711不等式基本内容

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1、高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正 说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客： 邮箱：anson_top专题： 不等式基本内容考纲要求：内容ABC71 基本不等式 72 一元二次不等式 73 线性规划 基本框架：不等式不等式的性质一元二次不等式简单的线性规划基本不等式：借助二次函数的图象三个二次的关系可行域目标函数一次函数：zaxbyz：构造斜率z：构造距离应用题几何意义：z是直线axby

2、z0在x轴截距的a倍，y轴上截距的b倍.最值问题变形和定值，积最大；积定值，和最小应用时注意：一正二定三相等& 基本知识点（Level A）【1】不等式的基本性质与定理1实数的大小顺序与运算性质之间的关系：（1）；（2）；（3）2不等式的性质：（1）或（反对称性）（2）或（传递性）（3）推论1：（移项法则）；推论2：；（同向不等式可以相加，但不可以相减） （异向不等式可以相减，但不可以相加）（4），推论：；（同向的不等式可以相乘，但不能相除）（异向不等式可以相除，但不能相乘）（5）；（）（左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方）（6），即：，；， （倒数法则）S 小结：代数式的大小比较或证明通

3、常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证S 运算技巧：比例的几个性质（1）比例基本性质：；（2）反比定理：；（3）更比定理：；（4）合比定理；（5）分比定理：；（6）合分比定理：；（7）分合比定理：；（8）等比定理：若，则_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）对于实数中，给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中正确的命题是 答案： （2）已知，则的取值范围是 答案：（3）已知，且则的取值范围是 答案：【2】一元一次不等式的解法一元一次不等式通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的

4、形式：（1）；（2）若,则当时，；若,则当时，；（3） _ 经典案例 有疑问随时mail例：已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 答案：【3】绝对值不等式的解法不等式解集或，把看成一个整体，化成，型不等式来求解S 拓展1：含绝对值的不等式性质： 同号或有；异号或有.即：（注意等号成立的情况）S 拓展2：对含有两个绝对值的不等式如何去解？（分段讨论法：找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集）S 小结：绝对值不等式的解法法一：零点分段讨论；法二：转化法：；法三：数形结合法四：两边平方_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（零点分段讨论）解不等式：答案：解集为（2）（零点

5、分段讨论）解不等式答案：（3）（数形结合）解不等式答案：（4）（两边平方）若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 答案：（5）设，实数满足，求证：答案：略【4】一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根一元二次不等式的解集或一元二次不等式的解集或一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集S 说明：表格纵向进程体现转化思想即：二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标S 注意：一般在解决一元二次不等式时我们统一将二次项系数转化为正数，以减少失误S 小结：解一元二次不等式 的方法 法一：

6、Step 1: 看开口方向（的符号）；Step 2: 看判别式 的符号；Step 3: 看方程的根写解集（或）：若,则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”如：当,；法二：Step 1: 化成标准式：；Step 2: 求出对应的一元二次方程的根；Step 3: 画出对应的二次函数的图象；Step 4: 根据不等号方向取出相应的解集S 拓展：重要结论：解集为（即对恒成立），则，（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）解关于的不等式：答案：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）（2）对一切恒成立，则的取值范围是 答案：（3

7、）不等式的解集是，则= 答案：（4）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为 答案：（5）不等式对恒成立，则实数的取值范围是 答案：【5】解连不等式常有以下转化形式& 拓展知识点（Level B）【1】分式不等式的转化方法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母（1）；（2）；（3）；（4）【2】高次不等式、分式不等式序轴标根法Step 1: 形式：或（移项，一边化为，不要轻易去分母）；Step 2: 因式分解，化为积的形式，并使每一个因式

8、中最高次项的系数为正；Step 3: 序轴标根，将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；Step 4: 写出解集，根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集S 小结：用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始S 拓展： 解分式不等式的一般步骤是什么？ 移项通分，分子分母因式分解，的系数变为（或正值），穿轴法（标根及奇穿过偶弹回）解得结果有理不等式解集的端点，恰好就是其对应的“零点”（就是对应方程的解和使分母为零的值）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）解不等式答案：（2）解不等式答案：或（3）不等式的解集是 答案：或（

9、4）设函数、的定义域都是，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为 答案：（5）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是 答案：（6）解不等式答案：（7）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 答案：【3】无理不等式的解法（1）；（2）或；（3）. 【4】指数不等式与对数不等式的解法（1）当时, ；（2）当时, ；【5】含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键” 注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 注意：（1）按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集（2）解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

10、，如对数或指数的底分为或讨论但若按未知数讨论，最后应求并集（3）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示（4）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）若，则的取值范围是 答案：或（2）解不等式答案：时，；时，或；时，或（3）关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为 答案：【6】不等式恒成立问题，常用的处理方式（可转化为最值问题，或“”问题）（1）恒成立；（2）恒成立 ；（3）能成立 _ 经典案例 有疑问随时mail例：对一切实数，若恒成立，则的取值范围是 答案：解：设，它表示数轴上动点到两定点和的距离之和，即另解：

11、，【7】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法（1）恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（2）能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的（3）恰成立问题若不等式在区间上恰成立，则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立，则等价于不等式的解集为_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（恒成立问题）设实数满足，当时，的取值范围是 答案：（2）（恒成立问题）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围 答案：（3）（恒成立问题）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围 答案：（4）（恒成立问题）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 答案：（5）（恒成立问题）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围答案：（6）（能成立问题）已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围 答案：& 深化知识点（Level C）【1】复合二次根式的化简当，是一个完全平方数时，对形如的根式使用上述公式化简比较方便& 高阶阅读交流、素材提供 博客： 邮箱：anson_top第 9 页 共 9 页