这是套利行为吗？这是套利行为吗？2无风险套利的定义无风险套利的定义 在金融理论中，套利指一个能产生在金融理论中，套利指一个能产生无风险无风险盈利盈利的交易策略。的交易策略。这种套利是指纯粹的无这种套利是指纯粹的无风险套利。但在实际市场中，套利一般指风险套利。但在实际市场中，套利一般指的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，的是一个预期能产生很低风险的盈利策略，即可能会承担一定的低风险。即可能会承担一定的低风险。3金融市场中的套利行为金融市场中的套利行为 金融市场的独特性使得影响套利的条件金融市场的独特性使得影响套利的条件比实物市

3、场大大地减弱。比实物市场大大地减弱。（1）专业化交易市场）专业化交易市场（2）电子化、无形化、数字化）电子化、无形化、数字化（3）卖空机制可能大大增加了套利机会）卖空机制可能大大增加了套利机会（4）在时间和空间上的多样性也使得套）在时间和空间上的多样性也使得套利更为便捷利更为便捷 4无套利定价原理无套利定价原理金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快金融市场上实施套利行为变得非常的方便和快速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利速。这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无投资

4、者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中。套利机会的均衡中。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是场不存在无风险套利机会，这就是“无风险套无风险套利定价利定价”原理或者简称为原理或者简称为“无套利定价无套利定价”原理。原理。什么情况下市场不存在套利机会呢？什么情况下市场不存在套利机会呢？5无风险套利机会存在的等价条件无风险套利机会存在的等价条件 （1 1）存在两个不同的资产组合，它们的）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益（未

5、来损益（payoffpayoff）相同，但它们的成相同，但它们的成本却不同；在这里，可以简单把损益理本却不同；在这里，可以简单把损益理解成是现金流。如果现金流是确定的，解成是现金流。如果现金流是确定的，则相同的损益指相同的现金流。如果现则相同的损益指相同的现金流。如果现金流是不确定的，即未来存在多种可能金流是不确定的，即未来存在多种可能性（或者说存在多种状态），则相同的性（或者说存在多种状态），则相同的损益指在相同状态下现金流是一样的。损益指在相同状态下现金流是一样的。6（2 2）存在两个相同成本的资产组合，但）存在两个相同成本的资产组合，但是第一个组合在所有的可能状态下的损是第一个组合在所有

6、的可能状态下的损益都不低于第二个组合，而且至少存在益都不低于第二个组合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个组合的损一种状态，在此状态下第一个组合的损益要大于第二个组合的损益。益要大于第二个组合的损益。（3 3）一个组合其构建的成本为零，但在）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能状态下，这个组合的损益都不所有可能状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至少存在一种状态，在此小于零，而且至少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要大于零。状态下这个组合的损益要大于零。7无套利机会的等价性推论无套利机会的等价性推论 （1 1）同损益同价格：如果两种证券具）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损益

7、，则这两种证券具有相同有相同的损益，则这两种证券具有相同的价格。的价格。（2 2）静态组合复制定价：如果一个资）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损益等同于一个证券，那么这产组合的损益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合的价格等于证券的价格。这个资产组合称为证券的个资产组合称为证券的“复制组合复制组合”（replicating portfolioreplicating portfolio）。）。8（3 3）动态组合复制定价：如果一个自融动态组合复制定价：如果一个自融资（资（self-financingself-financing）交易策略最后具交易策略最后具有和

8、一个证券相同的损益，那么这个证有和一个证券相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交易策略的成本。券的价格等于自融资交易策略的成本。这称为动态套期保值策略（这称为动态套期保值策略（dynamic dynamic hedging strategyhedging strategy）。）。所谓自融资交易所谓自融资交易策略简单地说，就是交易策略所产生的策略简单地说，就是交易策略所产生的资产组合的价值变化完全是由于交易的资产组合的价值变化完全是由于交易的盈亏引起的，而不是另外增加现金投入盈亏引起的，而不是另外增加现金投入或现金取出。一个简单的例子就是购买或现金取出。一个简单的例子就是购买并持有并持有(b

9、uy and hold)buy and hold)策略。策略。9确定状态下无套利定价原理的应用确定状态下无套利定价原理的应用 1 1、同损益同价格、同损益同价格 （例（例2 2）假设两个零息票债券假设两个零息票债券A A和和B B，两者都是在两者都是在1 1年后的年后的同一天到期，其面值为同一天到期，其面值为100100元（到期时都获得元（到期时都获得100100元现金流，即到期时具有相同的损益）。如元现金流，即到期时具有相同的损益）。如果债券果债券A A的当前价格为的当前价格为9898元，并假设不考虑交易元，并假设不考虑交易成本和违约情况。成本和违约情况。问题问题:（1 1）债券）债券B B

10、的当前价格应该为多少呢？的当前价格应该为多少呢？（2 2）如果债券）如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有97.597.5元，元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？问是否存在套利机会？如果有，如何套利？10（1 1）按照无套利定价原理，债券）按照无套利定价原理，债券B B与债券与债券A A具有具有一样的损益（现金流），所以债券一样的损益（现金流），所以债券B B的合理价格的合理价格也应该为也应该为9898元。元。（2 2）当债券）当债券B B的价格为的价格为97.597.5元时，说明债券元时，说明债券B B的的价值被市场低估了。那么债券价值被市场低估了。那么债券B B与债券与债券A A

11、之间存之间存在套利机会。在套利机会。实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产-债券债券B B，卖出价值高估的资产卖出价值高估的资产-债券债券A A。所以，套所以，套利的策略就是：卖空债券利的策略就是：卖空债券A A，获得获得9898元，用其中元，用其中的的97.597.5元买进债券元买进债券B B，这样套利的盈利为这样套利的盈利为0.50.5元。元。因为，在因为，在1 1年后到期日，债券年后到期日，债券B B的面值刚好用于的面值刚好用于支付卖空债券支付卖空债券A A的面值。的面值。11静态组合复制定价（例子静态组合复制定价（例子3 3）假设假设3 3种零

12、息票的债券面值都为种零息票的债券面值都为100100元，它们元，它们的当前市场价格分别为：的当前市场价格分别为：1 1年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9898元；元；2 2年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9696元；元；3 3年后到期的零息票债券的当前价格为年后到期的零息票债券的当前价格为9393元；元；假设不考虑交易成本和违约。假设不考虑交易成本和违约。12问题：问题：（1 1）如果息票率为）如果息票率为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的次利息的三年后到期的债券三年后到期的债券A A的当前价格应该为多少？的当前价格应该为

13、多少？（2 2）如果息票率为）如果息票率为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的次利息的三年后到期的债券三年后到期的债券A A的当前价格为的当前价格为120120元，问元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？是否存在套利机会？如果有，如何套利？13对于第一个问题，我们只要按照无套利对于第一个问题，我们只要按照无套利定价原理的推论（定价原理的推论（2 2），去构造一个），去构造一个“复复制组合制组合”就可以了。先看一个息票率为就可以了。先看一个息票率为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的三年后到期的次利息的三年后到期的债券的损益情况。面值为债券的损益情况。面值为100100元，息票率

14、元，息票率为为1010，所以在第，所以在第1 1年末、第年末、第2 2年末和第年末和第3 3年末的利息为年末的利息为10010010101010元，在第元，在第3 3年末另外还支付本金面值年末另外还支付本金面值100100元。如图所元。如图所示：示：1年末年末2年末年末3年末年末101011014构造相同损益的复制组合为：构造相同损益的复制组合为：（1 1）购买）购买0.10.1张的张的1 1年后到期的零息票债券，其损益刚年后到期的零息票债券，其损益刚好为好为1001000.10.11010元；元；（2 2）购买）购买0.10.1张的张的2 2年后到期的零息票债券，其损益刚年后到期的零息票债券

15、，其损益刚好为好为1001000.10.11010元；元；（3 3）购买）购买1.11.1张的张的3 3年后到期的零息票债券，其损益刚年后到期的零息票债券，其损益刚好为好为1001001.11.1110110元；元；所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，所以上面的复制组合的损益就与图所示的损益一样，因此根据无套利定价原理的推论（因此根据无套利定价原理的推论（2 2），具有相同损益），具有相同损益情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率情况下证券的价格就是复制组合的价格，所以息票率为为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的三年后到期的债券的当前次利息的三年后到期的债券的当前价格

16、应该为：价格应该为：0.10.198980.10.196961.11.19393121.7121.715对于第二个问题，其原理与对于第二个问题，其原理与例子例子2 2类似，债券类似，债券A A的当前价格的当前价格为为120120元，小于应该价格元，小于应该价格121.7121.7元，因此根据无套利定价原元，因此根据无套利定价原理，存在套利机会。当前市场价格为理，存在套利机会。当前市场价格为120120元，而无套利定元，而无套利定价的价格为价的价格为121.7121.7元，所以市场低估了这个债券的价值，元，所以市场低估了这个债券的价值，则应该买进这个债券，然后卖空复制组合。即基本的套利则应该买进

17、这个债券，然后卖空复制组合。即基本的套利策略为：策略为：（1 1）买进）买进1 1张息票率为张息票率为1010，1 1年支付年支付1 1次利息的三年后到次利息的三年后到期的债券期的债券A A；（2 2）卖空卖空0.10.1张的张的1 1年后到期的零息票债券；年后到期的零息票债券；（3 3）卖空）卖空0.10.1张的张的2 2年后到期的零息票债券；年后到期的零息票债券；（4 4）卖空）卖空1.11.1张的张的3 3年后到期的零息票债券；年后到期的零息票债券；16动态组合复制定价（例动态组合复制定价（例4 4）假设从现在开始假设从现在开始1 1年后到期的零息票债券的价年后到期的零息票债券的价格为格

18、为9898元。从元。从1 1年后开始，在年后开始，在2 2年后到期的零息年后到期的零息票债券的价格也为票债券的价格也为9898元。并且假设不考虑交易元。并且假设不考虑交易成本和违约情况。成本和违约情况。问题：（问题：（1 1）从现在开始）从现在开始2 2年后到期的零息票债年后到期的零息票债券的价格为多少呢？券的价格为多少呢？（2 2）如果现在开始）如果现在开始2 2年后到期的零息票年后到期的零息票债券价格为债券价格为9 97 7元，问是否存在套利机会？如果元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？有，如何套利？17与与例例3 3不同的是，在这个例子中我们不不同的是，在这个例子中我们不能简单地在

19、当前时刻就构造好一个复制能简单地在当前时刻就构造好一个复制组合，而必须进行动态地交易来构造复组合，而必须进行动态地交易来构造复制组合。我们要运用无套利定价原理的制组合。我们要运用无套利定价原理的第三个推论。现在看一下如何进行动态第三个推论。现在看一下如何进行动态地构造套利组合呢？地构造套利组合呢？18(1)从现在开始从现在开始1年后到期的债券年后到期的债券Z01第第1年末年末损益损益:100价格价格:98(2)1年后开始年后开始2年后到期的债券年后到期的债券Z12第第2年末年末损益损益:100价格价格:98(3)从现在开始从现在开始2年后到期的债券年后到期的债券Z02第第2年末年末损益损益:1

20、00价格价格:？19按照无套利定价原理的第三个推论，自融资按照无套利定价原理的第三个推论，自融资交易策略的损益等同于一个证券的损益时，交易策略的损益等同于一个证券的损益时，这个证券的价格就等于自融资交易策略的成这个证券的价格就等于自融资交易策略的成本。这个自融资交易策略就是：本。这个自融资交易策略就是：（1 1）先在当前购买）先在当前购买0.980.98份的债券份的债券Z Z0 01 1；（2 2）在第在第1 1年末年末0.980.98份债券份债券Z Z0 01 1到期，获得到期，获得0.980.981001009898元；元；（3 3）在第）在第1 1年末再用获得的年末再用获得的9898元去

21、购买元去购买1 1份份债券债券Z Z1 12 2；这个自融资交易策略的成本为：这个自融资交易策略的成本为：98980.980.9896.0496.0420 交易策略交易策略现金流现金流 当前当前 第第1 1年末年末 第第2 2年末年末(1)(1)购买购买0.980.98份份Z Z0 01 1-98-980.980.98=-96.04=-96.040.980.98100100 =98 =98(2)(2)在第在第1 1年末购年末购买买1 1份份Z Z1 12 2-98-98100100合计：合计：-96.04-96.040 010010021如果现在开始如果现在开始2 2年后到期的零息票年后到期的

22、零息票债券价格为债券价格为9 97 7元，则存在套利机会。元，则存在套利机会。如何套利呢？如何套利呢？按照我们前面的思路，市场高估了现在按照我们前面的思路，市场高估了现在开始开始2 2年后到期的零息票债券价值，则年后到期的零息票债券价值，则考虑卖空它，并利用自融资交易策略进考虑卖空它，并利用自融资交易策略进行套利。构造的套利策略如下：行套利。构造的套利策略如下：22（1 1）卖空）卖空1 1份份Z Z0 02 2债券，获得债券，获得9 97 7元，所承担的元，所承担的义务是在义务是在2 2年后支付年后支付100100元；元；（2 2）在获得的）在获得的9 97 7元中取出元中取出96.0496

23、.04元，购买元，购买0.980.98份份Z Z0 01 1；（3 3）购买的购买的1 1年期零息票债券到期，在第一年年期零息票债券到期，在第一年末获得末获得9898元；元；（4 4）再在第）再在第1 1年末用获得的年末用获得的9898元购买元购买1 1份第份第2 2年年末到期的末到期的1 1年期零息票债券；年期零息票债券；（5 5）在第）在第2 2年末，零息票债券到期获得年末，零息票债券到期获得100100元，元，用于支付步骤（用于支付步骤（1 1）卖空）卖空1 1份份Z Z0 02 2债券的债券的100100元；元；23套利策略获得盈利为：套利策略获得盈利为：9 97 96.047 96.

24、04 0.960.96元。元。具体的现金流情况。具体的现金流情况。交易策略交易策略现金流现金流当当 前前第第1 1年末年末第第2 2年末年末(1)(1)卖空卖空1 1份份Z Z0 02 29 97 7-100-100(2)(2)购买购买0.980.98份份Z Z0 01 1-0.98-0.9898 98=-96.04=-96.040.980.98100 100=98=98(3)(3)在第在第1 1年末购买年末购买1 1份份Z Z1 12 2-98-98100100合计：合计：9 97-96.047-96.04=0.960.960 00 024存在交易成本时的无套利定价原理存在交易成本时的无套利

25、定价原理 当存在这些交易成本时，上面的无套利定当存在这些交易成本时，上面的无套利定价原理的几个推论就可能不再适用了。因价原理的几个推论就可能不再适用了。因为存在交易成本，那么所构造的套利策略为存在交易成本，那么所构造的套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略也就不一定能盈利。因为，通过套利策略获得的盈利可能还不够支付交易成本。所获得的盈利可能还不够支付交易成本。所以，无套利定价原理这时候就不能给出金以，无套利定价原理这时候就不能给出金融产品的确切价格，但可以给出一个产品融产品的确切价格，但可以给出一个产品的价格区间，或者说价格的上限和下限。的价格区间，或者说价格的上限和下限。25例例5 5

26、假设两个零息票债券假设两个零息票债券A A和和B B，两者都是在两者都是在1 1年后的同年后的同一天到期，其面值为一天到期，其面值为100100元（到期时都获得元（到期时都获得100100元元现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买现金流，即到期时具有相同的损益）。假设购买债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖债券不需要费用和不考虑违约情况。但是假设卖空空1 1份债券需要支付份债券需要支付1 1元的费用，并且出售债券也元的费用，并且出售债券也需要支付需要支付1 1元的费用。如果债券元的费用。如果债券A A的当前价格为的当前价格为9898元。元。问题：（问题：（1 1）债券）债券B B的当

27、前价格应该为多少呢？的当前价格应该为多少呢？（2 2）如果债券）如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有97.597.5元，元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？26按照无套利定价原理，在没有交易成本按照无套利定价原理，在没有交易成本时，时，B B的合理价格为的合理价格为9898元。不管大于或小元。不管大于或小于于9898元，都存在套利机会。如果卖空和元，都存在套利机会。如果卖空和出售债券需要费用，那么是否价格不等出售债券需要费用，那么是否价格不等于于9898元，就存在套利呢？元，就存在套利呢？比如，债券比如，债券B B的当前价格为的当前价格为97.

28、597.5元，按照元，按照前面的套利思路为：前面的套利思路为：（1 1）卖空债券）卖空债券A A，获得获得98-1=9798-1=97元（由于元（由于卖空卖空A A需要需要1 1元的费用）；元的费用）；（2 2）虽然债券）虽然债券B B只有只有97.597.5元，但是元，但是9797元元还不够用于买进债券还不够用于买进债券B B；27因此，在卖空和出售债券需要因此，在卖空和出售债券需要1 1元费用情元费用情况下，债券况下，债券B B的合理价格区间为：的合理价格区间为：97,97,9999。当债券。当债券B B低于下限低于下限9797元时，可以通元时，可以通过卖空债券过卖空债券A A，买进债券买

29、进债券B B赢利；当债券赢利；当债券B B高于上限高于上限9999元时，可以通过卖空债券元时，可以通过卖空债券B B，买进债券买进债券A A赢利。赢利。因为债券因为债券B B的当前价格是的当前价格是97.597.5元，落在此元，落在此区间内，将无法使用套利策略获得盈利区间内，将无法使用套利策略获得盈利28虽然如果债券虽然如果债券B B的价格落在的价格落在97,9997,99内，内，它们将无法获得套利机会，但是实际上，它们将无法获得套利机会，但是实际上，当债券当债券B B的价格小于债券的价格小于债券A A的价格，投资的价格，投资者会倾向于购买债券者会倾向于购买债券B B；反之则购买债券反之则购买

30、债券A A。因此，事实上，债券因此，事实上，债券B B会接近于债券会接近于债券A A的价格。的价格。29也许你会问：为什么并没有用到也许你会问：为什么并没有用到出售债券也需要支付出售债券也需要支付1 1元的费用这元的费用这个条件？个条件？如果不考虑出售债券也需要支付如果不考虑出售债券也需要支付1 1元的费用的条件，结果会怎样？元的费用的条件，结果会怎样？30例例 6 6假设两个零息票债券假设两个零息票债券A A和和B B，两者都是在两者都是在1 1年后年后的同一天到期，其面值为的同一天到期，其面值为100100元（到期时都获元（到期时都获得得100100元现金流，即到期时具有相同的损益）。元现

31、金流，即到期时具有相同的损益）。假设不考虑违约情况。但是假设卖空假设不考虑违约情况。但是假设卖空1 1份债券份债券需要支付需要支付1 1元的费用，出售债券也需要支付元的费用，出售债券也需要支付1 1元元的费用，买入的费用，买入1 1份债券需要份债券需要0.50.5元费用。如果债元费用。如果债券券A A的当前价格为的当前价格为9898元。元。问题：问题：（1 1）债券）债券B B的当前价格应该为多少呢？的当前价格应该为多少呢？（2 2）如果债券）如果债券B B的当前价格只有的当前价格只有9797.5.5元，是否元，是否存在套利机会？如果有，如何套利呢？存在套利机会？如果有，如何套利呢？31因此，

32、债券因此，债券B的市场价格区间为：的市场价格区间为：96.5,99.5，在此区间范围内不存在赢利的套利策，在此区间范围内不存在赢利的套利策略。当债券略。当债券B的当前价格只有的当前价格只有97.5元，不存在元，不存在套利机会。套利机会。但是实际上，当债券但是实际上，当债券B B的价格小于债券的价格小于债券A A的价的价格，投资者会倾向于购买债券格，投资者会倾向于购买债券B B；反之则购买反之则购买债券债券A A。因此，事实上，债券因此，事实上，债券B B会接近于债券会接近于债券A A的价格。的价格。32对于存在交易成本的无套利定价原理总结对于存在交易成本的无套利定价原理总结如下：如下：（1 1

33、）存在交易成本时，无套利定价原理）存在交易成本时，无套利定价原理可能无法给出确切的价格，但可以给出价可能无法给出确切的价格，但可以给出价格区间；格区间；（2 2）存在交易成本时的价格区间为：先）存在交易成本时的价格区间为：先不考虑交易成本，根据无套利定价原理计不考虑交易成本，根据无套利定价原理计算出理论价格，然后再根据此价格减去最算出理论价格，然后再根据此价格减去最小总交易成本确定为下限价格，此价格加小总交易成本确定为下限价格，此价格加上最小总交易成本为上限价格。上最小总交易成本为上限价格。33不确定状态下无套利定价原理的例子不确定状态下无套利定价原理的例子在上一节的债券案例中，未来的损益（现

34、金流）在上一节的债券案例中，未来的损益（现金流）都是在当前就确定的，但实际市场中很多产品都是在当前就确定的，但实际市场中很多产品的未来损益是不确定的，要根据未来的事件而的未来损益是不确定的，要根据未来的事件而确定。比如，一个股票看涨期权，当到期日股确定。比如，一个股票看涨期权，当到期日股票价格大于执行价格时，这个期权可获得正的票价格大于执行价格时，这个期权可获得正的损益，为到期日股票价格减去执行价格；但是，损益，为到期日股票价格减去执行价格；但是，如果到期日股票价格小于等于执行价格，则这如果到期日股票价格小于等于执行价格，则这个期权到期日损益为零，即没有价值。因此，个期权到期日损益为零，即没有

35、价值。因此，期权的损益是不确定的，它依赖于未来的股票期权的损益是不确定的，它依赖于未来的股票价格。下面讨论这种未来损益不确定情况下的价格。下面讨论这种未来损益不确定情况下的无套利定价原理。无套利定价原理。341 1、同损益同价格（例、同损益同价格（例7 7）假设有一风险证券假设有一风险证券A A，当前的市场价格为当前的市场价格为100100元，元，1 1年后的市场价格会出现两种可能的状态：在状态年后的市场价格会出现两种可能的状态：在状态1 1时证券时证券A A价格上升至价格上升至105105元，在状态元，在状态2 2时证券时证券A A价价格下跌至格下跌至9595元。同样，也有一证券元。同样，也

36、有一证券B B，它在它在1 1年后年后的损益为，在状态的损益为，在状态1 1时上升至时上升至105105，在状态，在状态2 2时下时下跌至跌至9595元。另外，假设不考虑交易成本。元。另外，假设不考虑交易成本。问题：问题：（1 1）证券）证券B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2 2）如果）如果B B的价格为的价格为9999元，是否存在套利？如果元，是否存在套利？如果有，如何套利？有，如何套利？35案例案例7 7与前面几个案例的不同地方在于，前面案例与前面几个案例的不同地方在于，前面案例中的资产为债券，其未来的损益为确定的，即在中的资产为债券，其未来的损益为确定的，即在某一时间时只

37、有一种状态，以概率某一时间时只有一种状态，以概率100%100%发生。但发生。但本案例中的资产为风险证券，其未来的损益出现本案例中的资产为风险证券，其未来的损益出现两种可能，可能上涨，也可能下跌，即未来的状两种可能，可能上涨，也可能下跌，即未来的状态不确定。但根据无套利定价原理，只要两种证态不确定。但根据无套利定价原理，只要两种证券的损益完全一样，那么它们的价格也会一样。券的损益完全一样，那么它们的价格也会一样。所以，证券所以，证券B B的合理价格也应该为的合理价格也应该为100100元。元。36因为证券因为证券B B的价格为的价格为9999元，因此存在套元，因此存在套利机会。只要卖空证券利机

38、会。只要卖空证券A A，买进证券买进证券B B，就可实现套利就可实现套利1 1元。元。37静态组合复制定价（案例静态组合复制定价（案例8 8）假设有一风险证券假设有一风险证券A A，当前的市场价格为当前的市场价格为100100元，元，1 1年后的市场有两种状态，在状态年后的市场有两种状态，在状态1 1时证券时证券A A价价格上升至格上升至105105元，在状态元，在状态2 2时证券时证券A A价格下跌至价格下跌至9595元。同样，也有一证券元。同样，也有一证券B B，它在它在1 1年后的损益年后的损益为，状态为，状态1 1时上升至时上升至120120元，状态元，状态2 2时下跌至时下跌至110

39、110元。另外，假设借贷资金的年利率为元。另外，假设借贷资金的年利率为0 0，不考，不考虑交易成本。虑交易成本。问题：问题：（1 1）证券）证券B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2 2）如果证券）如果证券B B的现在价格为的现在价格为110110元，是否存元，是否存在套利？如果有，如何套利？在套利？如果有，如何套利？38案例案例8 8中证券中证券B B的损益与证券的损益与证券A A不同，两个证不同，两个证券的损益状态如图券的损益状态如图4 4所示。现在考虑如何利所示。现在考虑如何利用证券用证券A A和无风险债券来构建一个与证券和无风险债券来构建一个与证券B B损益相同的组合损益相

40、同的组合 10010595风险证券风险证券AP PB B120110风险证券风险证券B1 11.01.0资金借贷资金借贷39构建一个组合：构建一个组合：x x份证券份证券A A和和y y份的借贷份的借贷（y y大于零为借出钱，大于零为借出钱，y y小于零为借入小于零为借入钱）。要使得组合的损益与钱）。要使得组合的损益与B B的损益完全的损益完全相同，则：相同，则：1101200.10.195105yx40解得：解得：x x1 1，y y 15 15。因此，买人因此，买人1 1份份证券证券A A，再借出现金再借出现金1515份的组合的损益份的组合的损益与证券与证券B B的损益完全相同，所以证券的

41、损益完全相同，所以证券B B的价格等于组合的价格：即的价格等于组合的价格：即1 110010015151 1115115元元41当证券当证券B的现在价格为的现在价格为110元，存在套利机会元，存在套利机会构造一个套利策略：买进证券构造一个套利策略：买进证券B B，再卖空上面再卖空上面的等损益组合，的等损益组合，1 1份证券份证券A A和和1515份现金。所以份现金。所以整个套利组合为：买进证券整个套利组合为：买进证券B B，卖空证券卖空证券A A，借入资金借入资金1515。买进证券。买进证券B B的成本为的成本为110110元，卖元，卖空证券空证券A A可得到可得到100100元，借入资金元，

42、借入资金1515所以还剩所以还剩下下5 5，这部分实际上就是套利策略的盈利。因，这部分实际上就是套利策略的盈利。因为期末的现金流为为期末的现金流为0 0。这个组合的期初和期末。这个组合的期初和期末现金流可见表现金流可见表2-32-3。42期初时刻的期初时刻的现金流现金流期末时刻的现金流期末时刻的现金流第一种状态第一种状态第二种状态第二种状态(1)(1)买进买进B B-110-110120120110110(2)(2)卖空卖空A A100100-105-105-95-95(3)(3)借入资金借入资金15151515-15-15-15-15合计合计 5 50 00 043动态组合复制定价（案例动态

43、组合复制定价（案例9 9）把案例把案例8 8中的市场未来状态，从两种状态扩展到中的市场未来状态，从两种状态扩展到3 3种状态。风险证券种状态。风险证券A A在在1 1年后的未来损益为，状态年后的未来损益为，状态1 1时时110.25110.25，状态，状态2 2时时99.7599.75，状态，状态3 3时时90.2590.25。同样，。同样，也有一证券也有一证券B B，它在它在1 1年后三种状态下的未来损益年后三种状态下的未来损益分别为分别为125125，112.5112.5和和109109如图如图2-52-5。另外，假设借。另外，假设借贷资金的年利率为贷资金的年利率为5.065.06，半年利

44、率为，半年利率为2.5%2.5%，不，不考虑交易成本。考虑交易成本。问题：问题：（1 1）B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2 2）如果）如果B B的价格为的价格为110110元，是否存在套利？如元，是否存在套利？如果有，如何套利？果有，如何套利？44100110.2599.75风险证券风险证券A风险证券风险证券B资金借贷资金借贷90.25PB125112.51091 1.05061.05061.050645而上述方程却无解。为什么呢？因为当损而上述方程却无解。为什么呢？因为当损益存在三种状态时，仅仅依靠两种证券的益存在三种状态时，仅仅依靠两种证券的组合是无法复制出任意一种三状态

45、的证券组合是无法复制出任意一种三状态的证券的。这在金融学中称为的。这在金融学中称为“不完全市场不完全市场”。110.25110.25x x 1.0506y 1.0506y 125 12599.75x 99.75x 1.0506y 1.0506y 112.5 112.590.25x 90.25x 1.0506y 1.0506y 109 10946 Arrow和和Debreu证明在某些条件下，随证明在某些条件下，随着时间而调整组合的动态组合策略可复着时间而调整组合的动态组合策略可复制出市场中不存在的证券。制出市场中不存在的证券。47如何才能通过证券如何才能通过证券A和资金借贷的动态组和资金借贷的动

46、态组合复制出证券合复制出证券B。所谓动态指的是变化，所谓动态指的是变化，所以我们把所以我们把1年的持有期拆成两个半年，年的持有期拆成两个半年，这样在半年后就可调整组合。假设证券这样在半年后就可调整组合。假设证券A在半年后的损益为两种状态，分别为在半年后的损益为两种状态，分别为105元和元和95元。但证券元。但证券B在半年后两种状态在半年后两种状态下的损益值事先不知道。证券下的损益值事先不知道。证券A和和B的损的损益如图益如图2-6所示，而资金借贷的损益如图所示，而资金借贷的损益如图2-7所示。所示。48 证券证券A A和和B B的两期三状态损益图的两期三状态损益图 110.2599.75风险证

47、券风险证券A风险证券风险证券B90.2510010595PBB1B2125125112.510949无风险借贷无风险借贷1.05061.05061.050611.0251.02550构造组合：（构造组合：（1 1）1 1份的证券份的证券A A；（；（2 2）持有（出借）持有（出借）现金现金13.5613.56。如果持有这个组合到。如果持有这个组合到1 1年后而不在中年后而不在中期进行调整，则期进行调整，则1 1年后的损益与年后的损益与B B是不同的。是不同的。5.1041145.1240506.10506.10506.156.1325.9075.9925.110151（1 1）证券）证券A A

48、的损益为的损益为105105时：时：如果再买进如果再买进0.190.19份的证券份的证券A A，需要现金需要现金19.9519.95元（元（0.190.1910510519.9519.95），持有（出借）的现金），持有（出借）的现金13.5613.56，加上利息变为：，加上利息变为：13.5613.561.0251.02513.9013.90。此时，证券此时，证券A A的份数变为：的份数变为：1 10.190.191.191.19份，现份，现金变为：金变为：13.9013.9019.9519.956.056.05，即还需要借入，即还需要借入现金现金6.056.05元。所以，经过这样的组合调整后

49、，在元。所以，经过这样的组合调整后，在半年后持有的组合为：半年后持有的组合为：1.191.19份证券份证券A A和借入现金和借入现金6.056.05。则在。则在1 1年后此组合损益状态为：年后此组合损益状态为：5.112125025.1025.105.675.9925.11019.152（2 2）证 券）证 券 A A 的 损 益 为的 损 益 为 9 59 5 时：时：如果卖出如果卖出0.6320.632份的证券份的证券A A，得到得到0.6320.632959560.0460.04元，另外持有（出借）的现金元，另外持有（出借）的现金13.5613.56，加，加上利息变为：上利息变为：13.

50、5613.561.0251.02513.9013.90。此时，。此时，证券证券A A剩下剩下1 10.6320.6320.3680.368份，现金变为份，现金变为13.9013.9060.0460.0473.9473.94。所以，在半年后组合。所以，在半年后组合经过调整后变为：经过调整后变为：0.3680.368份证券份证券A A和现金和现金73.9473.94（可以出借）。则在（可以出借）。则在1 1年后的此组合损益状态年后的此组合损益状态为：为：1095.112025.1025.194.7325.9075.99368.053 动态组合复制过程示意图动态组合复制过程示意图 110.2599.

51、7590.2510010595原始组合：原始组合：(1)持有持有1份份A(2)持有现金持有现金13.56（借出）（借出）操作：卖出操作：卖出0.632份份A组合为：组合为：(1)持有持有0.368份份A(2)持有现金持有现金73.94操作：买进操作：买进0.19份份A组合为：组合为：(1)持有持有1.19份份A(2)借入现金借入现金6.05组合的损益为：组合的损益为：125112.510954因此，当市场有三种状态，而仅有证券因此，当市场有三种状态，而仅有证券A A和资和资金借贷无法静态复制金借贷无法静态复制B B时，通过在持有期中期时，通过在持有期中期根据证券根据证券A A的损益变化进行动态

52、调整组合来复的损益变化进行动态调整组合来复制证券制证券B B。由无套利定价原理的推论（由无套利定价原理的推论（3 3），我），我们可得到证券们可得到证券B B的合理价格为：的合理价格为：1 110010013.5613.56113.56113.56对于第二问，同样可根据市场价格与理论价格对于第二问，同样可根据市场价格与理论价格之间的大小来构造套利组合。当市场价格为之间的大小来构造套利组合。当市场价格为110110元，小于理论价格元，小于理论价格113.56113.56时，则可卖空证时，则可卖空证券券A A得到得到100100元，借入现金元，借入现金13.5613.56元，其中元，其中11011

53、0元元用于购买用于购买B B，这样净剩下这样净剩下3.563.56元为套利盈利。元为套利盈利。55如何进行动态复制呢？或者说，案例如何进行动态复制呢？或者说，案例9 9中中的开始组合策略的开始组合策略1 1份证券份证券A A和持有现金和持有现金13.5613.56元是如何得到的呢？在中期又是如元是如何得到的呢？在中期又是如何根据证券何根据证券A A的损益变化来动态调整呢？的损益变化来动态调整呢？动态复制策略实际上是多期的静态复制动态复制策略实际上是多期的静态复制策略，只要从后往前应用静态复制策略策略，只要从后往前应用静态复制策略即得动态策略。即得动态策略。56（1 1）证券在中期价格为）证券在

54、中期价格为105105时：时：5.1121250506.10506.175.9925.110yxx1.19，y5.9057根据无套利定价原理，求得证券根据无套利定价原理，求得证券B此此时的价格为：时的价格为：B11.191055.901.025 118.9058105110.2599.75风险证券风险证券AB B1 1125112.5风险证券风险证券B1.0251.0251.05061.0506资金借贷资金借贷证券证券A在中期价格为在中期价格为105 时：时：9599.7590.25风险证券风险证券AB B2 2112.5109风险证券风险证券B1.0251.0251.05061.0506资金

55、借贷资金借贷证券证券A在中期价格为在中期价格为95时：时：591095.1120506.10506.125.9075.99yx解得：解得：x x0.3680.368，y y72.1472.14，也与图也与图2-2-8 8相吻合。同样，可求得证券相吻合。同样，可求得证券B B在此时的在此时的价格为：价格为：B B2 20.3680.368959572.1472.141.0251.025 108.90108.9060第二步：根据第一步得到的第二步：根据第一步得到的B B1 1和和B B2 2继续应继续应用静态组合复制方法计算：用静态组合复制方法计算：10010595风 险 证 券风 险 证 券AP

56、 PB B118.90108.90风险证券风险证券B11.0251.025资 金 借资 金 借贷贷6190.10890.118025.1025.195105yx解得：解得：x x1 1，y y13.5613.56，也与图也与图2-82-8相吻相吻合。所以，可求得证券合。所以，可求得证券B B的价格为：的价格为：P PB B1 110010013.5613.561 1113.56113.5662无套利定价原理的一般理论无套利定价原理的一般理论 不确定状态下的无套利定价原理的最简不确定状态下的无套利定价原理的最简单模型单模型Arrow-Debreu模型模型 631 1、市场环境假设、市场环境假设假

57、设市场中有假设市场中有N N个证券，个证券，s s1 1,s,s2 2,s,s3 3,s,sN N。投资投资者一开始持有这些证券的组合，而后在持有期者一开始持有这些证券的组合，而后在持有期结束后获得这些组合的损益。假设仅有两个投结束后获得这些组合的损益。假设仅有两个投资时刻，开始时刻资时刻，开始时刻0 0和结束时刻和结束时刻1 1。投资者可持。投资者可持有这些证券及它们的组合的多头（买进）或空有这些证券及它们的组合的多头（买进）或空头（卖出），持有多头相当于在结束时刻获得头（卖出），持有多头相当于在结束时刻获得证券的损益，而持有空头则相当于在结束时刻证券的损益，而持有空头则相当于在结束时刻要付

58、出证券的损益。要付出证券的损益。64假设第假设第i i种证券在初始种证券在初始0 0时刻的价格为时刻的价格为p pi i，则则N N种种证券的价格向量为：证券的价格向量为：它们在未来它们在未来1 1时刻的损益有时刻的损益有M M种可能状态，第种可能状态，第i i种种证券在第证券在第j j种状态下的损益为种状态下的损益为d dijij，则这些证券的则这些证券的损益矩阵为：损益矩阵为：D D（d dijij），），i=1i=1N N，j=1j=1M MD D的第的第j j列列D D.j.j表示表示1 1时刻时处于第时刻时处于第j j种状态下种状态下1 1个单个单位的位的N N种证券的损益向量。假设

59、损益矩阵种证券的损益向量。假设损益矩阵D D的值对的值对于投资者是已知的，但是投资者无法提前知道在于投资者是已知的，但是投资者无法提前知道在1 1时刻这些证券处于时刻这些证券处于M M种状态中的哪一种状态，当种状态中的哪一种状态，当然在同一时刻这些证券都是处于同一种状态下。然在同一时刻这些证券都是处于同一种状态下。12(,.,)TNPp pp65证券组合用向量证券组合用向量表示：表示：=(=(1 1,2 2,N N)其中其中i i表示持有的第表示持有的第i i种证券的数量，当投种证券的数量，当投资者持有第资者持有第i i种证券的多头时，种证券的多头时，i i 0 0；否否则则i i 0 d。如

60、果市场不如果市场不存在套利组合，则存在一个风险中性概率，使存在套利组合，则存在一个风险中性概率，使得：得：121()1pp up dr87121,121udr存在解的充要条件是：urd18811rdud21urud892 2、三状态模型、三状态模型下面我们来看一个不完全市场的例子。假设市下面我们来看一个不完全市场的例子。假设市场有三种状态，但仅有两种资产，无风险借贷，场有三种状态，但仅有两种资产，无风险借贷，其利率为其利率为r r；另外一种资产另外一种资产s s，价格为价格为p p，其在未其在未来损益为：状态来损益为：状态1 1时，损益为时，损益为pupu（即为原价格的即为原价格的u u倍）；

61、状态倍）；状态2 2时为时为pmpm，状态状态3 3时为时为pdpd，假设假设d d m m u u。未来损益矩阵为未来损益矩阵为2 23 3，它的秩最多是，它的秩最多是2，小于状，小于状态数态数3，根据完全市场定义，它是不完全的，根据完全市场定义，它是不完全的。90市场不存在套利组合需满足两种资产的市场不存在套利组合需满足两种资产的价格与状态价格之间的关系为价格与状态价格之间的关系为 12311r123ppupmpd91存在解的充要条件是：存在解的充要条件是：1dru92假设式（假设式（2-342-34）成立，存在状态价格满足）成立，存在状态价格满足无套利定价定理。但根据不完全市场定理无套利

62、定价定理。但根据不完全市场定理2 2，这个状态价格是不唯一的。对于三变量两这个状态价格是不唯一的。对于三变量两约束的方程，其解为一直线，我们可解出约束的方程，其解为一直线，我们可解出该直线的两个端点。第一个端点为：该直线的两个端点。第一个端点为：12311,0,(1)()(1)()r durr u dr u d 93123110,(1)()(1)()mrrdr mdr md 12311,0(1)()(1)()r murr u mr u m 1rm1mr则第二个端点为：则第二个端点为：则第二个端点为：则第二个端点为：94由于资产价格是状态价格的线性函数，所由于资产价格是状态价格的线性函数，所以上

63、述的状态价格直线可以用来确定资产以上述的状态价格直线可以用来确定资产的价格区间。也就是说，即使状态价格不的价格区间。也就是说，即使状态价格不唯一，我们仍然能从状态价格中获取资产唯一，我们仍然能从状态价格中获取资产价格的一些信息。状态价格不唯一在一定价格的一些信息。状态价格不唯一在一定程度上与不同投资者的风险偏好程度不同程度上与不同投资者的风险偏好程度不同有关。风险厌恶的投资者可能只能接受资有关。风险厌恶的投资者可能只能接受资产的下限价格，而风险喜好的投资者则能产的下限价格，而风险喜好的投资者则能接受资产的上限价格。接受资产的上限价格。959、静夜四无邻，荒居旧业贫。22.8.2222.8.22

64、Monday,August 22,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。12:17:2012:17:2012:178/22/2022 12:17:20 PM11、以我独沈久，愧君相见频。22.8.2212:17:2012:17Aug-2222-Aug-2212、故人江海别，几度隔山川。12:17:2012:17:2012:17Monday,August 22,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。22.8.2222.8.2212:17:2012:17:20August 22,202214、他乡生白发，旧国见青山。2022年8月22日星期一下午12时17分20秒12:17:2022.8.2215

65、、比不了得就不比，得不到的就不要。2022年8月下午12时17分22.8.2212:17August 22,202216、行动出成果，工作出财富。2022年8月22日星期一12时17分20秒12:17:2022 August 202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。下午12时17分20秒下午12时17分12:17:2022.8.229、没有失败，只有暂时停止成功！。22.8.2222.8.22Monday,August 22,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。12:17:2012:17:2012:178/22/2022

66、12:17:20 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。22.8.2212:17:2012:17Aug-2222-Aug-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。12:17:2012:17:2012:17Monday,August 22,202213、不知香积寺，数里入云峰。22.8.2222.8.2212:17:2012:17:20August 22,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年8月22日星期一下午12时17分20秒12:17:2022.8.2215、楚塞三湘接，荆门九派通。2022年8月下午12时17分22.8.2212:17August 22,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2022年8月22日星期一12时17分20秒12:17:2022 August 202217、空山新雨后，天气晚来秋。下午12时17分20秒下午12时17分12:17:2022.8.229、杨柳散和风，青山澹吾虑。22.8.2222.8.22Monday,August 22,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的