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1、第5讲 建模实例 人口增长模型背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长l问题提出 马尔萨斯（Malthus）人口增长模型或指数增长模型.l模型假设1.时刻t的人口函数是连续可微的.2.人口的增长率是常数
2、.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.l模型建立 设t时刻的人口数为x(t),增长率为r（常数）.依平衡原理，在时间段t内，有 人口增长数=出生人口数 -死亡人口数 +迁入人口数 -迁出人口数 由假设由假设3，上式后两项忽略，上式后两项忽略.于是于是人口增长数人口增长数=出生人口数出生人口数 -死亡人口数死亡人口数 （5.1）又出生或死亡人口数均依赖于两又出生或死亡人口数均依赖于两个因素：个因素：（1）时间间隔）时间间隔t的长短的长短.（2）时间间隔开始时的人口总数）时间间隔开始时的人口总数x(t),且均为正比例关系，即且均为正比例关系，即 t间隔内的出
3、生人数间隔内的出生人数=k1x(t)tt间隔内的死亡人数间隔内的死亡人数=k2x(t)t其中其中k1，k2分别为出生率和死亡率分别为出生率和死亡率.代入（代入（5.15.1）式，得到）式，得到t间隔间隔内人口的增量为内人口的增量为 x(t+t)-x(t)=(k1-k2)x(t)t或或21)()()(1kkttxttxtx令t0，得211kkdtdxx按假设按假设k1-k2为常数为常数r，再设初始人口数，再设初始人口数为为x0，便构成一个初值问题，便构成一个初值问题,rxdtdx0)0(xxl模型求解x(t)=x0ert (5.2)l模型分析、评价与检验 1961年世界人口总数为3.06109，
4、在19611970年这段时间内，每年平均的人口增长率为2%，代入（5.2）式，得x(t)=3.06109e0.02(t-1961)(5.3)当t=2670时，x=4.41015,即达到4400万亿人，这相当于地球上每平方米至少要容纳8个人.l模型假设1.时刻t的人口函数是连续可微的.2.人口的增长率是常数.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.l模型修改与重建模型修改与重建1.将增长率将增长率r表示为人口表示为人口x的函数的函数r(x)，按，按前面的分析，前面的分析，r(x)应为应为x的减函数的减函数.假定假定其为其为x的线性函数的线性函数 r(x)=r-
5、sx其中其中r,s0，这里，这里r相当于相当于x=0时的增长率，时的增长率，称为固有增长率称为固有增长率.显然，对任意的显然，对任意的x0,r(x)r.2.设定自然资源和环境条件等因素设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为所能容纳的最大人口数量为xm（也称最大人口容量）（也称最大人口容量）.()mxrs 故故 )1()(mxxrxr（5.4）)1()(mxxrxr其中常数其中常数 r，xm要根据人口统计要根据人口统计数据确定数据确定.3.将指数模型中将指数模型中r的换为（的换为（5.4）式便）式便得到新模型得到新模型0)0(0)1(xxxxxrdtdxm(5.5)称为阻滞增长模型
6、或逻辑斯蒂克称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克（Logistic）人口增长模型）人口增长模型.用可分离变量方程的解法可得其解用可分离变量方程的解法可得其解为为rtmmexxxtx)1(1)(0（5.6）4.模型解的再分析与检验模型解的再分析与检验 对（对（5.6）式求二阶导数可得）式求二阶导数可得xxxxxrdtxdmm)21)(1(222（5.7）由此，分析人口总数由此，分析人口总数x(t)的变化规的变化规律律:人口总数人口总数x(t)的变化规律的变化规律:xxxxxrdtxdmm)21)(1(222dx/dtx0 xm/2xmx(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢txmx0 x0 x
7、m/2 （1）,即无论人口初即无论人口初值如何，人口总数均以值如何，人口总数均以xm为为极限，极限，其中其中x=xm是图形是图形x(t)的水平渐进线的水平渐进线.（2）当）当0 xx 时，时，x(t)是单调增加的是单调增加的.mtxtx)(lim0)1(xxxrdtdxm又由（又由（5.7）式知，当）式知，当 时，时，;当当 时，时，即即 是是 x(t)图形的拐点图形的拐点.人口变化率函数人口变化率函数 在在 处取处取到最大值到最大值.2mxx 022dtxd2mxx 022dtxd2mxx 2mxx dtdx（3）xm要根据人口统计资料以及自然环境等因素来确定，因而当条件改变时，xm也将随之改变.小结l利用平衡原理建立了人口增长模型l按照五步建模法全过程展现了数学建模的基本步骤
3.1人口增长模型
