雷达降水估测中变分方法的改进研究

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1、雷达降水估测中变分方法的改良研究*慕熙昱 1 徐琪 2 刘国庆 31.江苏省气象科学研究所 210008 南京2.民航华东空中交通管理局江苏分局 210000 南京3.南京工业大学 210000 南京摘要：雷达作为定量测量降水的工具，在探测降水分布和结构上比拟准确，但是在精度上还是低于雨量计。本文利用变分法，综合多普勒天气雷达数据及雨量计数据进行定量降水估测，其本质是通过调整模 式解以到达模式解与观测数据之间最小二乘条件。最开始在利用变分方法校正雷达降雨场的过程中，对变 分方程中的系数是经验选取的，但是这种经验关系有很大的局限性。在对变分方程求解过程中还有一个问 题就是边界的处理。在对变分方程

2、求解的过程中，采用交叉验证法。交叉验证( crossvalidation) 理论 是：对某一点来说,用其余假设干个观察值对该点进行估计,每一点都重复这个过程, 用估计值与真实值进行 比照得误差参量,最后进行处理,使这些误差参量到达要求。该方法基于定理：椭圆型偏微分方程中，区域 内的解连续依赖于边界。首先利用变分方程可以求出雨量与边界值关系的表达式；然后根据已有的雨量计 数据，利用最优化方法可以求得边界值。将边界值代入变分方程，那么方程可解，就求得每个离散点上的雨 量。这种方法的优点在于不需要对边界条件进行假定，改良了以往运用变分法进行雷达定量降水估测时存 在的问题。通过对交叉验证方法对变分方程

3、求解，以及将求解后的雨量进行拟合，得到新的 Z - R 关系。利 用实测雨量计数据对新的 Z - R 关系进行检验。结果说明交叉验证方法能够在不假定边界条件的情况下， 对变分方程求解，解的状况比拟符合实际情况。对层状云降水来说，经典的 Z - R 关系能够很好的反映降 水的情况，拟合后的结果与直接应用经典 Z - R 关系得到的雨量没有较大差异，两者与实际情况的符合程度都很高；对于积层混合云来说，经过拟合后的降水结果明显优于直接用 Z - R 关系计算的结果。关键词：变分方法，降水估测，交叉验证一、引言雷达作为定量测量降水的工具，在探测降水分布和结构上比拟准确，但是在精度上还是 低于雨量计。尽

4、管双偏振雷达的出现使雷达估测降水精度大大增加，但是由于国内目前双偏 振雷达研究还处于刚起步阶段，并且目前国内布网雷达根本上不具有双偏振功能，因此，如 何有效地利用雨量计校正雷达估测降水来提高雷达测雨精度是非常必要的。为了用雨量计校 正雷达降雨，国内外科研工作者提出了很多种方法，如平均法Wilson，1979，变分方法Ninomiya and Akiyama，1978；Sun Shouxiang et al.,1993;赵坤等,2001、卡尔曼滤波方法Ahnert，1986；DakSyangLin and Krajewski，1989。Daley 曾明确指出伴随变分和 Kalman 滤波是大气数

5、据同化的未来开展方向。如今他的 预见已被越来越多的工作所验证。变分方法通过非线性模式解与不同时次观测资料集的全局 调整到达同化的目的。二、研究方法的提出 在雷达定量估测降水领域,近年来的主要开展在变分分析方案，其本质是通过调整模式解以到达模式解与观测数据之间最小二乘条件。在对变分方程求解过程中的一个问题就是边 界的处理。已往的研究中对于边界的处理方法是假定边界。这种方法从理论上来说存在误差。 为解决这个问题，本文尝试用交叉验证法对变分方程求解，以改善雷达定量测量降水结果。 三、详细算法首先考虑任一矩形区域 ，有边界 G ，在 区域内有 Ng 个雨量站，即为集合Y 。在 * 资助工程：江苏省自然

6、科学基金 BK2021599。本文局部内容投稿至其它学术期刊。1区域内建立如下变分： 22R R)2 + g (R - Rdxdy)2 + b ( R - RJ =a + x y rg其中 Rr 表示由经典 ZR 关系估测出来的降雨量， Rg 是地面面雨量站的实测降雨量。第一项约束表示 R 在 区域内的光滑性，第二项约束表示 R 在整个区域内与雷达估测降水 的误差，第三项约束表示 R 在整个 区域内与雨量计测的降水的误差； a 、 b 、 g 0，分 别为各项的权重系数。为使求得的 R 在整个区域内光滑并且整体误差到达最小，也就是使得泛函 J 在边界 G 围 成的区域 中到达最小，即 22R

7、R)2 + g (R - Rdxdy = 0)2 + b ( R - Rd J = da + x y rg上式中 d 为变分算子。相应于此式的 Euler 方程为： 2 R2 R -a + + b (R - Rr ) + g (R - Rg ) = 0 x2y2 在整个区域 内对上式采 用五点差分 方案离散。 其中 Ri, j= R( xi , y j ) ，令 ( i, j )A = - 2a - b - g ， B = b R+ g R， x 为 i 方向步长， y 为 j 方向的步长。将上2ax2 y2i, jri , jgi, j述离散方程中未知变量 Ri, j 提取出来表示为：H R

8、 = F其中：1 D1D2H = D2 D1 OD2OD2，在 H 中OD1 D2D2 D1 M Ma a y2A a x2A a a x2 a y2 y2D1 = ， D2 = OOO a y2OaxA2 y2 。 N N a a y2Ax2 N N TR = R1,1 ,R1,2 ,L ,R1,N ,L ,Ri,1 ,Ri,2 ,L ,Ri,N ,RM ,1 ,L RM ,N M N，右端项 F = -B - C - E2B = B1 ,B2 ,L BM -1 ,BM M ， Bi = Bi,1 ,Bi,2 ,L Bi,N -1 ,Bi,N N ， Bi, j = b Rri, j + g

9、 Rgi, j 。TT a TTC = C1 ,C2 ,LCM -1 ,CM MC1 = R0,1 ,R0,2 ,L R0,N -1 ,R0,N N x2， C2 = C3 = L = CM -1 = 0 。， a TCM= RM +1,1 ,RM +1,2 ,L RM +1,N -1 ,RM +1,N N x2 a TTE = E1 ,E2 ,L EM -1 ,EM M ， Ei = Ri,0 ,0,L0,Ri,N +1 N y2。可写为： F = Fn + Fb ，其中 Fn = -B 表示与边界无关的局部， Fb = -C - E 表示与边界相关的局部。那么1式写为： H R = Fn

10、+ Fb ，推出：R = H -1 ( F + F )2nb2式中 H -1 、 F 中所有元素，只有 F 含有未知的与边界相关的项，所以问题的nb关键在于求解 Fb 。在椭圆型偏微分方程中有定理：椭圆型偏微分方程中，区域内的解连续依赖于边界。设向量 R 中有 Ng 个量(即集合Y)，即集合Y中， R = Rg ，即( k ) = R (k ) = H -1 (k )( F3+ F )k YR gnb其中 R (k ) 和 H -1 (k ) 分别表示向量 R 中的第 k 个元素和矩阵 H -1 中的第 k 行。(k ) - H -1 (k ) F = H -1 (k ) F3式变化为： R4

11、gnb在4式中，左边的两项都为，右边包含未知的边界项。考虑 (0 M +1)(0 N +1) 的矩形区域， Fb 中共有 2M + 2N + 4 个变量，即边界点共2M + 2N + 4 个，但是 4 个顶点不参与运算，不在边界点向量 G 中表达，所以 G (L ) 表示边界 点向量，其中 L = 2M + 2N 。以 R(1,0)作为 G 的第一个点 G (1) ，沿着边界顺时针方向增加为G ( 2 ) G (L ) 。可建立 Fb 与 G 的对应关系。 建立泛函：C =( R( i,j ) - R ( i,j )2 = min ，利用上述计算结果带入此公式，得到：g(i, j )YC =(

12、H -1(F ( i N + j ) + F ( i N + j ) - R ( i, j )2 = min 此式中 H -1 、 F 、 R 均为已nbgng(i, j )Y知，仅 Fb 中含有未知量 G ，即边界上的值。对边界上的每点，即 G (i ) 求变分，得到结果如下所示：CG l( i,j ) R( i, j ) =l =1 L=2( R( i,j ) - R0gG l(i, j )YCG l=( H -1( F (i N + j ) + F (i N + j ) - R ( i N + j )H -1 Fb ( i N + j ) =0 5l =1 LnbgG l(i, j )Y

13、因 F = -C - E 中仅含变量 G ，所以 Fb 的矩阵可写成一个仅含 0 和 1 的稀疏矩阵。bG3F=b定义： P。为计算方便，将所有二维变量矩阵都写成一维列向量，并只NM LNM LG取与Y 对应的 Ng 个元素。(i, j ) YR( i, j ) R( tr ) ， Rg ( i, j ) Rg ( tr ) ，其中， r = 1 Ng 。t Y rtr = i* N + j-15式为： CG l=( H -1(t )( F + F ) - R (t ) ( HNg( tr )( Fn + Fb ) = 06r =1l =1 Lrbng rG lFn因 Fn 中全为常数，所以=

14、 0 ，带入6式，变为GlCG lNgFl =1 L=( H -1( t ,:)( F + F) - R ( t )H -1( t )= 0brbng rrG lr =1NgCG l7l =1 L=( H -1( t ,:)( F + F ) - R ( t )H -1( t )P (:,l ) = 0rbng rrr =1其中 H -1(t ,:) 表示 H -1 矩阵的第 t 行， P (:,l ) 表示 P 矩阵的第 l 列。rrNgNg8g r( H -1( t ,:)F H -1( t )P (:,l ) =( R ( t ) - H -1( t )F )H -1( t )P (:,

15、l )rbrrnrr =1上述 L 个式子可以写为F Fb = Lr =19其中F 为L 行NM 列的矩阵， Fb 为 NM 个元素的列向量， L 为 L 个元素的列向量。 Fb 内有 2N2M4 个非零元素变量，所以在9中，有 2N2M4 个变量，2M2N 个方程，可以确定出 Fb ，将得到的 Fb 代入(2)式，可以得到 R。 四、实例验证1、方案设计利用上文提到的改良变分方法，对 2021 年 7 月 16 日发生在南京的降水过程进行雷达降 水测量的试验。所用资料为 2021 年 7 月 16 日 00UTC 到 05UTC 收集到的南京龙王山多普勒 天气雷达资料，以及每小时一次的地面雨

16、量计资料。为减少地物回波对计算的影响，采用 1.50 仰角的雷达强度数据。在研究范围以雷达为中心，每 2km2km 作为一个格点，选取雷 达( Z )雨量计( Rg )数据对。为确保统计的准确性，需要对雷达雨量计数据对进行预处理。 首先利用经典 Z - R 关系 Z = 200R1.6 对面雨量进行模拟，得到模拟雨量 R _ sim ，取雨量计数 据 Rg 与对应的 R _ sim 。选取数据对中方差在两倍方差之间，并且 Rg mm 的数据进行 运算。利用挑选出的符合要求的数据对，采用交叉验证方法求出研究区域上的每点雨量( R _ res )。然后对 R _ res 和 Z 采用上述的预处理方

17、法选取符合要求的数据，重新拟合 Z - R关系。并将拟合的 Z - R 关系用于效果检验。 2、效果检验为了评价雷达估测降雨的精度，将雷达格点上小时降雨产品与相应位置的雨量计降雨资 料进行比拟，常利用如下的雷达雨量计差统计量进行处理： d平均偏差 B( d ) = d12 d2相对均方 根差 R M S ( d ) =G4d - d d相关系数 CC( d ) =1( - 2 )( - 2 ) 2idi didi dN i ( d ) Nj G( i, j ) r ， 变量V 表示 : Gi , Ri ,Gi Ri ,Gi ,Gi ,Gi - Ri . ，22这里 d = V ( i, j )

18、i =1 j =1r(mmh-1)代表所取的降雨强度阈值。d 表示天或者小时，j 表示雷达雨量计对的指数，偏差 因子 B 表示雨量计观测到的降雨量的总和Gi被在雨量计位置上雷达估测到的降雨量 的总和Ri相除，这里RI 表示累积降雨量而不是降雨降度。偏差因子 表示雷达 低估了实际降雨量，B1.0 表示雷达对实际降雨量估计过高，相关系数 CC 表示雷达获得的 累积降雨量在描绘不包含偏差在内的降水分布完善的程度。首先对一个层云降水回波(坐标范围(0:40,-10:30)，其中(0,0)为雷达中心，向东、向北为 正，单位 km)进行拟合。利用 01UTC-02UTC 的雷达资料和 02UTC 的雨量计

19、数据分别利用 Z = 200R1.6 和 Z = 300R1.4 作为初始 Z - R 关系进行拟合，分别得到 Z = 266.2R1.42 和Z = 317.1R1.3 。一是利用这两个拟合得到的结果对 02UTC 中的检验雨量计进行验证了；二是 利用拟合的结果对 03UTC 的雨量进行预报，并与 03UTC 的雨量计数据进行检验分析，得到 表 1。02UTC 检验结果03UTC 检验结果BCCRMSBCCRMSZ = 200R1.6a1.0240.9630.0830.7540.9410.254Z = 266.2R1.42b0.9760.9620.0830.7440.9420.257Z =

20、300R1.4c0.9220.9490.1050.7640.9460.188Z = 317.1R1.3d0.9640.9480.7910.9540.175表 1 层状降水统计结果从表中看到，在对这块层云降水回波的拟合中，4 种方案的检验结果很相似，没有大的 差异，都与实况接近。说明对于这块回波，经典的 Z - R 已经能很好的反映降水的状况，利 用雨量计进行订正，也没有大的改变。其次对积层混合云回波(坐标范围(-50:50,-50:50)，其中(0,0)为雷达中心，向东、向北为 正，单位 km)进行拟合。从 16 日 00UTC 到 04UTC 每小时进行拟合、检验。利用拟合得到的 Z - R

21、 关系计算得到雨量 R_ sim 、经典 Z = 200R1.6 计算得到雨量 R_ z 以及交叉验证方法计算得到雨量 R_ res ，将 R_ sim 、 R_ z 以及 R_ res 分别与雨量计数据 Rg 进行比照检验，得到表 2。综合分析表 2 可见，R_ z 通常会在很大程度上低估降水， R_ sim 和 R_ res 的平均偏差 比拟接近于 1，并且两者的相对均方根差都较小，都低于 0.5。说明对于回波强度较大的积 层混合性降水，利用交叉验证方法计算得到的雨量和拟合后得到的雨量更接近实际情况。BCCRMS0.650.680.30Z = 200R1.600-01UTC0.960.73

22、0.26R _ res50.710.660.33Z = 200R1.601-02UTC0.860.620.32R _ res0.770.700.38Z = 200R1.602-03 UTC1.120.850.28R _ res0.870.790.47Z = 200R1.603-04 UTC0.940.770.45R _ res表 2 积层混合降水统计结果五、结论通过对交叉验证方法对变分方程求解，以及将求解后的雨量进行拟合，得到新的 Z - R 关系。利用实测雨量计数据对新的 Z - R 关系进行检验。结果说明交叉验证方法能够在不假 定边界条件的情况下，对变分方程求解，解的状况比拟符合实际情况。

23、对层状云降水来说， 经典的 Z - R 关系能够很好的反映降水的情况，拟合后的结果与直接应用经典 Z - R 关系得 到的雨量没有较大差异，两者与实际情况的符合程度都很高；对于积层混合云来说，经过拟 合后的降水结果明显优于直接用 Z - R 关系计算的结果。因为交叉验证方法在求解变分方程时不需假定边界条件，因此它的计算更合理。利用这种方法进行实时的 Z - R 关系拟合，能很好的反映降水的实际情况，有较好的应用价值 。参考文献：Wilson, J.W. and E. A. Brandes. 1979，Radar Measurement of Rainfall-A Summary Bulleti

24、n American Meteorological Society, 60(9)： 1048-1058.Ninomiya, K. and Akiyama, T. 1978，Objective Analysis of Heavy Rainfalls Based on Radar and Gauge Measurement.J.Meteor.Soc.Japan, 50：206-210.伍志芳等, 1989,用变分方法校准天气雷达测定区域降水量的数值计算和精度分析. 气象科学, 9(3)：223-235Sun Shouxiang, L. Guoqing, and G. Wenzhong. 1993,

25、A method of variational analysis combined with Kalman filter for radar rainfall field correction. Preprints, 26th Intl conf. on Radar Meteor., Norman, Amer. Meteor. Soc.,755-757赵坤, 刘国庆, 葛文忠, 2001,用卡尔曼滤波确定变分方法中的权重系数进行雨量校正, 气候与环境研究, 6：180-185Ahnert, P.M., Krajewski, W.F. and Johnson. E. 1986,Kalman fi

26、lter estimation of radar-rainfall field bias. Preprints, 23rd Radar Meteorology Conf .AMS. Boston, MA, Sep, 33-37.DakSyangLin and W. F. Krajewski. 1989,Recursive methods of estimating radar-rainfall field bias. 24th Radar Meteorology conf.,648-651.杨扬, 张建云, 戚建国等, 2000,雷达测雨及其在水文中应用的回忆与展望. 水科学进展, 11：93-98徐枝芳，熊军，葛文忠，2006,使用遗传算法优化雷达测量降水 ZR 关系，高原气象，25：710-7156