二次函数中的存在性问题

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1、 . . 二次函数中的存在性问题1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由4：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=，则抛物线解析式为y=（x2）2+3=x2

2、+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，N1（2，0），N2（6，0）；当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MP=DQ=，NP=AQ=3，将yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x，解得：xM=2或xM=2+，xN=xM3=1或1，

3、N3（1，0），N4（1，0）综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（1，0），N4（1，0）2 如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）与原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上第一象限的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，

4、解得：故函数解析式为：y=x2+2x（2）当AO为平行四边形的边时，DEAO，DE=AO，由A（2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=1左侧，则D横坐标为3，代入抛物线解析式得D1（3，3），若D在对称轴直线x=1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）综上可得点D的坐标为：（3，3）或（1，3）（3）存在如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2，BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，设P（x，y），由题意知x0，y0，且y=x2+2x，若AMPBOC，则=，

5、即x+2=3（x2+2x），得：x1=，x2=2（舍去）当x=时，y=，即P（，），若PMABOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）3. 如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=x2+bx+c与直线BC交于点D（3，4）（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说

6、明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标8、解答：解：（1）y=2x+2，当x=0时，y=2，B（0，2）当y=0时，x=1，A（1，0）抛物线y=x2+bx+c过点B（0，2），D（3，4），解得：，y=x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，直线BD的解析式为：y=2x+2；（2）存在如图1，设M（a，a2+a+2）MN垂直于x轴，MN=a2+a+2，ON=ay=2x+2，y=0时，x=1，C（1，0），OC=1B（0，2），OB=2当BOCMON时，解得：a1=

7、1，a2=2M（1，2）或（2，4）；如图2，当BOCONM时，a=或，M（，）或（，）M在第一象限，符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；（3）设P（b，b2+b+2），H（b，2b+2）如图3，四边形BOHP是平行四边形，BO=PH=2PH=b2+b+2+2b2=b2+3b2=b2+3bb1=1，b2=2当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）P点的坐标为（1，2）或（2，0）4如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶

8、点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题菁优网所有专题：压轴题；分类讨论分析：（1） 首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形（2） 和OB的长（即OA长）确定B点的坐标（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出OPB三边的边长表达式，然后分OP=OB、OP=BP、OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点解答：解：（1）如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90，AOB

9、=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4=2，点B的坐标为（2，2）；（2）抛物线过原点O和点A、B，可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=2，当y=2时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即P、O、B三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点P的坐标为（2，2）

10、若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故点P的坐标为（2，2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2），5如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由10、解答：解：（1）如图1，A（3，

11、0），C（0，4），OA=3，OC=4AOC=90，AC=5BCAO，AB平分CAO，CBA=BAO=CABBC=ACBC=5BCAO，BC=5，OC=4，点B的坐标为（5，4）A（3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，解得：抛物线的解析式为y=x2+x+4（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，A（3.0）、B（5，4）在直线AB上，解得：直线AB的解析式为y=x+设点P的横坐标为t（3t5），则点Q的横坐标也为tyP=t+，yQ=t2+t+4PQ=yQyP=t2+t+4（t+）=t2+t+4t=t2+=（t22t15）= （t1）216=（t1）2+0

12、，315，当t=1时，PQ取到最大值，最大值为线段PQ的最大值为（3）当BAM=90时，如图3所示抛物线的对称轴为x= xH=xG=xM=yG=+=GH=GHA=GAM=90，MAH=90GAH=AGMAHG=MHA=90，MAH=AGM，AHGMHA=解得：MH=11点M的坐标为（，11）当ABM=90时，如图4所示BDG=90，BD=5=，DG=4=，BG=同理：AG=AGH=MGB，AHG=MBG=90，AGHMGB=解得：MG=MH=MG+GH=+=9点M的坐标为（，9）综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，11）角形类6（2009崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角

13、板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如下图：抛物线y=ax2+ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网所有专题：压轴题分析：（1） 根据题意，过点B作BDx轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案解答：解：（1

14、）过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90，ACO+CAO=90，BCD=CAO，（1分）又BDC=COA=90，CB=AC，BCDCAO，（2分）BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）点B的坐标为（3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax2经过点B（3，1），则得到1=9a3a2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x2；（7分）（3）假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）过点P1作P1Mx轴，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90

15、，MP1CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，1）；（11分）若以点A为直角顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，（12分）过点P2作P2Ny轴，同理可证AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x2上（16分）练习：1. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a

16、，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.2已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；APBxyO（第2题图）（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由4. 如图，已知抛物线yx2bx3与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，P是抛物线上的一

17、个动点，点P的横坐标为m（m3），过点P作y轴的平行线PM，交直线AB于点M（1）求抛物线的解析式；（2）若以AB为直径的N与直线PM相切，求此时点M的坐标；（3）在点P的运动过程中，APM能否为等腰三角形？若能，求出点M的坐标；OABxyPM若不能，请说明理由3. 已知：如图一次函数yx1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数yx2bxc的图象与一次函数yx1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？OAByCxDE2若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由4. 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标.OABxyCD13 / 13