高中数学函数典型题目解法优秀课件

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1、.1高中数学常见题型解题方法参考.2一、已知对称点与函数解析式，求另一函数解析式 点评：遇对称问题首先想到中点坐标公式。设出一点(x,y)(此点在所需要求出 的函数解析式的图像上)，根据对称点，利用中点坐标公式表示出带有 x和y且在已知函数的图像上的点，将此点代入已知函数解析式，解出x 与y的关系即可 12211()yxxyxf xxxx ，即1()()f xf xxx综上所述，的解析式为1()()2()0,1f xh xxf xAx已知函数的图像与函数的图像关于点对称，求的解析式。()f x设的图像上任意一点的坐标为(x,y),P(0,1)PA点 关于点的对称点(,2)()Pxyh x在的图

2、像上。.3二、函数单调性的运用解不等式。点评：当根据题目中的条件无法解出函数解析式的时候往往通过函数的性质解出答 案，如单调性，奇偶性等，同时也考虑对函数求导。本题中由不等式构建出 新函数h(x)，通过求导得到单调性，再结合题干求出零点即可得出解集。函数 求导，找零点是解此类不等式的常用方法之一。1()(1),()1,()()2Ryf xffxfxf x定义在 上的函数满足其中是的导函数，1()(),()02h xf xxh x设则得()()10h xfx 1(1)(1)102hf()h xR函数在 上单调递增1()xh x 是函数的一个零点1()(1,)2f xx则不等式的解集是(1,)()

3、1()(1,)2xh xf xx在上恒大于零即的解集为.4三、存在与任意性12121 min2 max12121 min2 min12121 max2 max12121 max2 max1212112211.()()()()2.()()()g()3.()()()()4.()()()()5.()=()()()xxf xg xf xg xxxf xg xf xxxxf xg xf xg xxxf xg xf xg xxxf xg xf xDg xDDD，使，使，使，使，使，212121122126.()=()()()xxf xg xf xDg xDDD，使，.5四、求参数范围，优先考虑参变分离点评

4、：参变分离是此类问题的通常解法，其基本步骤是将原不等式进行分解，将只 含有参数的式子移到不等式一边，根据其充分或任意性解出不等式另一边式 子的最值，最后进行比较。在讨论的整个过程中要注意各变量的范围。本题 还运用到了解此类问题常用的换元法和对勾函数的性质，而换元法的使用是 为了更方便的整理成双勾函数，注意，使用换元法时一定要正确表示出新建 变量的范围。2(2)2204,)xaxax若不等式 对任意恒成立，则实数a的取值范围是(5，22222220(2)22022(2)422222xaxxaaxxxxxxaxxxxax222(2)2222225(5,)txxttttatttttaa 令得 又，即

5、当时不等式 右边取最小值为的取值范围为.6五、观察式子，构造函数点评：观察是数学学习中很重要的方法 之一。比较式子的大小不外乎等 于，小于和大于三种情况。对于 此类题，题干上通常会有提示。比如g(x)g(x)恒成立，我们将其 移到一边会发现其类似某个求导 公式的某个部分。我们将构造出 的新函数求导后会发现分子或分 母恰恰会用到g(x)-g(x)0，最后 根据单调性即可比较大小。构造 思想在整个数学中是经常用到的。2(2)g(1)1.()(0,)g()()gg xxg xee已知在上有恒成立，试比较与的大小。通过观察需要比较的式子我们可以发现分母的指数与充当分子的函数的自变量是一样的，那么我们可

6、以将其变成相同字母，这时就出现了一个新函数。2()()()()()0()(0,)(2)(1)(2)(1)xxg xh xeg xg xh xeh xgghhee解：令得函数在上单调递增得.7 点评：本题和1小题一样，也是观察式子构造函数。f(x)f(x)tanx就是本题的提示信 息，也需要把式子全部移到不等式的一边。但需要学生先将tanx变为sinx除 以cosx的形式，这一步骤需要学生将分数求导公式牢记在心。最后通过单调 性即可得出答案。通常我们遇到的都是抽象函数类的题型，充分运用函数的 性质以及熟悉导数的知识是解题的关键。2.(0,)()()()()tan2f xfxf xfxx定义在上的

7、函数，是它的导函数，且有恒成立，则下列选项正确的是.3()2()43Aff.2()()64Bff.3()()63CffC2sin()()tan()cos()cos()sin()sin()cos0()()sin()sin()cos()0sin()(0,)2xf xfxxfxxf xxfxxfxxf xxf xh xxfxxf xxh xxh x令在上单调递增()()63()()()()6633()()1633sinsin6232()()633()()163322hhffffhhffff，.8六、反向思考，根据提问找条件。32()(0)()230;g xaxbxcxd af xabc已知函数的导函

8、数为，且1212(0)(1)0()ffxxf xxx，设，是函数的两个零点，求的取值范围。212121212121212=()4()()()xxxxxxx xxxf xg xf xxxx x分析：在高中阶段解有关的问题时通常将其变为，当出现，的时候通常会用到韦达定理，那么要使用韦达定理则需要寻找 一元二次函数，而题上已告诉是三次函数的导函数，所以由求导公 式得到为二次函数，解出和，最后根据题上的条件解出范围即可。解：22()32()32(0)=(1)321230(2)3184(0)(1)(2)()0333g xaxbxcf xaxbxcfcfabcabccabffabab 由导数公式得得，.9

9、 21212122(2)(2)0(2)(2):0()2(1)(2)012()(2)02122()42(1)3ababababbaaaabbaabbaabaxxxxx xba 化简得：同时除以 构造得 .10点评：有关两个零点的问题通常会出现韦达定理的使用。解答本题(或类似题)时可 先在草稿纸上写出两根之积与两根之和等于多少，再在题中寻找等于的结 果，当无法直接找出时则考虑构造，本题中则出现了构造。当题中有三(多)个变量，如本题的a b c，且其中一个(有些)变量为多余的时侯，通常将多余的 变量用另外的我们所需要用到的两个(其他)变量来表示。2221212222(2 1)=33211(1)=32

10、3122(1)3331 2(,)3 3babaxx 又得 综上所述，的取值范围为.11七、作差比较大小与化二元变量为一元变量的结合 1212()ln(0,),f xxxxx xxx已知，任取两个不相等的正数且，若21000121()()0().f xf xxfxxxxx存在使成立，求证01010101010101010()00,0lnln.(0,)lnlnlnlnlnlnxxxxf xxxabababxxxxxxxxxxx分析：欲证那么只要证得即可，但所给的函数含有 对数，直接证明较困难，那么可以构造与之类似的式 子。由对数的性质得若则题目上已 限定，那么欲证则证得即可。将不等式的所有项移到一

11、边则得01012210lnln()xxf xxxxxx，此时 则需要作差比较，而要出现和则要从函数着手，根 据题上的条件将，代入函数，再作差化简，之后会得到 含有的式子，则将二元变量化为一元变量，得到一个新的函 数，研究其新函数的性质即可得出答案。.12 解：00()=ln1(0,)()ln1fxxxfxx由导数公式得：，221100212211021lnln()ln1lnlnln1xxxxfxxxxxxxxxxx 由题意得：01221101121(lnln)lnlnlnln=1 lnxxxxxxxxxxx 因为要出现，则下一步作差221121211101212212121()lnlnlnln

12、lnln=(lnln)()=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx将等号右边的式子通分再合并同类项 .13 1221221210122121222110(lnln)()0lnln0(lnln)()0ln0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx由证得即可证得证即证221()xxx不等号左边为一个二元变量式子，而通常对此类式子则将二元变量变为一元变量，如遇对数则向对数看齐。对数的真数部分为，那么观察式子同时在两边除以21122211ln101ln10 xxxxxxxx ()左边的式子如果直接运算比较麻烦，那么我们通常使用换元法，注意，在使用换元法时必须准确表示出新元的取值范围.14 21

13、21(1,)()1ln101ln10 xttxxxtttt 令题干已给出证得在定义域上恒成立即可()t下一步我们可以令出关于的新函数1()ln1h ttt 令22111()th tttt由导数公式得()01()01(1,)()h tth ttth t 令令又在定义域上单调递增.15 2212101210101(lnln)()lnln=0lnlnxxxxxxxxxxxxx恒成立()求函数最值前应先求出函数的单调区间1(1)=0th当时()0h t 在定义域上恒成立2121122221221211211()ln1ln10ln=(lnln)()00 xh ttttxxxxxxxxxxxxxxxxx

14、，恒成立恒成立且21000121()()0()f xf xxfxxxxx综上所述，在定义域内，存在使成立，且恒成立。.16 21012021()()()f xf xfxxxxxx点评：本题的思想常作为数学压轴题所包含的内容之一，而其中也常常会 穿插构造法，韦达定理等，是综合性较强的题型，需要学生在平时 的学习中将各种解题方法牢记在心。另外，对于此类型的题要敢于 动笔，实在想不出什么头绪就将题目已给出的条件具体化，如本题 中给出，那么我们就将其把，代入将式 子展开，总之尽可能的得分。.17 八、参变分离与极限思想求零点和恒成立问题。()1.().0()().()()ln().()00 xf xe

15、axaRaf xF xf xxxf xxa已知函数，当时，求函数的单调区间；函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出 有几个；若不存在，请说明理由；若 对 恒成立，求实数 的取值范围。分析：()af x第一问因已告诉 的范围，将函数求导即可。()0()()0 xF xF xaF xaaxxaa第二问涉及到零点问题，解出函数的单调区间，如与 轴在定义域内有交点则表示有零点，即使的点。本题中因所给函数含有参数，那么可先令，然后进行参变分离将或只含 的式子移到等号一边，另一边为只含有 的式子，将只含有 的式子令其为一个新函数，转化为求新函数与 或只含 的式子的交点个数的问题。min()0f xa第

16、三问涉及到恒成立问题，而恒成立问题往往与最值有关，由本题给出的信息可知，遇最值往往要讨论单调形，再结合着 的范围的讨论即可得出答案。.18 解：()()xfxea由导数公式得0a()0ln()(ln,)fxxaf xa令，即函数在上单调递增；()0ln()(ln)fxxaf xa令，即函数在，上单调递减；()(ln,)(ln).f xaa综上所述的增区间为，减区间为，logln(0=0ln0,1,0ln).axxNxxaeaeaxaaNaaNeaeexa对于这类不等式的解法在高中阶段通常有两种，一种是将其令，得，又因为不等式为大于符号，则将等于符号变为大于符号，用此方法时必须保证指数的符号为正

17、；另外一种则是利用对数恒等式，即，其中，则在本题中可以得到，则两边变成了同底的指数，依据其单调性得.19 ()()1ln(0)xF xeaxxx x 由题意得()01ln0 xF xeaxxx 令ln1xexxax得ln1()(0)xexxh xxx令2(ln1)(ln1)()xxexxxexxxh xx由导数公式得2lnln1=xxxexxxexxx21xxxexex.20 2(1)(1)xexxx2(1)(1)xexx20 x恒大于()0(1)(1)001()0(1)(1)001xxh xexxxh xexx令，只需或令，只需0 x 又()(0,1)(1,)h x在上单调递减，在上单调递增

18、1()(1)1xh xhe当是取到最小值为1()1()1()aeh xaeh xaeh x当时与无交点当时与有且仅有一个交点当时与有两个交点.21 1()1()1()aeF xaeF xaeF x综上所述：当时在定义域内不存在零点；当时在定义域内有且仅有一个零点；当时在定义域内仅有两个零点；()()()yh xyayh xyayyh x对于有无交点我们的判断是将函数和函数放在同一个平面直角坐标系中，做出的草图，因为是一条平行于 轴的直线，我们上下平移这条直线，看在什么位置与有交点，且有几个点，在什么位置又没有交点(0,1)()000ln010 xh xxxxex说明：因为在函数单调递减，且为开

19、区间,当 趋近于 时，分母为一个十分逼近 的小数，而对于分子来说，当 趋近于 时则为负无穷，一个趋近于 的数乘以负无穷其结果依然 为负无穷，又因为其前面的符号为负，所以最终结果为正无穷，而的结果也为正数，最终分子的结果为正无穷，而正无穷除以一个十分逼近 的小数更是将分子放大；当 趋近 于正无lnlnlnln1xxxxxexexxxexxxyeyxe穷时，和同样被放大，而我们知道 的变化幅度大的多，且放大到一定 程度时其图像增长的非常缓慢，看起来就像平行 轴的一条直线，由于 增长的更快所以其 结果远大于，所以分子为正无穷；对于分母来说，虽然 为正无穷，但我们知道当 取同一个自变量，的图像始终在图

20、像的上方，而 增长的更快，所以正无穷除以 远小于它的数其1()aeF x 结果依然为正无穷。所以当时在定义域内仅有两个零点。.22 ()min()0f x由题意得 恒成立()遇最值往往要讨论其单调性()=xfxea由导数公式得()ax的正负情况不确定，所以要分情况讨论，同时也要注意 的范围00 xex，且 0()0afx当 时恒成立()0,)f x得在上单调递增0()(0)=0 xf xf又当时，取最小值为min()0f x满足0a 时符合题意0()()(ln)(ln,)af xaa当，由得的减区间为，增区间为(ln0)a这里与 的位置关系不确定，所以要进行讨论.23 .ln001()(ln,

21、)iaaf xa当 时，在上单调递增ln01()(0)=0aaf xf当时，取最小值为min()0f x满足01a 时符合题意.ln01()(0 ln)(ln,)iiaaf xaa当时，在，上单调递减，在上单调递增ln()(ln)xaf xfa当时取到最小值为()(0 ln)f xa又在，上单调递减min(0)=0(ln)()0ffaf x得即不符合题意(,1a综上所述，的取值范围为点评：零点问题是高考常考查的问题之一。本题第二小问通过参变分离转化为求两 个函数交点个数也是求含有参数的函数的零点个数的方法之一，需要学生掌 握，第二问的极限思想在数学的学习中也是非常重要的思想之一，需要学生 多加

22、练习体会。第三问涉及到的恒成立问题是高考数学中压轴题中的常考的 题型之一，在解题过程中一定要看清是“任意”还是“存在”，是取最大还是最小.24九、转化思想 31()3ln(),()()()3()(0,2)xf xaxaxxg xeH xxfx g xaH xa 已知函数，设函数，是否存在实数，使得在上既有极大值点又有极小值点？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由。()()(0,2)()()(0,2)H xH xH xH x分析：由设问可知本题的切入点是函数的极大值点和极小值点，并且 还能得出函数在不单调，而极大值点和极小值点又是其导 函的零点，而又是一个二次函数，那么说明这个二次

23、函数 在上有两个不相同的根，而对于含参数的二次函数我们可以采 用参变分离的方法转化为求参数与参变分离后得到的新函数的交点 问题。.25 解：3()(31)xH xaxaxe由题意得3332()(31)(31)(3331)xxxH xaxaxeaxaxeaxaxaxae由导数公式得 ()函数极值点为其导函数的零点()(0,2)H x函数在上有极大值和极小值()(0,2)H x得导函数在上有两个不同的根32(0,2)(3331)0 xaxaxaxae即在上0 xe 3233310axaxaxa 即可0(=010)aa又若“”(0)对于参数是否能为 是讨论过程中一个很重要的部分32(33310)ax

24、axaxa 上面已得出即可，那么下一步进行参变分离321333xxxa则得：32()333(0,2)h xxxxx令，.26 1()(0,2)h xaa转化为求函数与在上有两个交点时 的范围问题，而此类问题通常需要讨论新函数的单调区间并算出最值由导数公式得2()363h xxx24()2bbaca 对于不能因式分解的式子我们使用求根公式算出方程根()01212()01212h xxxh xx 令或令(0,2)()(0,12)(12,2)12(21)24 2(0)=3,(2)11xh xxhhh 又函数在上单调递减，在上单调递增当时取最小值为且得1()yh xya 函数与有两个交点.27 124

25、 234 2211434 22 1(,)143aaa 得综上所述，实数 的取值范围为()(0,2)()H xh x点评：本题所体现的转化思想则是通过“使得在上既有极大 值点又有极小值点”转化成求参变分离后得到的新函数的 与参数的交点问题。对于一道一时不能上手的题我们可以将题 中的一些已知条件进行“翻译”，充分理解其意思，找到突破 口，转化解题方向。.28九、绝对值前n项和 24*1624.()nnnnaSnSSanTnN 已知等差数列中，记是它的前 项和，若，求数列的前 项和na分析：由题意可知数列会有负数项，那么首先求出通项公式，再找出 正数与负数分解的点，即在第几项开始分解，分情况利用公式

26、即可。解：na数列为等差数列1(1)2nn nSnad21216Sad412312Sad192ad 联立得*=11 2.()nnaan nN数列的通项公式为.29 ()算出公差后发现这是一个递减数列，所以我们要找到正数与负数的分界点，如果数列没有0这一项，那么我们找出前多少项都为正数11021102nnanan令得令得*11=5.52nN且na数列的前五项全为正数，从第六项起为负数15n当 时2112()102nnnn aaTaaann(1,2,3,4,515)nnnann这里不要误认为是求前五项的和，这里的 是限定了范围的，没有确定，有可能等于中的任意一个数，而当从第六项起数列为负数，所以我们要求出满足 的前 项和.30 6n当 时12345678nnTaaaaaaaaa6(15)nnnaa这一步将前五项和求出，而上一步我们已经求出了当 时的前 项和的表达式。从第六项起每一项为负数，那么我们可以把符号提取出来，这样从到又构成了一个新的数列555222()22(10 55)(1025)1050nnSSSSSnnnn 5678()nnTSaaaa综上所述：nT 21050nn210nn*15nnN 且*6nnN 且