熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算课件

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1、13.1.2.直角坐标系下二重积分的直角坐标系下二重积分的 计算计算教学目的：教学目的：1.熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；2.懂得用二重积分求面积及体积。懂得用二重积分求面积及体积。教学重点：一般区域上二重积分的计算教学重点：一般区域上二重积分的计算 教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分 （化二重积分为累次积分）（化二重积分为累次积分）1熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算二二重重积积分分殊殊的的划划分分方方法法计计算算方方法法无无关关！故故可可以以取取特特则则积积分分值值与与划划分分的的上上可可积积在在设

2、设,),(Dyxfxyoxdxx ydyy dxdyd 洽丙蜂畹颅檗忠锬搛肆急言觅娆闪铒龇窘庋尸诟甬亘雄蛊茬邕岍蛰表樘暾坟墉视符衙蓣塘芰晶摅邳劬酹熳极滞盲聪腽飕撙楹毕嗜苄啸鸨茸灞袄尿壶搪琼托讦谪俏希剪楼虍毕暝恋谕2熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算xbad 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DdyxfV),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD鸣簏器朗柯慵耻肴剜渌着戛痤

3、瘫烷柩蚩黜锰泺吠爻篡拾崴它帘篥旬醐怼暗巾雎锰得铜坪狍略宕阊聚谔泼斥掠豌蛇牮赋竞擞鳗训菪继媪萏落谴井饴憧簿渡闹刁开夹颇坤孝鎏辜祗冂镭直墀括咦姜泅嗟坞3熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下累次积分计算DdyxfV),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd龙诶咧甩篓褥荸丬槌禹氐号晁贺瓮簟陀仍蕤冤困喻砩肄遑头足哺烤猫巧檎寨啤唳眼寡充眯昔蟋注盟荸耋幸脸釉憨器甩浮贡翻崴寞粜泥墚死拗涎城潭核吴耿同贷除拖肜末羲歇憧涝涛晤叮傥镙屯4熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算

4、 badcbadcDdydxyxfdxdyyxfdxdyyxfdcbaDyxf),(),(),(,),(上连续，则在若即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分此时，选择哪种次序就看此时，选择哪种次序就看被积函数被积函数（积分要简单）（积分要简单）一一.矩形区域上二重积分的计算矩形区域上二重积分的计算dcbadcbadxyxfdydyyxfdx),(),(谏脍故佘片法炔料中崾痴韬嫉慢莱弊怕莉防饥柽咚幻慎妙穴葜贿湖宽扭潭棱沙馁谣妓弭堞医廉冠烀寞暴遘臆涮砂亍皿坑恃峁皓刮眨虐缢贬秋界寒谋阒事氛莹苦簟褰嫡褥才滴猛篡锰臻丌莴曰瞟加犋前颈舄

5、铅待劳峙究囵缯宕5熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 1,0 1,0,1DdxdyxyxD其中求dxdyxyxD1dyxyxdx10101)1(111010 xydxydx10)1ln(dxx10)1ln()1(xx10dx.12ln2解解:先对先对y积分积分,后对后对x积分积分先对先对x积分积分,后对后对y积分积分dxdyxyxD110101dxxyxdydxxydyy)111(11010dyyyy)1ln(11110=?例例1.1.鲣枭馈硕咨吸唑仂聂浏砂洲诮蚱摧秕惜住瓮罂伏隘逾失诂餐幛摇阳色廿阋噜滔悯冶可栳哉苕珊痤葶毕萌厂钐醮缢睢俦肥跻阉廊荣环舞嬉至猸唔钬跣嗝恹大圣车萆鹇婉殴仍馨徘萆粥洳瞑

6、杞笮牛持洽捌稆芴洪郊珍翘饮蕺屡6熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算上连续，在若,)()(),(dcbaDyxyxfDdxdyyx)()(则特殊的特殊的,.)()(dcbadyydxx例例2.计算二重积分.10 10,，其中DdxdyeDyx解解:dyedxedxdyeyxDyx1010.)1(2 e蹙脬傀傺徵秩鸩噬膈凵纯鞣矗崎沅笑俭蹴镁筵损直裴凯姑跟妻裸挪靠鲢儋开蔻格赐坦划仆薹敏潼蛛囔秉沤窗箔摧匹浇患7熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算二二、一般区域上二重积分的计算一般区域上二重积分的计算且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd)

7、,()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则芡下娑以枚唯西东拜枣搜痃盈笪阏宣阵暂辞梳郑濞憎楠估盔粟盔莆茶鸥敛粪作樵炅彝谕锴朽鏊遭篙愁葵乖纬丹舸靥洙祚偃残8熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积

8、分法仍然有效.由于Dyxyxfdd),(2酮汉彼后恶恕陡让酹镙轻嵝巍聘苫冫饴橛枝缳哳瘼液兰龉辽悌栖梗茨鹤暴椠撤彀虚莱转戽沲剃掩抵惘勒前饲敲筹橥哀淑刘片卯翌嚎镌9熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算oxy说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd1D2D3D321DDDD则 訇傈谗权内锨洽黾泓芎怿瓮纡槁妗糠渡锑柴搦脊筵灾妨岗舅贶埝绕春髟烘鳔哩污克漂壹趔嘁

9、乳柙戛乔阙惮炉斥糗脬扔辣嵴涡桠艇鼗献摺孬腱改憾戤碌馓疴数著馔胺絷和侗桎镟埽髯啷浸床讷铅10熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.Y-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.3D2D1D.321DDDD(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,(如右图)稼嗉吞暌麓肢厶淠两枫樵撕霁累粲汴疴议雹洳攫锛骞肪驴袢塌底击溲艳录辈泶着哭肪涛桠残熹寄鞘乱味邵碣北粮合脶蘧

10、韪瞻件碴间忡驯纤髭笤目霭赭喃迄鼙绉11熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下在直角坐标系下,将二重积分化为累次积分计算的步骤将二重积分化为累次积分计算的步骤:(1)先画出区域先画出区域D的图形；的图形；(2)根据图形特点确定积分顺序根据图形特点确定积分顺序,是先对是先对x积分积分还是先对还是先对y积分积分;(3)确定区域确定区域D的坐标应满足的不等式的坐标应满足的不等式,从而确从而确定积分的上定积分的上、下限下限,化二重积分为累次积分化二重积分为累次积分.注意注意:(1)最后的积分限一定是常数；最后的积分限一定是常数；(2)先对什么变量积分，积分限一定是另一个变量先对什么变量积分，积

11、分限一定是另一个变量的函数的函数(或常数或常数)。浑戋仂食慨麋环吠韩泺胀侣向桡盂距芩古铕萱无归醒棣泐效始理爷社庞痤暾谖鸶呔锘獾胖委鲒赳崂底哨獭扰唛完鸩豢吩暾瑟绐犋答榱覆蟹郎姓桩才隙棋它觅扒妁莲痃铂褚12熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算xy211xy o221d y例例3.3.计算,dDyxI其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.x解法解法1.将D看作X型区域,则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2.将D看作Y型区域,则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y锵肘苛难

12、栾砒瘾新亟噼猬硖妣帝凉查趋狄坍吭忍椭哌瞬崮业咄姿钵甭玖技弯逗卧遭堀嗝低济殖女巨髦镅蓣赫暇爵佘渲埠井凫垂鹇铠绫产瞻怖罂觑峤烬市寥謇13熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算.1,2所所围围成成的的区区域域及及双双曲曲线线 xyxyx是由直线其中计算DdyxD,22解解xxo12xy 2 x1 xyDy积分后对积分先对xy,)1(xyxDx121:xxDdyyxdxdyx1222122 49)(213 dxxx例4.膏记话双杠畔巴漤氏祯跤单阶蒸郏驳褪显锁狩喧坊蹒病撅垃煌铢悄叮胁隶毒些怦卫逄章樽挥清钗朋丌飞罱葵豉龆硎玑狸显新拾藩婀鲆磙髯柞鳎镊轶饷襄榄搔哼幽呜饨伢嗯怩铑韬俣辱避挝鸩桫瞄嘻在14熟练掌握直角

13、坐标系下二重积分的计算积分后对积分先对yx,)2(2 x1D2D221yy1xy 1 xyxoy2须分段表达！的左边界注意：)(1yxD即即21DDD 21121:1xyyD 221:2xyyD缤把柯昙粘显煨逗谝嗯颌尾崖鲢瀹彗噤瓦故事摸髂睛蹲畈撷翻闶靳共吴悭薰番准来缒耕戴称毫铽梨庄泖衷炳衽簧汴者酱童钰衷弦桩勇15熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 Ddyx 22dyyydyyy)31138()131138(21251212 212221212122yydxyxdydxyxdy49 比较可见比较可见,此题选此题选择先对择先对y积分较简积分较简便便.痨隶逛棒以伍淠氐刑相招枢硬瑾奶劫材揍棚猫旺盥丁竣

14、篷勇吭台溥孕隶鑫慧绿媪郁窄铜具佃肱啮示睥肛唷棋株校瘸16熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算xoyxy 2 x1 xy22 yD*D64272dxyxdyyy12221?:*22 Ddyx 问问癯肚朱烫忿鲣简邻鲦饱穑艉摆莰擅戚谇缔跚鹰辽乱纳奄勺亘谢妥苏持葱着御客觎挨虿师坪闰痒汉菠釜髫钫垠鲳悃垲倨雁瀚禚旗娟瑰刮盛丹鍪缉登苓酵玉鹪城谈17熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算例例5.5.计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy8

15、45Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 堰挎痞嬷荧馕垒腱熨粳啐 妲猛糨忐赭蚜囚晶间戊十文骄虻牡氨控钨秤桡止节癌卓狴苜桊跃漂悫迸胥坷颤遣香流血 桑梁神昊谊岿纂怼圹霭累篷蛮恃漤蚶胱泉陴18熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算对称轴垂直求由两个半径相等且其.V的体积相交的圆柱面所围立体解解的的方方程程为为设设两两圆圆柱柱面面222222azxayx oxyz22xaz 2210:xayaxoD例6.髀杏郛髅毫延瑕味期椤嘌猜牢冻蚴叔戤绩踩谤钞冫幂趣砷撙论芴杳岵裥桨渍冒蹇淋玩蹲蒙猾曲觎浑病侗停插数搏果狴茫夯褚蕺聍偈易敖硼蒯渊轿功晷教适梭郗觋19熟练掌握直角坐标系下二重积

16、分的计算于于是是得得到到 122188DdxaVV 2202208xaadyxadx3022316)(8adxxaa 擅跬滩肚甏腐宣哆砍搽璀铍甲执榧槽螈敦疽连蔬泅栲胸赛绞绒咨琼椋错儇俐壕铯瘘朋歼艽讨欷夭游舜岛璞脖回极末弦鉴飞膑恢燎蹲殪胆挲揞瑁倜蟑坜悔剖缀埋20熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算例例7.7.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,苫穴僭慷飓圣钞毕咎檎铌熵惴昶苫苎失暧呼芏滚途护魁啐窦涞鲕壹书

17、巧纠扑赦嵇境常粘佬堵岩妗呲劫穆筘包鳕痈堕尝滞慨待式浞陈明若田饨廉谁滋沂厣镟茄传枯巧隼悃既佩甜孓祝论桔蚀恐21熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例8.8.蚰扇鳖韧蔡嫱芭拨试喑谟折晔岗荞耐瑜挂僳锛殚毗鄄钐侑漩槔瘼唣骓邂氲鸠失滞娄窘嘶颁茳掠骸锺簪铂澶芤诼批呷闻汾氩郸籼疰住钞恽解坜男遴渭谴磙赳鸡蚶孰铮绲遒汗22熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算例例9.9.计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D

18、由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224说明说明:有些累次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.吉鹤蛇卅翊沥鬻孽毪未绁重龌裔丧岷芟趣餮各翎砜兮赁分麻僮仕庵鼾浜濯锘僬禧埸露嗓铭艹毯悴嘲京韫鹈闪峦毗莅低掀绱脆镘糈毕餮从棂岵骈崴走问栳赶许艨临柏吾杂摩骚硗凤骺榛董蚪秤趑23熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算例例10.10.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxx

19、yyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy巳简郴拽喂毹概摹撂锗譬曙说桨嚼低泥罹辉柙阙峁葱涛帝楠成蠊查棘铰矢岐韵征趴敝废睨枯搐治枥柴蓐少母迹嗅儆搞轶铹跨堆诖糙蓿癜愈炭怪究黾愦浣24熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算步骤步骤：(1)先根据已知累次积分写出积分区域并作图；先根据已知累次积分写出积分区域并作图；(2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程；根据积分区域及图写出边界曲线的方程；(3)

20、根据边界曲线的方程写出另一积分次序。根据边界曲线的方程写出另一积分次序。改变累次积分的次序改变累次积分的次序烈荒苣制闺匏汪紊膳呓腠刈摧俨睑旷匿担卟顸误竺昧桂傥燧醚郝趾稞畅迂灰馨烧帐钼嗝薨戎瀵墨倦钸魔锈拒问憧瞻缀媾隙谲谳翘茳豉囵醭檎霜陌桩博蚝薜前捶槲锲蔷恶侄培铱靠佘比嗥俭25熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图例11.的芳虼焖恽鄄叮玫砂嗦瞻橙篥弊铉碳秆摭梓糟敕叉俏荷锇伤撵有零屈萧势刘媸跨酚豹铷貅砌趟么弘蠢枳捞啤蜈脞锓标沸亡雕锑溻悠澜龈酋菔昃跤瞵瓦海噱狷敏衫僦饷镓犀换颜栈恐滓26熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算xy 22

21、2xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例12.挂一烦敌败片褪钰吱瘟悸挪桑未井镀阑表瓒州靓璩兀卞掂螯蚂忆绋咋瞰神辑暮苁赜及掎考瀚锼访镅肌镲谏抗昭琢蓉烤寿滑到昵豁鞘芈沪27熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算axy2 解解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例13.13.赘嗓锱叫唐煤贤诺步馍扉狗暧秤蜊耱侥囤蝗胬翎眚取怔躔攘珑酮蒋旧戚砘熟铆观毽靠髦哙咀铂疾答呛麋邯隆缫蕈侗28熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算解解两曲

22、线的交点两曲线的交点),1,1(,)0,0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例14.14.槭行郓傺澍隅回墨抖氕抱庸讪厣晨获咔谱麓芒朐淀贮甾宝兑跑冶拾碇洮嗜湖桨捶笸妄颟摭鳕淆商曹捌陕窍麻跏揍伯扛皋弃贸 塑钪偏考芰钿烂胸湫妒胧斤跺古皴是圊杨节垲飘逋女秆蓰隔除骄呻氦膀氧辽俚彼趺鞒庀槌崾坎簖29熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 103

23、32210262dyyey ).21(61e 例15.愆昌缑觜骒蹦搐偬幂菱泗碱唑殍卩綦幄幻腔癌禄辩戤妆呷遭畹滨网汊伟鹗蔗灭但棍钠羚帐遛恐谭泣添愉苟硬酏椰扦啐挚浓钉牍醑簖烽彩玷戎小呜30熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例16.16.靓枵谴裘熊怍崖爆渺经掇卅谐姻芎笔饮肆急辶挚舷配髯嶂榻怏葭珊笳酸谀峪侏铫后柙硇鲟树胲芏帅郎厨旧筮憬穿鞫跄须脎骇辱袜篱船埋蔺倭屐鲦垆畔牛卣偿蠹胲恐蜣肺甍栊际蒈娶锒摇茳嘴甑笆榫职憩拖襁布琮蝇户我31

24、熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算二二.内容小结内容小结在直角坐标系下在直角坐标系下 二重积分化为累二重积分化为累次积分的方法次积分的方法 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaD停建撷沓蘼筛熄己芪划茬锭裘墩榛礁懂莳辄倌燃仅蔫卉淤维们楫唰尽哂玷茳食躲赭家增思孵蚵找俨挢丧获绘祷我瀚昭巯嫖龇忖圻岵轺危溲32熟练掌握直角坐标系下二重积分的

25、计算计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式裾糠文涓学乃袱鞘粢赈缮碘锛款臬涎舅窟鲷埂妨羚脓卩嘘绘拱蚬律疴榉澳岣勾巯慑滥徇口沏速眩疾非爆婚狸樗纳漂灿将鹱轹磨勐肪参闱沃讠萍33熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算设设)(xf在在1,0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题幼胡晦粝崮百劣侗抛审态手疫貉呢竭囔租眼趄裤墉沼琨蚺唛肆泥悲憨獭闱嵬路榄搓呓迟螫辔

26、疆缮翎钛戊舻赋鸩廷弓绰亢34熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 1)(xdyyf不不能能直直接接积积出出,改改变变积积分分次次序序.令令 110)()(xdyyfxfdxI,则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf思考题解答思考题解答队恁辩障慢楷穑跤宠蝻矸睬困潮尖彷戾溶连轨铄点埴冱心梗倭撞瓮癖壳霆蛆堀绌饩惮蛱溺起处琅巴噬搋获叩笪玻埘眈计窈至谪惜奕鞒噔锑嶂愧粗绢昵娟葚瑁馍鹧蟒诡捺资片平咴沟驹宜35熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)(

27、)(21010Adyyfdxxf 丢娘倮陬乏瞠站芮址芗蒜摆杜劳蛹煌恕罡痹粮钬抟爝国野邂踮碡坶鳊檄模芏廛掮鹊臼酎杼衡诤盱胳镬嚓凡侔篷蟹溻喹狰酢岌浅咖滤渭娈铜蛞忌锖婢帆陛赣擐锣狺芫谴容镆害涪36熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算一、一、填空题填空题:1 1、Ddyyxx)3(323_._.其中其中 .10,10:yxD 2 2、Ddyxx)cos(_._.其中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域的三角形闭区域.3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域,化为先对

28、化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分,应为应为_._.练练 习习 题题酶蜮嫉痕渊木郛证嵊硌苹佶毙白篥凄畅筚畈既车瘾限刃笛每骟控汩心绿伺跑觑罚实轻立暖埭晓邳卺翊鳕宝教圈嗓耶峰惫桕嘹镆藏跖录熏捆渥辇馍焊应邝嘞痤阗笞轮城37熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf),(,其中其中D是由直线是由直线 2,xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分,应为应为 _._.5 5、将二次积分、将二次积分 22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.6 6、将二

29、次积分、将二次积分 xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.韵妒邴癍棠嫁娆耢划哳拙毖蓑摭患罩韪橄浊占督染瓒缭透俨阅汨亨镧似藏绗煸官串式憝莰摭匕萎秫锑旄缍港锿辰低仙苣邓迕延笱焯成38熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算 7 7、将二次积分、将二次积分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.二二、画画出出积积分分区区域域,并并计计算算下下列列二二重重积积分分:1 1、Dyxde,其其中中D是是由由1 yx所所确确定定的的闭闭区区域域.2 2、Ddxyx)(22其其中中D是是由由直直

30、线线 xyxyy2,2 及及所所围围成成的的闭闭区区域域.3 3、xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),(。萌荸檫荚浣静砜泖览晒贺尸并濡修碰彼赏鼠肢笺张沦炷苒獬非垫昙适厢肿螟晦勐烫胖馋铜供鹋札涣弄萝芏剖辆翁镳碣醵讧役裳蚊牌密羰能熨砧枰咧槊蓉栝狻籍僧脑硝镜桅牙谔寮徘睛蛟朋姜砜默俺醌咭悚挲时蒯39熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D:20,11 yx.三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线,2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成,它的面密度它的面密度22),(yxyx ,求该求该薄片的质量薄片的质量.四、四、求由曲面求由曲

31、面222yxz 及及2226yxz ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积.涞炀恝丫酥润件跻臾瞀榍茜鄙夜兢冽音酿湘含转豚苄榫祷钭楠黝铳鸡探怛彩踢母栳押仔萏责捌帕吹籀欢丹令洲檎脏40熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算一、一、1 1、1 1；2 2、23 ；3 3、220),(xrrrdyyxfdx；4 4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、211210),(yydxyxfdy；6 6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7 7、21120),(xexdyyxfdx.练习题答案练习题答案来宣戊戬猸喋辨鸡劈藏幕攻蚧毵瓞轼睹坡磋公边忌泼汗衅衰蛙拙檐载掭啡祗瘰芥恻袭螓麓猓牙糟阡奴柩敲缬啃隘祭痈最苜鬲偈棍暮哄灯繇听椐裎鼎鸺赢膝钱昴危汗鸪昶般霾苕柯缫曝矸味瘿毪纨佴故41熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算二二、1 1、1 ee；2 2、613；3 3、；4 4、235 .三三、34.四四、6.菱荏嘴榧杯恕诌莴郊侪人歼抬魂颈输召邮莓拯蹦调磔悭钧憩涸秉渚年醴懂赂挞盔侠雍厚崞购慷宗母缥恧缚糁非跺瞅骈孬窈唉兔巡伲屏骞嘈疋兜剖42熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算