《2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小【详解】当时，因为它们都是比高阶的无穷小，故，即2、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C【考点】函数的渐近线【详解】对于选项A， 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A没有铅直渐近线，而不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线；对于选项B和D，我们同理可知，
2、对应的函数没有渐近线；对于C选项，.由于，又.所以存在斜渐近线.故选C.（4）设函数具有2阶导数，则在区间内（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令则由拉格朗日中值定理知，存在，使得即又因为若，则，所以单调递减，当单调递增，当单调递减，又，所以，即，故选D【解法二】令，则函数具有2阶导数，且所以当时，故选D4、曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径【详解】 5、设函数，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【考点】函数
3、求导、函数求极限【详解】.6、设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（ ）（A）的最大值和最小值都在的边界上取得（B）的最大值和最小值都在的内部取得（C）的最大值在的内部取得，的最小值在的边界上取得（D）的最小值在的内部取得，的最大值在的边界上取得【答案】A【考点】二元函数极值的充分条件【详解】因为，故与异号.又，则，所以函数在区域内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在的边界点取到.7、行列式（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理【详解】【解法一】故选【解法二
4、】8、设为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（ ）（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【考点】向量组的线性相关性【详解】二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .【答案】【考点】无穷限的反常积分【详解】 10、设是周期为的可导奇函数，且，则【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】 11、设是由方程确定的函数，则 .【答案】【考点】隐函数求偏导、全微分【详解】12、曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是 .【答案】【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转
5、化、切线方程【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程令13、一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 .【答案】【考点】质心坐标【详解】质心横坐标公式：所以： 14、设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是 .【答案】【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【详解】【解法一】二次型对应的系数矩阵为：，记特征值为则，即特征值必有正有负，共3种情况；因二次型的负惯性指数为特征值1负2正或1负1正1零；，即【解法二】三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）求极限【考点】函数
6、求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】16、（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小值.【考点】微分方程、函数的极值【详解】 17、（本题满分10分）设平面区域，计算.【考点】二重积分的计算、轮换对称性【详解】积分区域关于对称，利用轮对称行，18、（本题满分10分）设函数具有2阶连续导数，满足.若，求的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】令即：对应的齐次微分方程的特征方程为：解得：故齐次微分方程的通解为：设，则，代入微分方程解得：，即故所以因为，代入解得：所以19、（本题满分10分）设函数，在区间上连续，且单调增加，.证明：
7、（）（I），；（II）【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】（I）【解法一】因为函数在区间上连续，且.所以即【解法二】由定积分中值定理知：存在，使得，又因为时，所以即【解法三】（II）令20、（本题满分11分）设函数，.定义数列，记是由曲线，直线及轴所围平面图形的面积，求极限.【考点】定积分求面积、函数求极限【详解】 21、（本题满分11分）已知函数满足，且.求曲线所围图形绕直线旋转所成旋转体的体积.【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积【详解】由函数满足可知：又所以所以令，则对应的曲线方程为：，定义域为则曲线所围图形绕直线旋转，即绕旋转，所成的旋转体体积22、（本题满分11分）设为阶单位矩阵.（I）求方程组的一个基础解系；（II）求满足的所有矩阵.【考点】解线性方程组【详解】（I） 方程组的同解方程组为，即基础解系为（II）的同解方程组为：，即通解为的同解方程组为：，即通解为的同解方程组为：，即通解为，为任意常数23、（本题满分11分）证明：阶矩阵与相似.【考点】矩阵的特征值、相似对角化【详解】设，因为所以的特征值为：的特征值为：关于的特征值，因为，故有个线性无关的特征向量，即必可相似对角化于同理，关于的特征值，因为，故有个线性无关的特征向量，即必可相似对角化于由相似矩阵的传递性可知，与相似.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
