极限函数优质课件

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1、2021/6/161极限极限0 极限的概念极限的概念0 极限运算法则极限运算法则0 求极限方法举例求极限方法举例2021/6/1621、极限的定义00lim()(),(lim0)xxxxf xAf xA其中无穷小量：是指绝对值不断增大的量的倒数 变量y在某个变化过程中以常数A为极限：是指在这个变化过程中变量y可以表示成常数A与无穷小的和的形式0lim0 xx2021/6/1632、函数极限运算法则、函数极限运算法则),(lim0 xfxx定理定理4 若若)(lim0 xgxx均存在，则均存在，则1)2)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim)

2、()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx )(lim)(lim00 xfkxkfxxxx（k为常数）为常数）3)当当0)(lim0 xgxx时，时，).(lim/)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx 2021/6/164例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 3、求极限方法举例、求极限方法举例2021/6/165解解)32(l

3、im21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx2021/6/166小结小结:则则有有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能

4、应用若若 xQ2021/6/167解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后后再再求求极极限限先先约约去去趋趋向向于于零零的的因因子子 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)2021/6/168解：原式解：原式32372222lim2 xxxxx 例例4 求求)1113(lim31 xxx解解:原式原式11)2(lim)1()1)(2(lim2131 xxxxxxxx又例又例:求求2237lim2 xxx3722)22)(22()3

5、7)(37(lim2 xxxxxxx)1()1(3lim321 xxxx)00(型型)(型型 2021/6/169例例5mmmnnnxbxbxbaaxxa 11010lim（a00，b00，m,n0).解：解：1）m=n,原式原式0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx 2）mn,原式原式011lim1010 mmmnmnmnxxbxbbxaaxxa3）mn，原式，原式=.2021/6/1610例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分

6、分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)2021/6/1611020)2(lim)(lim2lim925lim22229519512 xxxxxxxxxxxx例例 592lim0925lim2lim592lim22519222xxxxxxxxxxxxx由由上上例例知知，又又例例2021/6/1612,115lim330 xxxx 求求 33011)1()1(25limxxxxx 解：原式解：原式 333333011)1()125limxxxxx （3332333233011)1(11)1()1125limx

7、xxxxxxxx （215.,1)1(lim0Nnxxnx ),1(lim22 xxxx练习练习2021/6/16133、复合函数极限运算法则、复合函数极限运算法则定理定理 设函数设函数y=f(u)及及u=(x)构成构成复合函数复合函数y=f (x),在在x0某个去心邻域某个去心邻域,若若且且(x)l,则复合函数则复合函数y=f (x)在在 xx0时时的极限为的极限为Auflxluxx )(lim,)(lim0.)(lim)(lim0Aufxfluxx 2021/6/1614说明说明:Aufxfluxuxx )(lim)(lim)(0令令又称变量代换法又称变量代换法1.2.幂指函数的极限运算幂

8、指函数的极限运算.)(lim,)(lim,)(lim)(000BxgxxxxxxAxfBxgAxf 则则设设证明证明:.limlim)(limlnln)(ln)()(ln)()(00BABuABuxfxguxfxgxxxgxxAeeexf 令令2021/6/1615 极限存在准则、两个重要极限极限存在准则、两个重要极限0 极限存在准则极限存在准则0 两个重要极限两个重要极限 P362021/6/1616数列极限的夹挤准则数列极限的夹挤准则准准则则 如如果果数数列列nnyx,及及nz满满足足下下列列条条件件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列

9、列nx的的极极限限存存在在,且且axnn lim.1、极限存在准则、极限存在准则可以推广到函数的极限可以推广到函数的极限.2021/6/1617准则准则 如果当如果当)(00 xUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.准则准则 和和准则准则 称为称为夹挤准则夹挤准则.2021/6/1618AC(1)1sinlim0 xxx)20(,xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO，

10、得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 2、两个重要极限、两个重要极限2021/6/1619,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x,22x,02lim20 xx,0)cos1(lim0 xx,1coslim0 xx,11lim0 x又又.1sinlim0 xxx2021/6/1620例例3 3.cos1lim)120 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22

11、sin(lim21xxx 2121 .21 2021/6/1621,5tanlim)20 xxx又又515coslim5sin5lim515cos5sinlim)2000 xxxxxxxxx原原式式xxxarcsinlim)303)设设 u=arcsinx x0时时u0,1/sin1limsinlim00 uuuuuu原式原式2021/6/1622(2)exxx )11(limennxnnnn )11(lim,)11(且且单单调调递递增增,1 nxn设设,)11()11()111(1 nxnnxn则则)11(lim)11(lim)11(lim1nnnnnnnn 而而,e 11)111(lim)

12、111(lim)111(lim nnnnnnnn,e.)11(limexxx x与与n同时趋向同时趋向+由夹挤准则由夹挤准则2021/6/1623,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt.e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 .e exxx 10)1(lim用变量代换可求出用变量代换可求出exxx )11(lim2021/6/1624例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxx

13、x 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e.)211(lim,)1(lim510nnxxxnxe 又又2021/6/1625例例7 求求xxxxln)1ln(1sinlim )11ln(1sinlimxxx 解：原式解：原式xxxxx)11ln(11sinlim 1ln1 e)11ln(1sinlimxxxxx 例例6 求求131)23(lim xxx解：原式解：原式131)1(21 lim xxx66210)21(lim e2021/6/1626其他几个重要极限其他几个重要极限:axxxxaxaxln/1)1(loglim)1(loglim/100 )1:(ln1lim0 xxxauaxa令令1)1ln(lim0 xxx11lim0 xexx xxxexexxxxxxx)1ln()1ln(1lim1lim1)1(lim)1ln(0)1ln(002021/6/1627例例8 2)1(1ln1lim/100)(limeeexxxexxxxx 公式的综合应用公式的综合应用2/1)1(coslim/10202)1(coslimeeexxexxxxxx 5/1)/11ln()/41ln(lim)/11ln()/41ln(lim0 xxxxxxxx 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！