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1、书之香教育授课老师：刘小东二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程之间的联系1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；例：二次函数232与x轴有无交点?若有，
2、请说出交点坐标；若没有，请说明理由: 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .二次函数与一元二次方程的关系：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程 与轴有 个交点 0，方程有 的实数根是 .与轴有 个交点这个交点是 点 0，方程有 的实数根是 .与轴有 个交点 0，方程 实数根.二次函数与轴交点坐标是 .【例1】已知：关于的方程求证：取任何实数时，方程总
3、有实数根；若二次函数的图象关于轴对称求二次函数的解析式；已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；在条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式【例2】关于的一元二次方程.（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0
4、是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值【例4】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 【例5】已知二次函数（1）求证：当时，二次函数的图像与轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与轴交点为，顶点为
5、，且的面积为，求此二次函数的函数表达式【例6】已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；（3）在抛物线上是否存在着点，使面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由课堂练习：1. 抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为2. 函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）0个1个2个1个或2个3. 关于二次函数的图像有下列命题：当时，函数的图像经过原点；当，且函数的图像开口向下时，方程必有两个不相等的实根；函数图像最高点的纵坐标是；当时，函数的图像关于轴对称其中正确命题的个数是（）1个2个3个4个4. 关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时5. 抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位6. 关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）且且7. 已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是，求和的值8. 已知函数（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式9. 下图是二次函数的图像，与轴交于，两点，与轴交于点（1）根据图像确定，的符号，并说明理由；（2）如果点的坐标为，求这个二次函数的函数表达式6
二次函数与一元二次方程课件
