事件独立性第一章习题课

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1、事件独立性第一章习题课1.5 事件的独立性事件的独立性一、两事件独立一、两事件独立定义定义 1.5.1 设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B独立。注：当P(A)0,式(1.4.3)等价于：P(B)P(B|A)事件独立性第一章习题课从一付从一付5252张的扑克牌中任意抽取一张，张的扑克牌中任意抽取一张，以以A A表示抽出一张表示抽出一张A A，以，以B B表示抽出一张表示抽出一张黑桃黑桃,问问:定理、定理、以下四件事等价(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。?A(2)?(1)是否独立与是否独立与BBA事件

2、独立性第一章习题课二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立相互独立。事件独立性第一章习题课注注:两两独立未必相互独立两两独立未必相互独立!例例:从分别标有从分别标有1,2,3,41,2,3,4四个数字的四个数字的4 4张卡片中随机抽张卡片中随机抽取一张取一张,以事件以事件A A表示表示“取到取到1 1或或2 2号卡片号卡片”;事件事件

3、B B表表示示“取到取到1 1或或3 3号卡片号卡片”;事件事件C C表示表示“取到取到1 1或或4 4号卡号卡片片”.则事件则事件A,B,CA,B,C两两独立但不相互独立两两独立但不相互独立.121414P AP BP CP ABP BCP ACP ABC实，（）（）（）（）（）（）（）事上事件独立性第一章习题课一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。设事件A、B、C、D相互独立，则(1)(2)AB

4、CDAB与独立吗？与BC独立吗？事件独立性第一章习题课一般地，设A1，A2，An是n个事件，B1，B2，Bm是m个事件如果对任意k (1kn),任意的1i1i2 ik n，及任意l (1lm),任意的1 1j1j2 jl m，有 P(A i1 A i2 A ik B j1 B j2 B jl)P(A i1 A i2 A ik)P(B j1 B j2 B jl)则称事件组A1，A2，An与事件组B1，B2，Bm相互独立。此时事件函数F(A1，A2，An）与事件函数G(B1，B2，Bm)相互独立相互独立。事件独立性第一章习题课例例如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触表示继

5、电器触点点,假设每个触点闭合的概率为假设每个触点闭合的概率为p p,且各继且各继电器接点闭合与否相互独立，求电器接点闭合与否相互独立，求L L至至R R是通是通路的概率。路的概率。事件独立性第一章习题课 n n架轰炸机独立地飞往目标投弹架轰炸机独立地飞往目标投弹.已知已知每架飞机能够飞到目标上空的概率为每架飞机能够飞到目标上空的概率为p p1 1,在在目标上空投弹目标上空投弹,命中目标的概率为命中目标的概率为p p2 2.求目求目标被命中的概率标被命中的概率.解解:设设A Ai i-第第i i架架飞机命中目标飞机命中目标,i=1,n;B-B-目标被命中目标被命中.事件独立性第一章习题课第一章第

6、一章 小结小结 本章包括本章包括 六个概念六个概念:（随机试验、样本空间、事件、概率、条（随机试验、样本空间、事件、概率、条件概率、独立性）件概率、独立性）四个公式四个公式:（加法公式、乘法公式、全概率公式、（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）贝叶斯公式）和一个概型和一个概型:（古典概型）（古典概型）事件独立性第一章习题课1.1 基本概念基本概念一、基本内容一、基本内容1.随机试验随机试验2.随机事件、样本点、样本空间随机事件、样本点、样本空间3.事件间的关系及运算、运算律事件间的关系及运算、运算律二、注意要点二、注意要点1.判断随机试验的三个条件判断随机试验的三个条件2.事件间的关

7、系及运算的定义要精确把握事件间的关系及运算的定义要精确把握3.注意摩根律的使用注意摩根律的使用三、应会做的题型三、应会做的题型1.给出一个随机试验应会写出样本点及样本空间给出一个随机试验应会写出样本点及样本空间2.会利用事件间的关系及运算化简复杂事件会利用事件间的关系及运算化简复杂事件事件独立性第一章习题课一、内容回顾一、内容回顾1.频率的定义及性质频率的定义及性质2.概率的定义及性质概率的定义及性质二、注意要点二、注意要点1.概率的统计背景概率的统计背景2.对概率性质的把握对概率性质的把握三、应会做的习题三、应会做的习题会利用事件间的关系及运算、运算律化简复杂事件，会利用事件间的关系及运算、

8、运算律化简复杂事件，并利用概率性质求概率并利用概率性质求概率1.2 事件的概率事件的概率事件独立性第一章习题课一、内容回顾一、内容回顾1.古典概率模型定义古典概率模型定义2.古典概率的计算古典概率的计算3.加法原理及乘法原理加法原理及乘法原理二、注意要点二、注意要点古典概率计算时，随机事件及样本空间包含的样古典概率计算时，随机事件及样本空间包含的样本点数计算时所用本点数计算时所用的是排列还是组合必须一致的是排列还是组合必须一致三、应会做的习题三、应会做的习题简单古典概率的计算简单古典概率的计算1.3 古典概率模型古典概率模型事件独立性第一章习题课一、内容回顾一、内容回顾1.条件概率的定义及性质

9、条件概率的定义及性质2.条件概率的计算公式：条件概率的计算公式：a 在缩减的样本空间下的计算公式；在缩减的样本空间下的计算公式；b 在原在原来的样本空间下的计算公式来的样本空间下的计算公式3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式乘法公式、全概公式、贝叶斯公式二、注意要点二、注意要点1.条件概率也是概率，具有概率的一切性质条件概率也是概率，具有概率的一切性质2.注意计算条件概率的二种方法的合理使用注意计算条件概率的二种方法的合理使用3.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的使用场合乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的使用场合三、会做的习题三、会做的习题1.会判断所求概率是否为条件概率，并选择一种合适的方法计算之

10、会判断所求概率是否为条件概率，并选择一种合适的方法计算之2.会判断使用乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的场合、条件，正会判断使用乘法公式、全概公式、贝叶斯公式的场合、条件，正确使用之计算概率确使用之计算概率1.4 条件概率条件概率事件独立性第一章习题课一、主要内容一、主要内容1.独立性的定义独立性的定义2.两个事件相互独立的四个等价命题两个事件相互独立的四个等价命题3.随机事件组两两相互独立以及相互独立的定义随机事件组两两相互独立以及相互独立的定义4.随机事件组相互独立的等价命题随机事件组相互独立的等价命题二、注意要点二、注意要点1.独立性定义引入的意义独立性定义引入的意义2.事件之间是否独立是

11、要根据实际问题的性质来判断的事件之间是否独立是要根据实际问题的性质来判断的三、会做的习题三、会做的习题1.会利用独立性及其等价命题简便计算复杂事件的概率会利用独立性及其等价命题简便计算复杂事件的概率1.5 事件的独立性事件的独立性事件独立性第一章习题课一一.判断对错判断对错1.1.某种疾病的发病率为某种疾病的发病率为1%1%，则每，则每100100人必有一人发病人必有一人发病2.2.A A，B B为两事件，则为两事件，则A A B-A=BB-A=B3.“A3.“A，B B都发生都发生”的对立事件是的对立事件是“A A，B B都不发生都不发生”4.P(A)4.P(A)0,P(B)0,P(B)0,

12、0,若若A A，B B互斥，则互斥，则A A，B B不独立不独立.5.5.若若A=A=，则，则A A与任何事件即互斥又相互独立与任何事件即互斥又相互独立.6.6.假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为假如每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为p p，则由，则由n n个人的个人的血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为血清混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为np.np.课堂练习课堂练习事件独立性第一章习题课二、填空二、填空2.2.已知已知A A与与B B相互独立，且互不相容则相互独立，且互不相容则min(P(A),P(B)=()min(P(A),P(B)=()1.1.设两个独立事件设两个独立事件A A和

13、和B B都不发生的概率为都不发生的概率为1/9,A1/9,A发生而发生而B B不发不发生的概率与生的概率与B B发生而发生而A A不发生的概率相等不发生的概率相等,则则P(A)=().P(A)=().三、选择题三、选择题事件独立性第一章习题课1.7若若W表示昆虫出现残翅，表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且表示有退化性眼睛，且求下列事件的概率：求下列事件的概率：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛昆虫出现残翅或退化性眼睛(2)昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛(3)昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛四、计算题四、计算题,025.0)(,075.

14、0)(,125.0)(WEPEPWP825.0175.01)(1)(1)(31.0025.0125.0)()()(2175.0025.0075.0125.0)()()()(1:EWPEWPEWPWEPWPEWPWEPEPWPEWP）（）（）（解一、课后习题部分事件独立性第一章习题课1.8设A、B是两个事件，试问：(1)在什么条件下P(AB)达到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)达到最小值，最小值是多少？.8.0)(,6.0)(BPAPBABAPABPBAPBAPABPBAPBAPBPAPABP，即应最大为最小，）要使（最小。时，应最小，而当最大，要使）（解1)()(2)(BA)

15、()()(8.06.0)()()()(1:事件独立性第一章习题课1.9 设P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(AB)=0,P(AC)=0.1,P(BC)=0.2,求事件A,B,C中至少一个发生的概率7.002.01.005.03.02.0)()()()()()()()(0.P(ABC)0P(AB)P(ABC)0AB,ABC:ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP即从而因为解事件独立性第一章习题课1.10计算下列各题：)(,3.0)(),()()3()(,4.0)(,8.0)()2()(,6.0)(,3.0)(,5.0)()1(BPAPBAPABPABPBAPAPB

16、APBAPBPAP求求求7.0)(1)()()()()(1)(1)(1)()()()3(9.01.01)(1)(1.04.05.0)()()(4.0)()()2(3.02.05.0)()()()()()()(2.06.03.05.0)()()()(1):BPBPAPABPBPAPBAPBAPABPBAPABPABPABPBAPAPABPBAPBAPABPAPBAPBAPABPBAABPAPBAPBPAPABP，所以即得由所以又解事件独立性第一章习题课1.11把3个球随机地放入4个玻璃杯中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3的概率各是多少？3331433132314233334133143132

17、31423334133214)(;4)(;4)(,.)(#,)(#,)(#,4444)(#3.A2,A1,:CCAPCCCAPACAPCCACCCAACAA从而本题属于古典概型是有球最多的杯子中球数是有球最多的杯子中球数是有球最多的杯子中球数设解事件独立性第一章习题课1.12 掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和是3，4，5的概率各是多少？事件独立性第一章习题课1.13 在整数0,1,2,9中任取三个数,求下列事件的概率:(1)三个数中最小的一个是5;(2)三个数中最大的一个是5事件独立性第一章习题课1.14 12个乒乓球中有四只是白色的,八只黄色的.现从这12只乒乓球中随机地取出两

18、只,求下列事件的概率:(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球事件独立性第一章习题课)|)(,5.0)(,4.0)(,7.0)(15.1BBAPBAPBPAP求已知214.02.0)()()()()()()|)(0.20.5-0.7)BP(A-P(A)P(AB):BPABPBPBBABPBPBBAPBBAP由条件概率计算公式有解事件独立性第一章习题课)()2();()1(,5.0)|(,4.0)(,6.0)(16.1BAPBAPBAPBPAP求已知事件独立性第一章习题课1.17 一批产品共20件,其中有5件次品,其余为正品.现从这20件产品中不放回地任意抽取三次,每

19、次只取一件,求下列事件的概率:(1)在第一次第二次取到正品的条件下,第三次取到次品;(2)第三次才取到次品;(3)第三次取到次品.事件独立性第一章习题课1.18 有两批相同的产品,第一批产品供14件,其中两件为次品,装在第一个箱子中;第二批有10件,其中有一件次品,装在第二个箱中.今在第一个箱中任意取出两件混入到第二箱中,然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率.911419124619166121)()|()()|()()|()(,123)|(;122)|(;121)|(13142CC)P(;1314412CC)P(;13141112CC)P(B:33221132132121

20、42232141211222142121321APABPAPABPAPABPBPAAAABPABPABPACAAAAA全概公式有为样本空间的划分，由品从第二箱中取出的是次，品从第一箱中取出两件次，品一件正品从第一箱中取出一件次，品从第一箱中取出两件正解事件独立性第一章习题课1.19 某人决定去甲乙丙三国之一旅游.注意到这三国此季节内下雨的概率分别为1/2,2/3和1/2,他去这三国旅游的概率分别为1/4,1/4和1/2.请据此信息计算他旅游遇上雨天的概率是多少?212141324121)()|()()|()()|()(,21)|(,32)|(,21)|(21)(,41)(,41)(,CPCDP

21、BPBDPAPADPDPCBACDPBDPADPCPBPAPDCBA全概公式有为样本空间的划分，由、，天”表示事件“旅游遇上雨、丙旅游分别表示事件去甲、乙、解：事件独立性第一章习题课1.20 设男女两性人口之比为51:49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人,恰好是色盲患者,求此人为男性的概率.49.0025.051.005.051.005.0)()|()()|()()|()()()|()|(A0.025|(,05.0)|(,49.0)(,51.0)(:AAPABPAPABPAPABPBPAPABPBAPAABPABPAPAPBA，由贝叶斯公式有为样本

22、空间的一个划分，）患有色盲，抽取的是女人，抽取的是男人，解：事件独立性第一章习题课1.21 根据以往的临床记录,知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95,非癌症患者对这试验呈阳性反应的概率为0.01.若被试验者患有癌症的概率为0.005,若某人对试验呈阳性反应,求此人患有癌症的概率.995.001.0005.095.0005.095.0)()|()()|()()|()()()|()|(,01.0)|(,95.0)|(,995.0)(,005.0)(:,:APABPAPABPAPABPBPAPABPBAPAAABPABPAPAPBAA，由贝叶斯公式有为样本空间的一个划分此人对试验呈阳性此

23、人没有患癌症，此人患有癌症解：事件独立性第一章习题课1.22 仓库中有10箱同一规格的产品,其中2箱由甲厂生产,3箱由乙厂生产,5箱由丙厂生产,三厂产品的合格率分别为85%,80%和90%.(1)求这批产品的合格率(2)从这10箱中任取一箱,再从该箱中任取一件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲乙丙三厂生产的概率各是多少?事件独立性第一章习题课86.05.09.0)()()|()|(86.03.08.0)()()|()|(86.02.085.0)()()|()|()2(86.0219.01038.05185.0)()|()()|()()|()(,9.0)|(,8.0)|(,85.0)|(,21

24、)(,103)(,51)(,:)1(333222111332211321321321321BPAPABPBAPBPAPABPBAPBPAPABPBAPAPABPAPABPAPABPBPAAAABPABPABPAPAPAPBAAA由贝叶斯公式有全概公式有为样本空间的划分，由，则由已知条件有取到合格品，品是甲、乙、丙生产”分别为事件“取得的产，解：事件独立性第一章习题课1.23 甲乙丙三人独立地向同一目标各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.9,求目标被击中的概率.1.0*2.0*3.01)()()(1)(1)(1)()(,9.0)(,8.0)(,7.0)(:,CPBPAPCBA

25、PCBAPCBAPDPCBACBACBADCPBPAPDCBA也相互独立、相互独立，、目标被击中、丙击中”分别表示事件“甲、乙、解：事件独立性第一章习题课1.24 在四次独立试验中,事件A至少出现一次的概率为0.5904，求在三次独立试验中，事件A出现一次的概率。64.02.03)1()(,2.0,8.04096.0)1(0.5904)0(1)(211344004ppCAPpppCAPpAP出现一次列中在三重的伯努力试验序即，即次出现由已知条件，验序列中，设解：在四重的伯努力试事件独立性第一章习题课1 在数集1,2,3,100中随机地取一个数,已知取到的数不能被2整除,求它能被3或5整除的概率

26、.二、扩展习题部分事件独立性第一章习题课2 从5双不同的鞋子中任取4只，问这四只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？事件独立性第一章习题课1.26 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就不符合要求,问有一个部件强度不符合要求的概率是到少?事件独立性第一章习题课1.27 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率事件独立性第一章习题课1.28 根据以往的资料表明,一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P(孩子得病)=0.6,P(母亲得病|孩子得病)=0.5,P(父亲得病|

27、母亲及孩子得病)=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.事件独立性第一章习题课1.29 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号.求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后一个数字是奇数,那么此概率又是多少?事件独立性第一章习题课1.30 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回后仍为原商标的概率.事件独立性第一章习题课1.31 将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作 A的概率为0.01.信息A与B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？事件独立性

28、第一章习题课1.32 病树的主人外出,委托邻居浇水,设已知如果不浇水,树死去的概率为0.8.若浇水则树死去的概率为0.15.有0.9的把握确定邻居会记得浇水.(1)求主人回来树还活着的概率.(2)若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率.事件独立性第一章习题课1.33 根据报道美国人血腥的分布近似地为:A型为27%,O型为44%,B型为13%,AB型为6%.夫妻拥有的血型是相互独立的.(1)B型的人只有输入B,O两种血型才安全.若妻为B型,夫为何种血型未知,求夫是妻的安全输血者的概率.(2)随机地取一对夫妇,求妻为B型,夫为A型的概率.(3)随机地取一对夫妇,求其中一人为A型,另一人为B型的概

29、率.(4)随机地取一对夫妇,求其中至少有一人是O型的概率.事件独立性第一章习题课1.34 各个元件独立工作,可靠性均为p,试求如下两个系统的可靠性:1324(1)42153(2)事件独立性第一章习题课1.35 如果一危险情况C发生时,一电路闭合并发出警报,我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性.在C发生时这些开关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了,警报就发出.如果两个这样的开关并联连接,他们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的.事件独立性第一章习题课1.36 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?