数值分析试题及答案汇总

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1、、填空题(2 0X2)数值分析试题1.2 设x=0.231是精确值x * =0。229的近似值，则x有位有效数字.2. 若f(x)=x7x3+1,则 f20, 21,22, 23,24,25, 26, 27= , f 20,21, 22,23,24, 25,26,27,28 =0。3. 设，II A II 严 ,11 X II 一一=.3,II AX II =_15。4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足 Wx)丨1 ，则 使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的.5. 区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a, b上具有直到2阶的连续导数。6. 当插值节点为等距分布

2、时,若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式 的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式 .7. 拉格朗日插值公式中fx/的系数az.(x)的特点是：a (x) = _L；所i=0以当系数 a. (x)满足az (x)1,计算时不会放大f(x.)的误差。8. 要使、.2T的近似值的相对误差小于0。1 %,至少要取 4位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0, 1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是.10. 由

3、下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00。511。522.5y=f (x)2-1。75-10。2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差rz (i=0, 1,，n)来实现的，其中的残差肯，(匸0，1，n)。13. 在非线性方程fx)=O使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为.14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题(10X1)1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b定可以使用高斯消元法求解。(X )2、解非线性方程f ( x)=0的牛

4、顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。(V )3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式兰aij j=1 ji(i = 1,2,n)则解线性方程组AX = b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。(X)4、样条插值一种分段插值.( V )5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( V )6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差 及舍入误差。(V)7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b。( X )8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步 迭代计算的舍入误差。(X)9、数值计算中的总误

5、差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。(V ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。三、计算题(5X10)1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x - x + x = 41235 x 4 x + 3 x = 121232 x + x + x = 11 123解答：1，5，2）最大元 5 在第二行，交换第一与第二行:5 x 4 x + 3 x = 12123x - x + x = 41232 x + x + x = 11123L21=1/5=0。 2， l31=2/5=0.4 方程化为:5 x 4 x + 3 x = 121230.2 x + 0.4 x

6、 = 1.6232.6x 0.2x =15.8230.2,2。6）最大元在第三行，交换第二与第三行：5 x 4 x + 3 x = 121232.6x 0.2x = 15.82302 x + 0.4 x = 1.623L32=-0。2/2。6=0.076923，方程化为:5 x 4 x + 3 x = -121232.6x - 0.2x = 15.8230.38462x = -0.38466回代得：3x = 3.000051x = 5.999992x = -1.0001032、用牛顿-埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4（x），并写出 其截断误差的表达式（设fx）在插值区间

7、上具有直到五阶连续导数）。xi012解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1F xi。xi+1。xi+2Fxi, xi+1, xi+2, xi+3Fxi ,xi+1,xi+2,xi+3,xi+40111-21113234302351-2-1P4(x)=12x3x(x-1)x(x1)(x1)(x-2)f(xi)1f (xi)-1315R4 (x)=f(5) (/5!x (x-1) (x1) (x-2) (x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯-赛德 尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯 -赛德尔迭代法的 迭代公式，并简单说明收敛

8、的理由。”2 x 一 x +x = 1124x - x + 5 x = 6134x + 4 x 一 x = 8234一 x + 3 x 一 x = 3123解答： 交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:”2x x +x = 1124一 x + 3 x 一 x = 3123x + 4 x 一 x = 8234x 一 x + 5 x = 6134雅克比迭代公式：”2x x +x = 1124-x + 3 x - x = 3123x + 4 x - x = 8234x - x + 5 x = 6134计算机数学基础(2)数值分析试题1。x|(C) 0。5X10s+1-1(D) 0。的绝对误

9、差| x*-5X10 s+t_ 2-100 -5210-12-10，(B)14100-12-1114100-120012)A)一、单项选择题(每小题 3分,共 15分)已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x=0.0a1a2anX 10s(a10) )(A) 0.5X10 s-1-t(B) 0.5X 10 s-t2。 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为(3. 过52-10 -421142-1(D)141021412-14100121315C)4),(3,1)点的分段线性插值函数 P(x)=(1)，0，(2，A)3 x+1 2一 3x +10B) i-3 x 2 +102x3C)3x -10 x

10、2 23x +10 2 x 30x22x34。等距二点的求导公式是(A)广(x ) = ；(-ykhkf(x ) = ； (y k+1 h k+ yk+1)(B) i- yk+1)广(x ) =1( y - y ) k h kf( x ) = y (y - y ) k+1 h k k+1k+1k+1k+1(C)5。+yk J广(x ) = ； (y- y)k+1hk+1kD)解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是k+1那么y,y分别为().pcA)y 二 y + hf (x , y )pkk ky 二 y + hf (x , y )ckk +1 ky 二 y + f (x , y )

11、pkkky 二 y + f (x , y )ckkpyp=y+ hf ( x , y )(B)pkk +1kyy+ hf ( x , y )ckkpyp=y+ hf ( x , y )( D)pkkkycyk+ hf ( x , y )k +1p二、填空题(每小题3分，共15分)6。 设近似值 x1，x2 满足(x1)=0。05,(x2)=0.005,那么 (x1x2)=.7。三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,8。牛顿一科茨求积公式Af (x)dx沁a工 A f (x )，则 Ak kkk=0k=01,2, .,n，且满足S (x)

12、在每个子区间xk，xk+1上是9。 解方程f (x) =0的简单迭代法的迭代函数甲(x)满足在有根区间内，则在有根 区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值：y = y + hf (x , y )，校正值：y =.k+1kk kk+1三、计算题(每小题15分,共60分)11。用简单迭代法求线性方程组8 x 一 3 x + 2x = 20123 4x + 11x + x = 331236 x + 3 x +12 x = 36123的X(3).取初始值(0,0,0) T,计算过程保留4位小数.12。 已知函数值f (0) =6, f(1

13、)=10/(3) =46f (4) =82f (6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3, 4,6)和二阶均差 f(4， 1,3)13。将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分J /1 + x2dx，计算过程保留4位小数.114。用牛顿法求、市的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题(本题 10分)15。证明求常微分方程初值问题y = f (x, y) y(x ) = y00在等距节点a=x0x,x=b处的数值解近似值的梯形公式为01nhy(xk+yk+i=yk+2 张心对 比+心+1) 其中 h=xk+xk(k=O, 1, 2,n1)计算机数学基础（2）数值

14、分析试题答案一、单项选择题（每小题 3分,共15分）I。 A 2。 B3。 A 4. B 5。 D二、填空题（每小题3分,共15分）6。0。 05| x2| +0。 005| x1|7。3 次多项式h-yk+ /（x , y ） + /（x , y ） hf（xk（， y ） k 2k kk +1 k +1k1k+1三、计算题（每小题15分,共 60分）II. 写出迭代格式8。 b a9.|(x) | r (17。5。10。X(0)=( 0, 0,x1 x2x3x (k+1)1 x (k+1)2x (k+1)30)T.=0+0.375x00.25x0+2.5=2.5=0 + 0.375x (k

15、) 0.25 x (k)+ 2.523=0.363 6x(k)+ 0 + 0.090 9x(k)+ 313=0.5 x(k) 0.25 x(k)+ 0 + 312= 0.363 6 x 0 + 0 + 0.090 9 x 0 + 3 = 3=0.5 x 0 0.25 x 0 + 0 + 3 = 3得到X=(2.5, 3, 3) t=0+0.375x30.25x3+2.5=2.875x1 x(2)2X3=0.363 6 x 2.5 + 0 + 0.090 9 x 3 + 3 = 2.363 7=0.5 x 2.5 0.25 x 3 + 0 + 3 = 1.000 0得到 X(2)=(2。 875

16、, 2.363 7, 1.000 0) T=0+0.375x2.36370.25x1+2.5=3.1364X1 X(3)2X3=0.363 6 x 2.875 + 0 + 0.090 9 x 1 + 3 = 2.045 6=0.5 x 2.875 0.25 x 2.363 7 + 0 + 3 = 0.9716得到 X（3）=（3.136 4, 2。045 6, 0.971 6）t。12. 计算均差列给出xkf（xk）一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f (0,1,3, 4,6) =15f(4, 1, 3)=6

17、13.f (x)=/l + x2，力二 = 0.25 .分点工0=1.0叫=1.25, x2=1.5, x3=1.75,x4=2o 0, x5=2.25, x6=2。50， x =2。 75， x =3。 0。 78函数值：f(l.o) =1o 414 2, f(1.25)=1o 600 8, f(1o 5) =1.802 8J(1.75) =2.015 6, f (2.0) =2。236 1, f(2o 25) =2.462 2, f(2o 50) =2.692 6,f(2.75)=2.926 2, f(3.0) =3o 162 3.j3 f (x)dx 二 h f (x ) + f (x

18、)1 2 0 8+ 2(f (x ) + f (x ) + f (x ) + f (x ) + f (x ) + f (x ) + f (x ) (9 分)12345670.25=- X 1.414 2+3.162 3+2X(1o 600 8+1。802 8+2.015 6+2。 236 1+2.462 2+2.692 6+2。 926 2) =0.125X(4.576 5+2X15。 736 3) =4.506 114。设 x 为所求,即求 x2115=0 的正根. f(x) =x2115.因为f(x) =2x, f(x) =2, /(lOf (10) =(100-115)X2Of (Ilf

19、 (11)=(121 115)X20 取 x0=11.有迭代公式k+1f (x )k f(x ) k=xkx 2 115 x115k= k +2 x2 2xkkk=0, 1 , 2, )11115x =1122x11= 10。727 310.727 3x =+x221152 x 10.727 3=10.723 810.7238+1152 x 10.723 8= 10。 723 8x-10.723 8四、证明题（本题 10分）15o在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边关于x积分，得y(xk+1)y (xk)=j 叫+1 f (x, y(x)dx用求积梯形公式,有hy （xk+i）y 比）=尹

20、*，匕）+ fU，y（xk+i）将 y(xk), y(xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到hy(xk+i)讥+刊+Lf(syk)+f(xk+i,yk+i)(k=0,1, 2,.丿数值分析期末试题一、填空题(2 x 10 = 20 分)(1)设 A =1一2351一8一202，则国13(2)对于方程组v2 x 一 5 x = 11210x 一 4x = 312Jacobi迭代法的迭代矩阵是bj =0 2.52.5 0(3) 3匚*的相对误差约是x*的相对误差的扌倍.求方程x = f (x)根的牛顿迭代公式是九=xn -n(5)设 f (x) = x3 + x 一 1，则差商 f 0,1,2,

21、3 = _1设nxn矩阵G的特征值是九,九，九，则矩阵G的谱半径p(G) = max |九。1 2n1MiMn (7)已知A =1201，则条件数Cond (A) = _98(8)为了提高数值计算精度，当正数X充分大时，应将ln(x -、；x2 一 1)改写为一 ln(x + 42 +1)。(9) n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n -1次。(10)拟合三点(x , f (x ), (x , f (x )，(x , f (x )的水平直线是y =1 f (x )。1122333ii=1、(10分)证明：方程组V2 x 一 x + x = 1 123x + x + x = 1使用J

22、acobi迭代法求解不收敛性。 123x + x 一 2x = 1123证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为0一10.50.500.5一0.5一10bj的特征多项式为det(X! - B )=九1-0.5一 0.5九一 0.50.51 =九(九 2 +1.25)九巴的特征值为入1 = 0，厂诵,3 =一扛诵，故卩(bj ) f125 】，因而迭代法不收敛性。三、(10 分)定义内积(f, g) = !1 f (x)g( x)dx0试在H = Span&,x中寻求对于f (x) = jx的最佳平方逼近元素p(x)。解：9 (x)三 1,9 (x)三 x,01x 2dx = , (9 , f) =

23、 xdx =,303(9o叭)=J00d=1，(9-，9o)=J1 如=，(9-，9-)=J(9法方程1 -21 -31 1-2c0c12325解得。= 4，h = 12。所求的最佳平方逼近元素为p(x)=412+ x1515四、(10 分)给定数据表x-2-1012y0。10。10.40。91。6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解：y(x) = c + c x + C x 2 + C x 301231-24-8_ 501001-11-10100341000, ATA =100340111103401301248A=法方程AT y = (2.9,4.2,7,14.4)TAT Ac =

24、AT y的解为 c = 0.4086， c = 0.39167， c = 0.0857， c = 0.008330123得到三次多项式y( x) = 0.4086 + 0.39167x + 0.0857x 2 + 0.00833x 3误差平方和为b = 0.0001943五。 (10 分) 依据如下函数值表x0124f (x)19233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f (2.2)，并在假设f (4)(x) 1下, 估计计算误差.解:先计算插值基函数(x 一 1)( x - 2)( x - 4)177,l (x) = x3 + x2 x + 10(0 -1)(0 - 2)(

25、0 - 4)884l1(x)=汇器靛=3 x 3 - 2 x 2 + 8 xl2(x)=2(x - 0)(x -1)(x - 4)(2 - 0)(2 -1)(2 - 4)15=x 3 + x 2 - x44l3(x)=屮)= /(x 1(x) =10(x)+9l(x)+23l (x)+3l (x)=123i=011451x 3 +x 2 - x + 1442从而(x - 0)(x -1)(x - 2)=丄 丫 3 -1 x 2 + 丄 x (4 - 0)(4 -1)(4 - 2)24812所求 Lagrange 插值多项式为f (2.2) L (2.2) = 25.0683。3据误差公式 R

26、(x) = f $)(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )及假设 f (4)(x) 1 得误差 34!01231估计：,f (g )|1R (x)| =_|(22 - 0)(2.2 -1)(2.2 - 2)(2.2 - 4)| + x 0.9504 = 0.039634!4!六. (10 分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组_1 0 2 0_x_ 5_10 10 1x2=_ 3 _12 4 3x_17_3_0 1 0 3_x4_ 7 _解设102010101l1=211243ll3132_0103_l41l421 0 2 0uuu2223241uu_II33l1_34

27、_u4344由矩阵乘法可求出u和lij ij 11l10121=ll11231321_l1-ll1_010 1_41 42 431 020 _1020_uuu_101_222324 _=uu_21_3334_uzfl/fl 2_44解下三角方程组01121010有1 = 5, y = 3，y3 = 6,J2 exdx1y = 4 .再解上三角方程组41 0 2 0_x1 0 1_1 _x32=2 1_6x_ 2_3 _x4_4_得原方程组的解为兀1 =1,x = 1，x3 = 2，x4 = 2。七. （10 分） 试用 Simpson 公式计算积分J2 e xdx1 的近似值， 并估计截断误差

28、.解：L 1(e + 4e 1.5 + e 2) = 2.0263=(丄+兰+色+兰)e Xx 8x 7x 6 x 5max f (x)| = f(4)(1) = 198.431 x2截断误差为R | (；805 max| f x) = 006890x x八。(10分)用Newton法求方程x lnx = 2在区间(2,8)内的根，要求 k-1 10-8.x k解：此方程在区间(2,8)内只有一个根s，而且在区间(2, 4)内。设f ( x ) = x ln x 211则八x) =1 - x厂=石Newton 法迭代公式为k = 0,1,2,x ln x 一 2 x (1 + ln x )x

29、= x kk = kk-k+1k1x 11kxk取 x = 3，得 s x = 3.146193221。 04九. ( 10 分) 给定数表x1012f (x)10141615f(x)10.1求次数不高于5的多项式H5(x)，使其满足条件H (x ) = f (x ), i = 0,1,2,35 iiH(x ) = f (x ), i = 0,25 ii其中 x = 1 + i, i = 0,1,2,3。i解：先建立满足条件p3(x)= f(x )， i =0,1,2,33i的三次插值多项式P (x).采用Newton插值多项式3p (x) = f (x ) + f lx , x lx x )

30、 + f L , x , x lx x )(x x ) +3001001201x )(xx )(xx )012flx0,x1,x2,x30123=10 + 4(x +1)- (x +1)x - i(x +1)x(x -1)=14 +19 x6再设 H (x) p (x) + (ax + b)(x +1)x(x 一 1)(x 一 2)，由53H (-1) p (-1) + (-a + b)(-6) 1 53H -(1) p *(1) + (a + b)(-2) 0.153.11一 a + b =8 a + b = 1760解得a =-昱,b - 161360360故所求的插值多项式1X 3 +6(161 59x)x(x 2 一 1)(x 一 2)H (x) = 14 +19 x - x 256