为什么叫“基本不等式”

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1、为什么把（a，b0）叫做“基本不等式”1从“数及其运算”的角度看，是两个正数a，b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。2有多种等价形式：代数涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；几何周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；函数本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数，等学生最熟悉的函数

2、的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线的切线，切线方程为，曲线总位于切线的下方，故有，。令，代入化简即得重要不等式。也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，这时c=A2，于是xy。3证明方法的多样性从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉

3、及太多的技巧。我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明：设A=。引进一个量d=，则a=A+d，b=Ad。于是a b =A2d 2=，由d0容易得到。4可推广。我们大家都知道有n个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。这个定理的证明方法很多，由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性。值得注意的是，n个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的最小性质，有广泛的用途，特别是在统计中，就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n个观测值xi（i=1，2，n）。由于测量误差，这些值会略有不同，那么x取什么值才最可信呢？数学王子高斯的想法是：用xxi表示观测值xi与理想值x之间的偏差（可正可负），

4、可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，习惯上把(xxi)2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求使的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这n个观测值的算术平均这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。基本不等式的教学过程概录1借助问题情境（赵爽弦图），得到a2+b22ab。老师提示：当a=b时，有。通过课件，动态演示面积变化情况，直观展示等号成立的条件。师：当 a，b为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明吗？生：利用完全平方，(ab)20，即a22ab+b20，得到a2+b22ab。师：还有什么方法？（片刻后）证明不等式的常用方法是“作差”。证明：.由证明过程可知：不等式

5、恒成立.师：通过刚才的探究，我们得到了一个对任意实数都成立的不等式。特别是a=b时，；反过来时，定有a=b。所以我们说当且仅当a=b时取等号。2探究新知师：当a0，b0时，如果用,替换上述结论中的a，b，能得到什么结论？生：可得。师：你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？学生模仿已有证明，用综合法。教师让学生阅读教科书，并填空：要证， 只要证 要证,只要证 要证,只要证 显然, 是成立的。当且仅当a=b时，中的等号成立 。DCABEO再阅读课本的“探究”，作出基本不等式的几何解释。教师对基本不等式做出如下说明：（1）注意基本不等式成立的条件；（2）注意基本不等式的结构：两个正数之积与两数之和之

6、间的不等关系。（3）注意等号成立的条件。3知识应用例1判断下列说法是否正确：（1） 若x0，则2；（2） 若x0，则2；（3） 若ab0，则2；（4） 若ab3，则a+b2。（1）生：因为2=0，所以2。（2）生：+2=0，所以？师：能写为吗？生：哦，不能！应该是0，所以2。教师提醒：注意，利用基本不等式，最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本不等式。（3）当ab0时，2；当 ab0时，2。教师补充：实际上，概括一下就是前面（1）和（2）。（4）生：当a0，b0时，a+b2=2；当a0，b0时，师：怎么还不会？看一下（3）的解答。生：哦，因为ab2=2，所以a+b2。师：通过这

7、几个例题可以知道，在基本不等式中，要求a，b大于0。例2在下列函数中，最小值是2的是（ ）（A）（x0） （B）（1x10）（C）（xR） （D）（0x）生1：，因为x2+250，5x既可以大于0，也可以小于0，所以y的值可以小于0。所以选项（A）不对。生2：因为1x10，所以lgx0。根据基本不等式，2=2。所以选项（B）正确。生3：因为对任意x，3x0，所以2=2。所以选项（C）正确。生4：因为0x，所以sinx0。所以2=2。所以选项（D）正确。师：对吗？再看看每一个函数都能取到2吗？学生经过思考，得出只有选项（C）中的函数能取到2。师：所以，大家要注意基本不等式中等号成立的条件。变式练

8、习：（1） 若，求的最小值及取得最小值时的值。（2） 求函数（x0）的最小值及取最小值时的x的值。（3） 若，求的最大值及取得最大值时的x值。大部分学生在解答时遇到较大困难。教师发现时间也不够了，于是就自己讲解：做这几个题目时，大家要注意灵活变形，就是要往基本不等式靠。如果是和的形式，就要凑出“积定”；如果是积的形式，就要凑出“和定”。这样就有（1）因为，所以x10。所以2 +1=3。等号当且仅当，即x=2时取得。（2）只要将函数解析式转化为，就可以利用基本不等式求解了。同学们课后完成。（3）因为，所以01x1。所以=。等号当且仅当x=1x，即x=时取得。教师总结：今天我们学了很重要的基本不等式。基本不等式在求最值时很有用。从前面的几组题目可以看到，用基本不等式求最值时，首先要注意含有字母的式子必须是正的；其次，要注意观察式子的结构，和的形式要看是否有积为定值，积的形式则要看是否有和为定值；第三，一定要注意是否能取到最值，这就要看“相等”的条件是否能满足。总结起来就是：一正，二定，三相等。大家一定要记住了。思考题：（1）基本不等式简单，而且“一正、二定、三相等”也很明确，但为什么学生总是想不到？越是简单，越接近常识，应用范围就越广泛，越需要经过一定的训练而形成习惯。（2）在利用基本不等式求最值时，学生为什么总是丢三落四？