洛必达公式 泰勒公式 柯西中值定理 罗尔

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1、洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(LHospital法则)，是在一定条件下通过分子分胃分别求导再求极限来确定未定式值的方法。设(1) 当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2) 在点a的去心邻域内，f(x)及F(x)都存在且F(x)手0;(3) 当xa时lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大)，那么xa 时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。再设(1) 当x8时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2) 当 |x|N 时 f(x)及 F(x)都存在，且 F(x)手0;(3) 当x8时lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大)，那么

2、x8时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或8/8型未定式，否则滥 用洛必达法则会出错。当不存在时(不包括8情形)，就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因 子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.泰勒公式(Taylo

3、rsformula)泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间怎，b)有直到n+1阶的导数，则当 函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!*(x-x.)2,+f(x.)/3!*(x-x.)”3+ +f(n)(x.)/n!*(x-x.)n+Rn其中 Rn=f(n+1)()/(n+1)!*(x-x.)(n+1),这里 E 在 x 和 x.之间，该余项 称为拉格朗日型的余项。(注：f(n)(x.)是f(x.)的口阶导数，不是f(n )与x.的相乘。)证明 我们知道f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+ a

4、(根据拉格朗日中值定理导出 的有限增量定理有limAx0 f(x.+Ax)-f(x.)=f(x.)Ax)，其中误差a是在 limAx0即limxx.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确； 于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)2+An(x-x.)n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数 P(x)满足P(x.)=f(x.),P(x.)=f(x.),P(x.)=f(x.),P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f

5、(x.);P(x.)=A1,A1=f(x.); P(x.)=2!A2,A2=f(x.)/2!P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!?(x-x.)2+f(n)(x.)/n!?(x-x.)n.接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出 Rn(x.)=Rn(x.)=Rn(x.)二Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得 Rn(x)/(x-x.)”(n+1)= (Rn(x)-Rn(x.) / ( (

6、x-x.)(n+1)-0)二Rn(1)/(n+1)( 1-x.)n(注：(x.-x.)(n+1)=0),这里 E1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得(RnM 1)-Rn(x.)/ ( (n+1)( 1-x.)n-0)=Rn(E 2)/n(n+1)( 2-x.)”(nT)这里 2 在 1 与 x.之间；连续 使用 n+1 次后得出 Rn(x)/(x-x.)(n+1)=Rn(n+1)()/(n+1)!,这里 在 x.和 x 之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于 P(n)(x)=n!An,n!An 是一个常 数，故 P(n+1)(x)=0，于是得 Rn(n

7、+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x.)(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的 需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间(志b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时， 可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!?x2,+f(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+Rn其中 Rn=f(n+1)(0x)/(n+1)!?x(n+1),这里 001。证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x2+Anx

8、n来近似表 示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单 的形式即当x.=0时的特殊形式：f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)/2!?x2,+f(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+f(n+1)()/(n+1)!?x(n+1)由于在0到x之间，故可写作Ox，001。麦克劳林展开式的应用：1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。解：根据导数表得：f(x)=sinx , f(x)=cosx , f(x)=-sinx , f(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx于是得出了周期规律。分别算出 f(0)=0, f(0)=1, f(x)=0, f(0

9、)=-1, f(4)=0最后可得：sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+x9/9!-(这里就写成无穷级数的形式了。)类似地，可以展开y=cosx。2、计算近似值 e=lim x8 (1+1/x)x。解：对指数函数y=ex运用麦克劳林展开式并舍弃余项：exQ 1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!当 x=1 时，e1+1+1/2!+1/3!+1/n!取n=10,即可算出近似值e2.o3、欧拉公式：eix=cosx+isinx (i为-1的开方，即一个虚数单位)证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确 切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲

10、一下：先展开指数 函数ez，然后把各项中的2写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土 i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。 然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。 泰勒展开式原理e的发现始于微分，当h逐渐接近零时，计算之值,其结果无限接近一定值2.71828.,这个定值就是e,最早发现此值的人是瑞士著名数 学家欧拉，他以自己姓名的字头小写e来命名此无理数.计算对数函数的导数，得，当a=e时，的导数为，因而有理由使用以e 为底的对数，这叫作自然对数.若将指数函数ex作泰勒展开，则得以x=1代入上式得此级数收敛迅速

11、,e近似到小数点后40位的数值是将指数函数ex扩大它的定义域到复数z=x+yi时，由透过这个级数的计算，可得由此,De Moivre定理，三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如 说，z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,另方面，所以，我们不仅可以证明e是无理数，而且它还是个超越数,即它不是任何一个整 系数多项式的根，这个结果是Hermite在1873年得到的.甲)差分.考虑一个离散函数(即数列)R,它在n所取的值u(n)记成un,通常我们 就把这个函数书成或(un).数列u的差分还是一个数列，它在n所取的值以 定义为以后我们干脆就把简记为(例)：数列 1, 4, 8, 7, 6,

12、-2,.的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 .注:我们说数列是定义在离散点上的函数如果在高中这样的说法就 很恶劣.但在此地，却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.差分算子的性质(i) 合称线，性(ii) (常数)差分方程根本定理(iii)其中，而(n(k)叫做排列数列.(iii) 叫做自然等比数列.(iv) 一般的指数数列(几何数列)rn之差分数列(即导函数)为rn(r-1)(乙).和分给一个数列(un).和分的问题就是要算和.怎么算呢我们有下面重要的 结果:定理1 (差和分根本定理)如果我们能够找到一个数列(vn),使得，则和分也具有线性的性质：甲)微分给一个函数

13、f,若牛顿商(或差分商)的极限存在,则我们就称此极限值为f为点x0的导数，记为f(x0)或Df(x),亦即若f在定义区域上每一点导数都存在，则称f为可导微函数.我们称为f 的导函数，而叫做微分算子.微分算子的性质：(i) 合称线性(ii) (常数)差分方程根本定理(iii) Dxn=nxn-1(iv) Dex=ex（iv） 一般的指数数列ax之导函数为（乙）积分.设f为定义在a,b上的函数，积分的问题就是要算阴影的面积.我们的 办法是对a,b作分割：;其次对每一小段xi-1,xi取一个样本点；再求近似和；最后再取极限 （让每一小段的长度都趋近于0）.若这个极限值存在，我们就记为的几何意义就是阴

14、影的面积.（事实上，连续性也差不多是积分存在的必要条件.）积分算子也具有线性的性质：定理2若f为一连续函数，则存在.（事实上，连续性也差不多是积分 存在的必要条件.）定理3 （微积分根本定理）设f为定义在闭区间a,b上的连续函数，我 们欲求积分如果我们可以找到另一个函数g,使得g=f，则注：（1）（2）两式虽是类推，但有一点点差异，即和分的上限要很小心！上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分，微分与积分，是两个互逆的 操作，就好像加法与减法，乘法与除法是互逆的操作一样.我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了，而上面定理1及定理 3告诉我们,要计算（un）的和分及f的积分，只要去找另

15、一个（vn）及g满 足，g=f （这是差分及微分的问题），那么对vn及g代入上下限就得到答案了. 换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作， 这就是以简御繁的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.甲）Taylor展开公式这分别有离散与连续的类推.它是数学中逼近这个重要想法的一个特例. 逼近想法的意思是这样的:给一个函数f,我们要研究f的行为，但f本身可能 很复杂而不易对付，于是我们就想法子去找一个较简单的函数g,使其跟f很 靠近，那么我们就用g来取代仁这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看 出，要使用逼近想法，我们还需要澄清两个问题:即如何选取简单函数及逼近

16、的尺度.（一）对于连续世界的情形,Taylor展式的逼近想法是选取多项函数作为简 单函数，并且用局部的切近作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到n 阶都可导微的函数f,我们要找一个n次多项函数g,使其跟f在点x0具有 n阶的切近，即，答案就是此式就叫做f在点x0的n阶Taylor展式.g在x0点附近跟f很靠近，于是我们就用g局部地来取代f.从而用g 来求得f的一些局部的定性行为.因此Taylor展式只是局部的逼近.当f是足 够好的一个函数，即是所谓解析的函数时，则f可展成Taylor级数，而且这个 Taylor级数就等于f自身.值得注意的是，一阶Taylor展式的特殊情形，此时g（x）=f

17、（x0） +f（x0）（x-x0）的图形正好是一条通过点（x0,f（x0）而且切于f的图形之直 线.因此f在点x0的一阶Taylor展式的意义就是，我们用过点（x0,f（x0） 的切线局部地来取代原来f曲线.这种局部化用平直取代弯曲的精神，是微 分学的精义所在.利用Taylor展式，可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极 小值，求积分的近似值,作函数表（如三角函数表，对数表等），这些都是意料中事.事实上，我们可以用逼近的想法将微积分一以贯之.复次我们注意到，我们选取多项函数作为逼近的简单函数，理由很简单:在众 多初等函数中,如三角函数，指数函数，对数函数,多项函数等，从算术的观点来看

18、, 以多项函数最为简单，因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算，其 它函数就没有这么简单.当然，从别的解析观点来看，在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数. 例如，三角多项式，再配合上某种逼近尺度，我们就得到Fourier级数展开，这在 应用数学上占有举足轻重的地位.（事实上,Fourier级数展开是采用最小方差的 逼近尺度，这在高等数学中经常出现，而且在统计学中也有应用.）注:取x0=0的特例，此时Taylor展式又叫做Maclaurin展式.不过只要 会做特例的展开，欲求一般的Taylor展式，作一下平移（或变数代换）就好了.因 此我们大可从头就只对x=0点作Taylor展式.

19、（二）对于离散的情形,Taylor展开就是：给一个数列，我们要找一个n次多项式数列（gt）,使得gt与ft在t=0 点具有n阶的差近.所谓在0点具有n阶差近是指：答案是 此式就是离散情形的Maclaurin公式.乙）分部积分公式与Abel分部和分公式的类推（一）分部积分公式：设u（x）,v（x）在a,b上连续，则（二）Abel分部和分公式：设（un）,（v）为两个数列,令sn=u1+un，则上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式D（uv） = （Du）v+u（Dv）,及莱布尼慈差 分公式的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式，一个很对称，另一个则不然.（丁）复利与连续复利（这也分别是离散与连续之间的类

20、推）（一）复利的问题是这样的:有本金y0,年利率r,每年复利一次，要问n年 后的本利和yn=显然这个数列满足差分方程yn+1=yn（1+r）根据（丙）之（二）得知yn=y0（1+r）n这就是复利的公式.（二）若考虑每年复利m次，则t年后的本利和应为今，就得到连续复利的概念，此时本利和为y（t）=y0ert换句话说，连续复利时,t时刻的本利和y（t）=y0ert就是微分方程y=ry 的解答.由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述，而连续复利的问题由微分 方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程，解方程式的整个要点就是 叠合原理，因此求解的办法具有完全平行的类推.（戊）Fubini重和分

21、定理与Fubini重积分定理（也是离散与连续之间的类 推）（一）Fubini重和分定理:给一个两重指标的数列（ars）,我们要从r=1到 m,s=1到n,对（ars）作和，则这个和可以这样求得:光对r作和再对s作 和（反过来亦然）.亦即我们有（二）Fubini重积分定理:设f（x,y）为定义在上之可积分函数，则当然，变数再多几个也都一样.（己）Lebesgue积分的概念（一）离散的情形:给一个数列（an）,我们要估计和，Lebesgue的想法是， 不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆，相同的分在一堆,再从每 一堆中取一个数值，乘以该堆的个数,整个作和起来，这就得到总和.(二)连续的

22、情形:给一个函数f,我们要定义曲线y=f(x)跟X轴从a到 b所围出来的面积.Lebesgue的想法是对f的影域作分割：函数值介yi-1到yi之间的x收集在一齐,令其为，于是a,b就相 应分割成，取样本点，作近似和让影域的分割加细，上述近似和的极限若存在的话,就叫做f在:a,b上 的Lebesgue积分.余项泰勒公式的余项f(x)=f(a) + f(a)(x-a)/1! +f(a)(x-a)”2/2! + + f(n)(a)(x-a)n/n! + Rn(x)其中 f(n)是 f 的 n阶导数泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：1. 佩亚诺(Peano)余项：Rn(x) = o(x-a)n)2.

23、 施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+e(x-a)(1-e)(n+1-p)(x-a)”(n+1)/(n!p)f(n+1)是 f 的 n+1 阶导数，6 6 (0,1)3. 拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+ 6 (x-a)(x-a)”(n+1)/(n+1)!f(n+1)是 f 的 n+1 阶导数，6 6 (0,1)4. 柯西(Cauchy)余项：Rn(x) = f(n+1)(a+6(x-a)(1-6)n (x-a)”(n+1)/n!f(n+1)是 f 的 n+1 阶导数，6 6 (0,1)5. 积分余项：

24、Rn(x) = f(n+1)(t)(x-t)n 在 a 到 x 上的积分/n!f(n+1)是f的n+1阶导数也叫Cauchy中值定理。设函数f(x),g(x)满足是在a,b连续，(a、b)可导，g(x)手0(x 6 (a,b)则至少存在一点， 6(a,b),使 f()/g() = f(a)-f(b)/g(a)-g(b) 成立几何意义若令u=f(x),v=g(x),这个形式可理解为参数方程，而f(a)-f(b)/g(a)-g(b)则是连接参数曲线的端点斜率，fM)/g(E)表示曲 线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线 上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦，

25、这一点Lagrange也具有，但 是Cauchy中值定理除了适用y=f(x)表示的曲线，还适用于参数方程表示的曲线。当柯西中值定理中的g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 证明 令 F(x)=f(x)-f(a)-f(b)g(x)/g(a)-g(b): F(a)=F(b) = f(a)g(b)-f(b)g(a)/g(b)-g(a)由罗尔定理知：存在 6 (a,b),使得F()=0.又知 F(x)=f(x)-f(a)-f(b)g(x)/g(a)-g(b)故 f(E)-f(a)-f(b)g(E)/g(a)-g(b)=0即 f(E)/g(E) = f(a)-f(b)/g(a)-g(b)命

26、题得证。罗尔定理罗尔定理说明图片如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在区间(a,b)内至少存在一点E (a b)，使得f(E)=0.罗尔定理的三个已知条件的直观意义是：f(x)在a,b上连续表明曲线连同 端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切 线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴.罗尔定理的结论的 直观意义是：在(a,b )内至少能找到一点E,使f(E)=0,表明曲线上至少有一 点的切线斜率为0,从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.