流体力学第3章流体运动学

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1、第3章流体运动学选择题:d2v【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）dt2； （ b） t; （ c）（V）v ；v（V ） v（d） todv va v解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为dt tv（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要 素不随时间变化;（c）各过流断面的速度分布相同；（d）迁移加速度为零。解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动（b）【3.3】一元流动限于:（a）流线是直线；（b）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运

2、动参数不随时间变化 的流动。解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b）迁移加速度为零；（c）向心加 速度为零；（d）合加速度为零。解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流 动；（d）恒定流动。解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。 （d）【3.6 变直径管，直径 d. 320mm , d2 160mm,流速 V.1,5m/so V

3、2 为：（a ）3m/s ； （ b） 4m/s ； （ c） 6m/s ； （ d）9m/soV| d； V2 d；解：按连续性方程，44，故V V 虫 1.5 320 6m/sd2160【3.7】平面流动具有流函数的条件是：（a）理想流体；（b）无旋流动；（C）具有流速势；（d）满足连续性。解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。（d）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a）等于零；（b）等于常数；（c）随 时间变化而变化;（d）与时间无关。解：所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速

4、度。（d）【3.9】在 流动中，流线和迹线重合：（a）无旋；（b）有旋；（c）恒定；（d）非恒定。解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。（c）【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项 运动：（a）平移；（b）旋转；（C）变形；（d）加速。解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成。而刚体是不变形的物体。（c）【3.11】一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件是：（a）理想流体；（b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压缩流体。解：一维流动的连续方程VA C成立的条件是不可压缩流体，倘若是可压缩流体，则连续方程为VA C【3.12】流线与流线，在通常情况

5、下：（a）能相交，也能相切；（b）仅能相交，但不能相切；（c） 仅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，也不能相 切。解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为零（称为驻点），但 通常情况下两条流线可以相切。（c）3.13】欧拉法 描述流体质点的运动：（a）直接；（b）间接；（C）不能；（d）只在恒定时能。解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物 理量，因而是间接的。而拉格朗日法（质点法）是 直接跟随质点运动观察它的物理量（b）【3.14】非恒定流动中，流线与迹线：（a）定重合；（b）定不重合；（c）特殊情况下可能重 合；（d）定正交

6、。解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动，在某些特殊情况下 也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线 可能是重合。（c）【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是:（a）理想流体； （b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压 缩流体。解：这道题的解释同3.11题一样的。（d）【3.16】速度势函数存在于 流动中：（a）不可压缩流体；（b）平面连续；（c）所有无旋；（d）任意平面。解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）（c）【3.17】流体作无旋运动的特征是：（a）所有流线都是直

7、线；（b）所有迹线都是直线；（c）任意流 体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡 量都为零。（d）【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（a）两维不可压缩连续运动；（b）两维不可压缩连续且无旋运动；9）三维不可压缩连续运动;9）三维不可压缩连续运动。解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无 旋流动，即流动是平面势流。（b）计算题【3.19】设流体质点的轨迹方程为x C1et t 1y C2et t 1Z C3其中C1、C2、C3为常数。试求（1）t= 0时位于x a, y b，z c处的流体质点的轨迹方程；（2）求

8、任 意流体质点的速度；（3）用Euler法表示上面流 动的速度场；（4）用Euler法直接求加速度场和 用Lagra nge法求得质点的加速度后再换算成Euler法的加速度场两者结果是否相同。解:（1）以tb， z C代入轨迹方程，得c3c1c2故得c3当t 0时位于（a，b，c）流体质点的轨迹方程为(a)x (a 1)et t 1 y (b 1)et t 1 z c(b)cd 1t（2）求任意质点的速度（3）若用Euler法表示该速度场由（a）式解出a,b，c ；1a f x t 111br y t 11ec z即ut(a1)et 1x tv_y t(b 1)et 1y twzt0(4 )用

9、Eule r法求加速度场uuuuaxtu xv yw z1(x t)x t1vvvva ytu xv yw z1(y t2)y t 1wwwwaztu xv yw z(a)式对t求导并将(c)式代入得20由（a ）式Lagrange法求加速度场为(d)(a1)e气 (b t将（C）式代入（e）式得两种结果完全相同】已知流场中的速度分布为u yz tv xz tw xyay y t 1 a 03.20,1）点时的z(xz t) y(xy)a（1）试问此流动是否恒定。（2）求流体质点在通过场中（1,1加速度。解：（1）由于速度场与时间t有关，该流动为非恒定流动。z（yz t） x（xy）y(yz

10、t) x(xz t)1，y 1,z1代入上式，得3.21】一流动的速度场为试确定在解：迹线微分方程为dxdxdtdydtaxayaz22 2v (x 1)t It= 1时通过(2,1dydt(x(y）点的(y 2)t j以上两式积分得两式相减得将 x 2,y故过（2,1）1)t22)t2ln(x 1)ln(yx 1 In yc(y 2)i代入得1t32)h33In c点的轨迹方程为流线的微分方程为dxdy (x 1)t2 (y 2)t 2dx消去t，两边积分得In(x 1) ln(y 2) Inc或者x 1 C(y 2)以x 2,y 1代入得积分常数故在t 1,通过(2, 1 )点的流线方程为

11、3.22】已知流动的速度分布为u ay(y2 x2)v ax(y2 x2)其中a为常数。(1 )试求流线方程，并绘制流线图；(2 )判断流动是否有旋, 若无旋，则求速度势并绘制等势线。解：对于二维流动的流线微分方程为dx dyu vdxdyayyx2)ax(y2 x2)即习题3, 22图消去积分a(y2x2)1 21x2 2得 xdx ydy或者若c取一系列不同的数值，可得到流线族一双曲线族，它们的渐近线为y x如图 有关流线的指向，可由流速分布来确定。u ay(y2 x2)v ax(y x )2 2对于 y 0, 当| y| |x|时，u 0当 1 yi |x| 时，u 0对于y 0,当|y

12、ix|时，u 0当 i yi |x| 时，u 0据此可画出流线的方向判别流动是否有旋，只要判别rotv是否为零，2ay（y x j yax（ 2a （y x ） 2 ax2 2 2 2 2 a （ y x ） 2 ay2ax2 2 2ay 0所以流动是有旋的，不存在速度势。【3.23】一二维流动的速度分布为u Ax Byv Cx Dy其中A、B、C、D为常数。（1）A、B、C、D间呈何种关系时流动才无旋；（2）求此时流动的速度势。解:（1）该流动要成为实际流动时，须满足divv 0，U v c0即x y或者ad。，得AD该流动无旋时，须满足rotv 0，v U c0即x y或者C B 0，得C

13、 Bu Ax By（2）满足以上条件时，速度分布为v Bx Ayu Ax By积分得i Ax2 Bxy f (y) 2-Bxf (y) v BxAy由于yf (y)Ayf(y)2Ay212 22A(x y )2Bxy因此速度势3.24】设有粘性流体经过一平板的表面。已知平板近旁的速度分布为v v0 s in -2a （ Vo, a为常数，y为至平板的距离） 试求平板上的变形速率及应力。Vosin(g)xx（为X轴方解：流体微团单位长度沿X方向的直线变形速率为向）xx同理沿y方向直线变形速率为yy yy 0沿z方向直线变形速度为zz1 V& g在xOy平面上的角变形速率u) yy 0V2a在yO

14、z平面上的角变形速率在zOx平面上的角变形速率u W)x牛顿流体的本构关系为（即变形和应力之间关系）PxxPyyPzzxyyxxzzx(z故在平板上,xyyzzyyzxxzx3.25】设不可压缩流体运动的其中a为常数。交线。解：由流线的微分方程PyyVozz。临）2a3个速度分量为axay2azv02acons t, y cons2试证明这一流动的流线为丫 zt两曲面的dx dy dz习题3. 26图或者 2(2y 3x)3(2y 3x)时的流dydx dydzax ay2azdx dxax aydy dz即 ay 2az积分(a )得xC1y积分(b)得2y z C2x2即证明了流线为曲面y

15、 z常数与曲面y常数的交线。3.26】已知平面流动的速度场为v (4y 6x)ti (6y 9x)tj。求t= 1x 4区间穿过x轴的4条流线图形。解：流线的微分方 程为dx dyu vt 1时的流线为dxdy4y 6x 6y 9xdx即 3dx 2dyc 3,6,9,12时可画出1x 4穿过x轴的4条流线y2 2x3.27】已知不可压缩流体平面流动，在y方向的速度分量为v2y。积分得3x 2y c为流线方程试求速度在x方向的分量u。解：此平面流动必须满足divv0对于二维流动即X ：0以v y2心代入 u 2y 2 02y故 x故 u 2xy 2x f(y t)max【3.28】求两平行板间

16、，流体的单宽流量。已知速度分布为式中y= 0为中心线，y b为平板所在位置Umax为常数。/Umax 习题328图解：如图，由U Umax1(b，平板间的速度分布为抛物线分布。通过dy截面的体积流量dQ为2dydQ UdyUmax则平板间的流量bQ 2 odQ 2u ob(by) 2 dymax oo2uAb max 3-bu3 max3.29】下列两个流动，哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形?(1 )ay, v axX2y w 02CX（2）式中解：c是常数。（1）判别流动是否有旋，只有判别rotv是否等于零。2 2 2 c(x y ) 2cy (a) 2ax所以rotv角变形y

17、2ak1 Vu 11 (w2C x尹a)1 0-(00)02 yz21 1w1LJ)-(00)02 zx2流动为有旋流动。yz。1&xz所以流动无角变形。2 xy 2y。试确定流动:(x故流动为无旋同理3.30】已知平面流动的速度分布u x 2x 4y ,（1）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函数，求出和。解:（1）由divv是否为零u 2x 2 2x 2 x y故满足连续性方程（2）由二维流动的rotVV0绑2花冷y )孕(x2y )矣W 0 x u故流动有旋2y ( 4)0(3)此流场为不可压缩流动的有旋二维流动，存在流函数而速度势不存在u x 2x 4y y积分

18、得 X y 2xy22y f(x)v 2xy 2y x故 2xy 2y f (x) 2xy 2yf (x)0 f(x) C因此2 2x y2xy 2y (常数可以作为零)Qlnr3.31】已知速度势为：(1)arcta n，x,求其流函数。解:(1)在极坐标系中Vrr rIn rvrQ2rQ d2 d因此f(r)(r) CQ2(2 )当 2y arcta n x时将直角坐标表达式化为极坐标形式e xcosh y 1r2 rv0r因f (r)此 dfr drvf(r)故得vVrln r2In r 23.32】有一平面流场，设流体不可压缩，x方向的速度分量为u（1）已知边界条件为y , V 0，求

19、v （x,y）；（2）求这个平面流动的流函数。（1）由不可压缩流体应满足divv u Vx(1)(2)解：e coshy 艮口 x ye xsinhyu e xcoshy 1e xsinhy y f (x)e xsinhye xsinhy f (x)f (x)0 f(x) Ce xsinhye xsinhy y2 23.33】已知平面势流的速度势y(y3x),求流函数以及通过(0,0 )及(1,2 ) 两点连线的体积流量。解：由于6xy y3xy f (x)3 y2 3x2由于 y x3y f 2(x) 3y3x223xf (x) 3x 2 f (x)3故流函数为3xy2 x3Q (1,2) 11 (取绝对值)(0,0)