决策分析讲义(2)

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1、决策分析Decision Analysis课程要求：1、听课不用记笔记。不点名。2、作业全部做成电子文档，用Email递交，作业记成绩，占课程成绩的30。3、考试闭卷。卷面成绩占课程成绩的70。教师信息：管理学院 蒋绍忠电子邮件：办公室：玉泉校区行政楼319办公电话：87952181第二部分多目标决策v基本概念v层次分析法v目标规划第一部分不确定型和风险型决策v不确定型决策v风险型决策目 录不确定型和风险型决策q决策的定义：在一定的环境中，决策者在若干可以采取的方案中决定其中的一种并加以实施，使实施的结果对预定的目标最好。q决策的要素：v决策者：单一决策者 多个决策者（群决策）v决策环境：确定

2、性环境 不确定性环境 风险环境 v决策目标：单目标 多目标决策（Decision）和对策（Game）“决策”是具有能动性的一方决策者和变化的，但没有能动性的另一方决策环境之间的“较量”。决策环境是变化的，但这些变化和决策者的决策无关。“对策”是具有能动性的一方和同样具有能动性的另一方之间的“较量”。两方都会根据对方的决策，调整自己的行为，使结果对自己有利或使对方不利。研究对策的科学称为对策论或博弈论（Game Theory）。我国古代的“田忌赛马”就是一个对策的例子。对策最简单的例子是所谓“二人零和对策”。乙方A2B2C2甲方A16-416B1-3323C115-15D1-2434-3-4-1

3、极大极大/极小极小准则：双方都以自己获利最大为准则。甲：Maxmax(6,-4,1),max(-3,3,2),max(1,5,-1),max(-2,4,3)=Max6,3,1,4=6乙：Minmin(6,-3,1,-2),min(-4,3,5,4),min(1,2,-1,3)=Min-3,-4,-1=-4A1B2C1 C2 D1 A2 A1不存在稳态解。乙方A2B2C2甲方A16-41-4B1-332-3C115-1-1D1-243-2653极小极大准则：双方都以自己可能遭遇的各种最坏情况下争取最好结果为准则。甲：Maxmin(6,-4,1),min(-3,3,2),min(1,5,-1),m

4、in(-2,4,3)=Max-4,-3,-1,-2=-1乙：Minmax(6,-3,1,-2),max(-4,3,5,4),max(1,2,-1,3)=Min6,5,3=3稳态解为C1-C2。确定环境下的决策运筹学中线性规划、非线性规划和动态规划都是确定环境下的决策方法不确定环境下的决策 决策者面临的决策环境由一些自然状态组成，决策者可以采取若干决策方案，每一种决策方案在不同的自然状态下出现的结果是已知的，但决策者不能预先估计各种自然状态出现的概率。不确定决策的几种准则：v悲观准则v乐观准则v等可能性准则v乐观系数准则v后悔值准则悲观准则：最坏的情况下争取最好的结果例1.某工厂决定投产一种新产

5、品。投产以后销售情况有好、中等、差三种可能，但厂家目前无法估计这三种情况出现的概率。产品的生产批量有大中小三种选择。不同的生产批量在不同的市场销售情况下企业的收益如下表：收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3MinMax(min)大批量（S1）500300-250-250100中批量（S2）3002008080小批量（S3）200150100100*按照这个准则，最优决策是小批量生产收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3Max Max(max)大批量（S1）500300250500*500中批量（S2）30020080300小批量（S3）200150100200乐观准则：最好的情况下争

6、取最好的结果按照这个准则，最优决策是大批量生产讨论：你认为悲观和乐观的决策准则在实际决策问题可行吗？有那些不足？悲观准则和乐观准则都假定，决策环境是不确定的，而不确定的决策环境中可能出现的各种状态的可能性是不可知的或不可度量的。如果这些状态出现的可能性是可以度量的，决策问题就转变成为风险型决策。收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值最大期望值概 率（pi）1/31/31/3大批量（S1）500300250183.33193.33中批量（S2）30020080193.33*小批量（S3）200150100150.00等可能性准则：假设等可能性条件下，期望值最大按照这个准则，最优决策是中

7、批量生产乐观系数准则：乐观系数（01）)N,S(min)1()N,S(maxCVjijjiji收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300250275*中批量（S2）30020080234小批量（S3）200150100170对于0.7（1 ）0.3最优决策为大批量生产CV10.7max(500,300,-250)+0.3min(500,300,-250)=350-75=275CV2=0.7max(300,200,80)+0.3min(300,200,80)=210+24=234CV3=0.7max(200,150,100)+0.3(200,150,100)=14

8、0+30=170对于0.5（1 ）0.5收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3CVi大批量（S1）500300250125中批量（S2）30020080190*小批量（S3）200150100150最优决策为中批量生产CV10.5max(500,300,-250)+0.5min(500,300,-250)=250-125=125CV2=0.5max(300,200,80)+0.5min(300,200,80)=150+40=190CV3=0.5max(200,150,100)+0.5(200,150,100)=100+50=150对于0.3（1 ）0.7收益（万元）需求大N1需求中N2需求

9、小N3CVi大批量（S1）50030025025中批量（S2）30020080146*小批量（S3）200150100130最优决策为中批量生产CV10.3max(500,300,-250)+0.7min(500,300,-250)=150-175=-25CV2=0.3max(300,200,80)+0.7min(300,200,80)=90+56=146CV3=0.3max(200,150,100)+0.7(200,150,100)=60+70=130后悔值准则：以最大后悔值中的最小的为最优决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3大批量（S1）500300250中批量（S2）30020

10、080小批量（S3）200150100Max(Si,Nj)500300100收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3Max(Si,Nj)大批量（S1）00350350中批量（S2）20010020200*小批量（S3）3001500300后悔值矩阵风险型决策最大可能决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3概 率（pi）0.10.20.7大批量（S1）500300250中批量（S2）30020080小批量（S3）200150100*100最大可能为需求小，按最大可能考虑，应采用小批量生产。最大可能决策用于一种状态的可能性明显大于其它状态时，如果几种状态发生的概率相差不大，则不适用。决策者

11、能预先估计决策环境中各种自然状态出现的概率。期望值决策收益（万元）需求大N1需求中N2需求小N3期望值概 率（pi）0.10.20.7大批量（S1）50030025065中批量（S2）30020080126*小批量（S3）200150100120选择期望值最大的决策为最优决策中批量的决策为最优决策。决策树确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2

12、(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100决策节点概率节点收益-65126120126多层决策树确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1 P(N1)=0.1 N2 P(N1)=0.2 N3 P(N1)=0.7N1 P(N1)=0.1 N2 P(N1)=0.2 N3 P(N1)=0.7 N1 P(N1)=0.1 N2 P(N1)=0.2 N3 P(N1)=0.7 50030030020080200150100129.6126120技术改造S4S5局部改造彻底改造成功 P=0.8失败 P=0.2成功 P=0.6失败

13、P=0.4500-6001000-900280240280129.6完备信息的价值如果有一个市场预测专家，他不能改变这种产品的市场销售状况的概率分布，但他能完全精确地预测这种产品的市场销售状况。这样的信息称为完备信息。这样的信息的期望收益称为完备信息的期望收益。完备信息的期望收益显然要高于不具有完备信息的期望收益。两者之差称为完备信息的价值。确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N

14、1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100-65126120126500300100完备信息的期望值为：0.15000.23000.7100180万元完备信息的价值为：18012654万元S1确定批量确定批量确定批量需求量大（0.1）需求量中（0.2）需求量小（0.7）大批量中批量小批量大批量中批量小批量大批量中批量小批量500300200300200150-25080100100300500180风险决策的效用理论以上的风险决策方法是建立在以方案的期望值大小作为决策准则的基础

15、上的。但在实际生活中，经常发生实际的决策行为并不遵从期望值准则的情况。例如，对于以下几种情况，要求决策这选择其中对自己最有利的一种：抛一枚硬币，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元A抛一枚硬币，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元B直接获取200元C这三个方案的收益期望值都是200，但决策者对它们的偏好显然是不同的。我们用“效用（Utility）”来表示带有风险的收益对决策者的价值。效用函数的确定由于不同的决策者对风险的态度不同，同样的决策方案，对不同的决策者效用值是不同的。在各种方案中，收益的最大值的效用为1，收益的最小值（损失的最大值）的效用为0。例如在上例中，u(1

16、000)=1，u(-600)0。如果决策者认为C方案必A方案好，说明u(200)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5如果将C方案中的200元降为100元，仍有u(100)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5.u(0)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5.u(-100)0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5.u(-50)u(B)u(A)u(C)=u(200)=0.75决策者2：u(A)=0.5u(1000)+0.5u(-600)=0.5 u(B)=0.5u(600)+0.5u(-200)=0.2 u(A)u(B)u(C)u(C)=u(200)

17、=0.15 决策者1：u(1000)=1，u(600)=0.85，u(200)=0.75，u(-200)=0.4，u(-600)=0决策者2：u(1000)=1，u(600)=0.3，u(200)=0.15，u(-200)=0.1，u(-600)=0应用期望效用准则的决策树方法确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.

18、2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100-651261201265004003002001000-100-200-2501决策者1决策者2收益50030020015010080250效用11.00.80.780.750.720.70.0效用21.00.50.40.350.320.30.0确定批量S1S3S2大批量中批量小批量N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 N1

19、(需求量大)P(N1)=0.1 N2(需求量中)P(N1)=0.2 N3(需求量小)P(N1)=0.7 500300-25030020080200150100-65 0.26 0.20126 0.72 0.34120 0.73 0.331261.00.800.80.780.70.780.750.721.00.500.50.40.30.40.350.32期望值 决策者1的效用期望 决策者2的效用期望收益效用1效用2如果洪水强度在水坝设计标准以内，不会造成任何损失，而且只要在设计标准以内，洪水越大，蓄水、发电等效益越显著。如果洪水强度超过设计标准，不仅将危及大坝安全，还会对下游人民生命财产造成巨大

20、损失，高程越高，损失越大。不同高程的水坝，遇到不同强度的洪水，效益和损失（千万元）如下表所示：在一条河流上计划建造一座水电站，水坝的高程有50米，80米和100米三种方案。三种高程的水坝分别可以抵御20年一遇（即发生概率为0.05）、50年一遇（即发生概率为0.02）和100年一遇（发生概率为0.01）的洪水。水坝高程洪水强度发生概率50米80米100米小于20年一遇0.90587620年一遇0.0520151050年一遇0.026200180100年一遇0.011530500大于100年一遇0.01520100200损益期望值7.679.28511.53以损益期望值为评价指标，100米高层为

21、最优决策益损值-200-100-30-20-15-667效用0.00.50.70.710.720.730.740.75益损值8101520180200500效用0.760.770.780.80.930.951.0-200 -100 0 100 200 300 400 5001.00.80.60.40.20.0益损值-200-100-30-20-15-667效用0.000.500.700.710.720.730.740.75益损值8101520180200500效用0.760.770.780.800.930.951.00 水坝高程洪水强度发生概率50米80米100米小于20年一遇0.9050.7

22、60.750.7420年一遇0.050.800.780.7750年一遇0.020.730.950.93100年一遇0.010.720.701.00大于100年一遇0.0150.710.500.00损益期望值0.7600.7510.737以效用期望值为评价指标，50米高层为最优决策有一个风险投资的机会，成功和失败的概率都是0.5。投资1元，如果成功可以得到1.6元的利润，即资本成为2.6元。如果失败，则损失1元，即资本成为0。开始的资本为100万元。投资的次数和每次投资额不限。为了不至于把钱输光，投资者采取如下的策略：每次总是将资本的一半去投资。问题：这项投资的结局如何，是一本万利，还是一贫如洗

23、？问题1：风险决策的一个讨论题答案1：设初始资本为a元，资本增值率K=1.6第一次投资a/2元如果成功，资本为a1=a+K（a/2）=(1+K/2)a如果失败，资本为a1=0.5a第一次投资后的期望资本为：E1=0.5(1+K/2)a+0.50.5a=(0.75+0.25K)a第二次投资(0.75+0.25K)a/2如果成功，资本为a2=(0.75+0.25K)a+K(0.75+0.25K)a/2 =(0.75+0.25K)a(1+K/2)如果失败，资本为 a2=(0.75+0.25K)a/2第二次投资后的期望资本为 E2=0.5(0.75+0.25K)a(1+K/2)0.5(0.75+0.2

24、5K)a/2 (0.75+0.25K)(0.75+0.25K)a=(0.75+0.25K)2 a依次类推，第n次投资以后的期望资本为En=(0.75+0.25K)n a用K=1.6,代入 En=(1.15)n a即随着投资次数的增加，期望资本会无限增大。是一项一本万利的生意。答案2：设投资2n次，其中成功和失败各占n次第一次投资成功资本成为a1=a+1.6a/2=1.8a第二次投资又成功，资本a2=1.8a+1.61.8a/2=1.82a.第n次成功，资本成为an=(1.8)na第1次失败，资本成为 an1=0.5(1.8)na第n次失败，资本成为 a2n=(0.5)n(1.8)na=(0.9

25、)na 随着投资次数的增加，资本将减少到0。投资的结果将血本无归。讨论题：当投资次数无限增大时，投资者的资本究竟是“一本万利”还是“血本无归”？错的答案错在哪里？例一 风险投资的计算机模拟实验1、建立一张Excel表，模拟投资次数设定为100次。当前资本为100万元。第二次投资前的资本（B5）等于第一次投资后的资本（E4），依次定义每次投资前的资本为上一次投资后的资本。2、对每一次模拟投资，设置一个在0，1区间均匀分布的随机变量。按功能键F9，所有随机变量会重新产生一次。3、定义投资成功与否。如果相应的随机变量小于0.5，投资失败（D4=0），否则投资成功（D4=1）。由于随机变量在区间0,1

26、中是均匀分布的，因此投资成功河失败的次数各占一半。4、计算投资后的资本。按F9键，刷新随机数，进行新的100次模拟投资实验。5、用图形表示100次模拟投资实验中资本变化。按F9键，刷新随机数，可以得到新的资本变化图形。例二 回收带有随机性的风险投资模拟实验一项长期风险投资，初期投资100万元，分四年回收。利率r=5。每年投资回报是随机的，服从正态分布期望值和方差如下表：年份1234期望值（万元）40302520标准差（万元）2345求这个项目的平均净现值和内部回收率1234IR1R2R3R4投资净现值TtttrRINPV1)1(内部回收率 IRR：使NPV=0的利率NPVrIRR随着利率r的增

27、加，NPV随之下降，NPV降到0时的利率就是内部回收率IRR演示第一次作业有一项长期投资，分三年投入，投资额是确定的，回收额是随机的，服从正态分布。投资贴现率为5。每年需要投入的资金以及预计前五年的投资回报额的期望值和标准差如下表所示：年 份012345投资当年值（万元）305020回收期望值（万元）1520303510回收标准差（万元）22.53.03.54.0用随机模拟的方法求这个项目的平均净现值和内部回收率存储问题 存储是一种常见的现象。无论社会经济系统、环境生态系统、生物生命系统，普遍存在存储现象。q流水生产线工位上的在制品堆栈在制品存储q火力发电厂的燃煤堆场原料存储q海洋、湖泊在调节

28、大气环流中的作用能量存储q人体内部的脂肪能量存储存储的作用q系统和环境中间形成缓冲，防止和减少环境变化对系统运行的影响q系统内部各部分之间形成缓冲，起到各部分之间的解耦，提高系统的可靠性和稳定性q提高存储量和存储成本，降低系统中各部件的可靠性成本和系统的运行成本存储模型设有一个仓库，存放某种物品。每件物品在仓库中存放一天的费用为c（元/件天），这种物品每天的需求量为dt，需求量dt可以是一个常数，也可以是随机变量。根据需求，每天从该仓库提取相应数量的物品。期初仓库中物品的数量为Q，随着每天提货，库存量不断减少。为了不断满足需求，需要经常补充物品。每次补充物品的数量为R，补充数量R可以是一个常数

29、，也可以是一个变数。每补充一次物品的费用为cs是一个常数，与补充物品的数量无关。每两次补充之间的时间间隔为T，补充时间间隔可以是常数，也可以是变数。假定一次补充需要的时间很短，可以忽略不计。当库存量减少到0，如果还不补充，需求就不能满足，这样就形成缺货。缺货可以用负的库存表示。下一次补充时，已形成的缺货可以补给，也可以不给。缺货会造成缺货损失，一件缺货每天的损失为s，一般情况下，缺货损失要比正常库存费用大。该存储系统的总费用由库存费用、补充费用和缺货损失三部分组成。存储模型的分类按需求类型分q确定性需求q随机性需求按补充周期分q定期补充：补充周期为tq不定期补充：设立最低库存L(Low)，实际

30、库存等于或低于最低库存，立即补充按补充数量分q定值补充：无论补充时库存量还有多少，每次补充到一个库存的最高值H(High)q等值补充：无论补充时库存量还有多少，每次补充一个设定值R(Refreshment)t定期等值补充（不允许缺货）TTTRRt定期等值补充（允许缺货）TTTRRt定期定值补充（允许缺货）TTTHHtTTT定期定值补充（不允许缺货）Ht不定期定值补充（不允许缺货）Lt不定期定值补充（允许缺货）HL不定期等值补充（不允许缺货）tRLRt不定期等值补充（允许缺货）RLR确定性库存模型确定性库存模型的基本假设：q每天的需求量是一个常数d，每件物品每天的存储费用为cq不允许缺货，存储量

31、降到0，立即补充。补充瞬时完成。q每次补充数量相等为Q。每次补充费用为Cs，两次补充的时间间隔相等设为T。QTQTQ=Td0，T内平均存储量0，T内存储费用=0，T内总费用：0，T内平均费用：补充周期T变化，使平均费用最小，即最优补充周期：最优补充批量（经济批量）：QT212cdT21cQT212scdT21C)T(CcdT21TC)T(Cs0dT)T(Cd0cd21TC2scdC2TscdC2TdQs存储问题经济批量的模拟模型（见“库存补充策略”）第二次作业：用Excel建立库存随机模拟模型1、建立确定性存储模型，其中补充批量Q=200，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs20元/次，需求量

32、d=10件/天，不允许缺货，存储量为0时立即将存储量补充到Q。用模拟方法求使总费用最小的经济批量。2、建立随机性存储模型，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs20元/次，需求量d服从正态分布，期望值为10元/天，标准差为2件/天，不允许缺货，存储量为0时立即补充到Q200件。用模拟方法求使总费用最小的经济批量Q。模拟时间为50天。3、建立随机性存储模型，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs20元/次，需求量d服从正态分布，期望值为10元/天，标准差为2件/天，不允许缺货，存储量小于或等于10件时立即补充Q100件。用模拟方法求使总费用最小的经济批量Q。模拟时间为50天。多目标决策多目标决策的基

33、本概念设决策方案X的集合为，每一个决策X 都有K个目标值全为极小化目标，记为minf1(X)，f2(X)，fk(X)如果有两个决策X1、X2，第一个决策的K个目标都小于第二个决策相应的K个目标，即f1(X1)f1(X2)，f2(X1)f2(X2)，fk(X1)fi(X*)则称X*为一个Pareto解（也称为非劣解、有效解）如果有一个以上的Pareto解，这些Pareto解组成的集合称为Pareto集。f1(X)f2(X)f(x)xPareto 集x1x2x4x5x3图中x1、x5为劣解，x2、x3、x4为Pareto解劣解劣解Pareto解集的图解max z1=3x1+2x2max z2=-x

34、1+2x2s.t.x1+x2 6 2x1+x2 10 x1+2x2 10 x1，x20目标函数线性加权：z=1z1+2z2 01,21 1+21由图解可以看出，最优解必定是一个Pareto解。6543210123456z2z11z1+2z2多目标线性规划f1(x)f2(x)非劣解集Pareto 集多目标线性规划的Pareto解集劣解多目标决策的方法一、多目标转化为单目标1、评价函数法F(X)=Uf1(X)，f2(X)，fK(X)将多目标转化为单目标v线性加权法F(X)=1f1(X)+2f2(X)+KfK(X)其中01，2，K1，称为目标权重。例1：住房选择（决策空间是离散的）面积（m2）单价（

35、元/m2）朝向地段楼层住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进行归一化处理最理想的值为1，最不理想的值为0，将各决策方案的实际目标值转化为01之间的值。面积（m2）单价（元/m2）朝向地段楼层最好200(1.0)3000(1.0)南(1.0)甲(1.0)三层(1.0)最差75(0.0)6000(0.0)北(0.0)丁(0.0)一层(0.0)实际指标A2004800南丙四层B1805500西甲七层C1504000东乙三层归一化A1.00.4001.00.40.9B0.840.1670.41.00.6C0.600

36、.6670.70.71.0确定各目标的权重面积（m2）单价（元/m2）朝向 地段 楼层 评价值目标权重0.250.30.150.20.1住房A1.00.4001.00.40.90.690住房B0.840.1670.41.00.60.580住房C0.600.6670.70.71.00.695*住房A2004800南丙四层住房B1805500西甲七层住房C1504000东乙三层根据评价值，选择住房C是最优决策。线性加权法的缺点是各目标的权重完全由主观确定，而权重的选取对决策结果起着十分关键的作用。设目标重要性由大到小依次为：单价面积朝向地段楼层确定目标权重1+2+3+4+5=1，1 1 2 3 4

37、 50计算各方案的评价指标F(X)=4fi(X)，评价指标最高的为最优决策线性加权法的优点q方便直观，简单易行q可以利用丰富的单目标决策方法和软件缺点q权重的确定完全靠决策者主观判断q对不同量纲的目标，合成以后的目标实际意义不明层次分析法 AHP，Analysis of Hierarchy Process层次分析法是由T.L.Saaty提出的一种确定多目标决策中各目标的权重的方法，不仅在多目标决策中有重要作用，在管理以外的其它学科也有许多应用。在多目标决策中，各目标的权重对分析结果具有重要影响，但权重的确定比较困难。层次分析法的基础是目标的分层和对同一层次的各目标的重要性进行两两比较，使确定各

38、目标的权重的任务具有可操作性。v矩阵的特征向量和特征根v层次分析法的原理v单层次模型v多层次模型矩阵的特征向量和特征根设A是nn非奇异的矩阵，如果存在一个实数0和一个n1的非零向量V，满足AV=V则称V为矩阵A的特征向量，为矩阵A的一个特征根。例如有两个特征向量和相应的特征根3254A225V;111V2211222111V252410253254AVV11113254AV矩阵特征根的计算由线性代数可知，方程组 AV=V 即 (A-I)V=0有非零解的条件是系数行列式|A-I|=0。其中 I 为单位矩阵。例如展开行列式(-4-)(3-)+10=0，2 20求解二次方程，得到矩阵的特征根 11，

39、22对于高阶矩阵，用行列式计算特征根需要求解高次方程，计算比较复杂，可以采用叠代法。3254A0325410013254|IA|判断矩阵特征向量和特征根的叠代算法 任取一个初始n1向量计算133.14275.0135.125.033.015.05.067.02113/4424/3132/34/13/112/12/13/221A25.025.025.025.04/14/14/14/1W04.03.01.02.008.256.152.004.125.025.025.025.0133.14275.0135.125.033.015.05.067.021AWW01归一化为112W4.03.01.02.0

40、4.03.01.02.0133.14275.0135.125.033.015.05.067.021AWW已经收敛。因此判断矩阵的特征向量并且max=14.03.01.02.0W125.035.0412.0233.05133.025.03114/132/1415/123/1513/122/131A25.025.025.025.04/14/14/14/1W0189.0288.0265.0259.0188.1800.1665.1625.125.025.025.025.0125.035.0412.0233.05133.025.031AWW01归一化为190.0259.0297.0253.0185.16

41、15.1853.1576.1189.0288.0265.0259.0125.035.0412.0233.05133.025.031AWW12归一化为203.0254.0278.0265.0272.1584.1738.1653.1190.0259.0297.0253.0125.035.0412.0233.05133.025.031AWW23归一化为198.0266.0274.0262.0233.1652.1702.1632.1203.0254.0278.0265.0125.035.0412.0233.05133.025.031AWW34归一化为198.0266.0274.0262.0wwwwW4

42、321特征向量为问题2：是否可以编制一个用叠代法计算矩阵特征向量和特征根的小程序？求判断矩阵特征向量和特征根（近似值）的“和法”将每一列相加，得到：75.420.766.650.61433.0225.0155.032.0135.0233.01189.0287.0265.0259.011.25/75.411.25/20.711.25/66.611.25/50.6125.035.0412.0233.05133.025.03114/132/1415/123/1513/122/131A189.0287.0265.0259.0wwwwW4321特征向量为归一化问题3：求矩阵特征根还有一个近似的方法称为“

43、幂法”，自己查阅文献学会这种方法。层次分析法原理设n个物体，重量分别为w1，w2，wn，总总量将w1，w2，wn 归一化，即令归一化以后的重量满足如果已知这n个物体总量两两比较的值，能否求出它们（归一化）的重量？n1iiwWn,2,1iWwwn1iii1w,w,w01wn21n1ii设n个物体重量的两两比较判断矩阵如下例如，四个物体的重量为 w1=2，w2=1，w3=3，w4=4（公斤）它们的总重量W=10公斤，归一化的重量为四个物体两两比较的判断矩阵为nn2n1nn22212n12111w/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wA4.0w3.0w1.0w2.0w432113/44

44、24/3132/34/13/112/12/13/221AWnwwwnwnwnwnwwww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wWAn21n21n21nn2n1nn22212n12111这个矩阵具有以下特点：1、对角线上的元素aii=1 （i=1,2,n）2、以对角线对称的元素互为倒数 aij=1/aji （i,j=1,2,n）3、各物体之间的相对重量比值是一致的 aij=aik/ajk （i,j=1,2,n）4、n个物体归一化的重量组成的向量是判断矩阵的一个特征向量，对应的最大特征根max=n。因此，只要给出判断矩阵，就可以求出n个物体的归一化重量。同样，在多目标决策中，如果能给

45、出各目标重要性两两比较的判断矩阵，就可以求出这些目标（归一化）的相对重要性。设目标C由n个元素A1，A2，An组成，对这n个元素相对于目标C的重要性作两两比较，构成以下判断矩阵：其中aij=1,2,3,4,5,6,7,8,9以及1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9。这些数字的含义为：CA1A2AnA1a11a12a1nA2a21a22a2nAnan1an2annaij含义1元素 i 和元素 j 同等重要3元素 i 比元素 j 稍微重要5元素 i 比元素 j 明显重要7元素 i 比元素 j 强烈重要9元素 i 比元素 j 绝对重要与物体的重量之比不同，目标的重要性判断矩

46、阵可能是不一致的。即可能出现A1比A2重要，A2比A3重要，A3又比A1重要这样的判断。如果不一致性在一定的范围以内，判断矩阵还是有效的，不一致性超出一定的范围，判断矩阵的有效性就有问题。线性代数可以证明，判断矩阵的不一致性可以由矩阵的最大特征根max表示，当判断矩阵完全一致时，maxn，不完全一致时，maxn，max越大说明不一致性越严重。单层次分析法的步骤：1.构造组成目标各元素的重要性两两比较判断矩阵；2.求解判断矩阵的最大特征根max和相应的特征向量 ；3.判断矩阵的一致性检验。如果通过一致性检验，得到的特征向量就是各元素的权重。W一致性检验的步骤如下：1)计算一致性指标C.I.2)计

47、算平均随机一致性指标R.I.这个指标是随机产生的不同维数的判断矩阵的特征根的平均值3)计算一致性比例当C.R.0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。1nn.I.Cmax.I.R.I.C.R.Cn12345678910R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49n1112131415R.I.1.521.541.561.581.59理想的住房A单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5舒适B2经济B1便利B3建立目标的层次结构对目标A经济B1舒适B2便利B3经济B1137舒适B21/313便利B31/71/31单层分析：层次B对目标A的两两判断矩阵理想的住房A舒

48、适B2经济B1便利B3计算B-A判断矩阵的特征向量和特征根1333.0143.031333.073113/17/1313/1731A267.0740.0044.2088.0258.0654.01333.0143.031333.0731AW009.3)088.0267.0258.0740.0654.0044.2(31max归一化：各列相加：476.1333.400.11088.0258.0654.0W0018.01nn.I.Cmax52.0.I.R1.000346.0.I.R.I.C.R.C一致性检验层次C对目标B1的两两判断矩阵经济B1单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5经济单价面积楼层地

49、段朝向单价11517面积11517楼层1/51/511/53地段11519朝向1/71/71/31/91max=5.1212C.I.=0.0303R.I.=1.12C.R.=0.020.1092.0299.0190.0379.0040.0W层次C对目标B3的两两判断矩阵便利B3单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C5便利单价面积楼层地段朝向单价111/31/71面积111/31/71楼层3311/53地段77517朝向111/31/71max=5.087C.I.=0.022R.I.=1.12C.R.=0.0190.1073.0567.0214.0073.0073.0W理想的住房A舒适B2经济B

50、1便利B3单价C1面积C2楼层C3地段C4朝向C50.6540.2580.0880.2810.2810.0730.567.得到分层次的权重B对A的权重经济(B1)舒适(B2)便利(B3)C对A的总权重权重排序0.6540.2580.088C对B的权重单价(C1)0.2810.0400.0730.201三面积(C2)0.2810.3790.0730.288二楼层(C3)0.0860.1900.2140.124四地段(C4)0.3180.2990.5670.335一朝向(C5)0.0320.0920.0730.051五计算各基层因素对总目标的权重项目总权重楼房A楼房B楼房C单价C10.2010.4

51、0.1670.667面积C20.2881.00.840.6楼层C30.1240.90.61.0地段C40.3350.40.10.7朝向C50.0511.00.40.7总评分0.6650.4040.701计算各决策方案的评分案例1：自行车的功能价值分析编号名称数量价格编号名称数量价格A前轮圈及辐条1副I中轴1个B后轮圈及辐条1副J踏脚及牙盘1套C前轮内外胎1副K链条1条D后轮内外胎1副L链罩1个E车身1个M车闸1副F车把及前叉1副N挡泥板1副G前轴1个O座凳1个H后轴及飞轮1副P后架1个自行车的部件名称、成本如下表所示：自行车的功能行进其他（舒适、方便等）载重前轮圈及辐条 后轮圈及辐条座凳后架自

52、行车部件的功能层次结构用层次分析方法确定各部件的功能权重，与各部件的价格权重比较，部件的功能权重和价格权重是否匹配。根据两个权重匹配的情况，提出改进的意见。第三次作业：自行确定一个产品，建立它的功能层次结构模型，列出它的零部件结构和零部件成本比重，运用层次分析方法确定各零部件的功能权重，进行功能成本分析。目标规划（Goal Programming）线性规划是一种应用非常广泛的优化模型，但它也有以下明显的缺点：1、只能求解单目标问题；2、把约束条件和目标函数作为完全不同的概念来处理，而在实际问题中，目标函数和约束条件往往是可以互换的，并没有严格的区别。3、约束条件是刚性的，即可行解必须在可行域中

53、。在一些实际问题中，约束条件是可以突破的，约束条件的右边常数并不是变量上限或下限，而是一个希望能够最接近的目标。4、如果约束条件互不相容，则线性规划无可行解。针对线性规划的以上缺陷，A.Charnes和W.Cooper提出了目标规划（Goal Programming），这是一种求解多目标线性规划的方法。目标规划分为无优先级的目标规划和有优先级的目标规划。目标规划的图解设线性规划问题为max z=2x1+3x2s.t.x1-x2 1 x1+x2 2 x2 3 x1，x2 0由图解可知，线性规划的最优解为：x1=4，x2=3 max z=1701234321-1min z=n1+p1+n2+p2+

54、n3+p3+n4+p4s.t.2x1+3x2+n1-p1 =12 (1)x1-x2 +n2-p2 =1 (2)x1+x2 +n3-p3 =2 (3)x2 +n4-p4=3 (4)x1,x2,n1,p1，n2,p2,n3,p3,n4,p4 0相应的目标规划问题为其中p1、p2、p3、p4称为正偏差变量，n1、n2、n3、n4称为负偏差变量。一般形式表示为：m,2,1ibpnxa)pn(miniiin1jjijm1iii012344321-1p3=3n4=12x1+3x2=12 (1)x2=3 (4)x1-x2=1 (2)x1+x2=2 (3)n1=4n2=2p3=1n4=1用LINDO求解以上问

55、题，得到目标规划的最优解为：min z=4，x1=3，x2=2p1=0,p2=0,p3=3,p4=0n1=0,n2=0,n3=0,n4=1 min z=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4s.t.2x1+3x2+n1-p1=12 (1)x1-x2+n2-p2=1 (2)x1+x2 +n3-p3=2 (3)x2+n4 -p4=3 (4)x1,x2,ni,pi 0产品A产品B产品C条件利润（万元/吨）941总利润最大化耗用原料（吨/吨）425耗用原料总量不超过38吨排放污染（m3/吨）213排放污染总量不超过26m3销售价格（万元/吨）301020销售总额不低于100万元总产量（吨）11

56、1总产量不低于18吨如果以利润为目标函数，线性规划模型为：max z=9x1+4x2+x3s.t.4x1+2x2+5x3 38（1）原料总量约束 2x1+x2+3x3 26（2）排放污染约束 30 x1+10 x2+20 x3100（3）销售总额约束 x1+x2+x3 18（4）总产量约束 x1,x2,x3 0目 标产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量利润（万元/吨）94177p1n1耗用原料（吨/吨）42538p2n2排放污染（m3/吨）21326p3n3销售价格（万元/吨）301020100p4n4总产量（吨）11118p5n5如果将利润、耗用原料等五个因素作为目标，确定各目

57、标的理想值以及偏差变量如下：如果目标大于理想值，正偏差变量大于0，小于理想值，负偏差变量大于0。因此，对第i个目标，有iiin1jjijbpnxa如果各目标无优先级，要使所有的目标总偏差最小，即m1iii)pn(min目标规划的模型为：对于每一个目标，正偏差变量和负偏差变量在系数矩阵中的列向量是两个相同的单位向量，是线性相关的，不可能同时出现在基矩阵中，因此，以上问题的任何一个基础可行解，同一个目标的正负偏差变量，不可能两个同时大于0。这一结果的实际意义也是很清楚的：任何一个目标，不可能既大于理想值，又小于理想值。0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20 x10 x3026p

58、nx3xx238pnx5x2x477pnxx4x9.t.s)pn()pn()pn()pn()pn(min554433221132155321443213332122321113214422335511产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量产量（吨）0100RHSpini达 到 的 目 标 值利润（万元）4077037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808用单纯形法，得到目标规划的最优解、各目标的值以及偏差变量的值最优解目标值偏差变量目标规划的特点q 可以求解多目标问题。克服了线性规划只能求解单目标的缺点。q

59、 用目标（Goal）的概念取代了线性规划中的“约束条件”，用偏离各目标的总偏差最小取代了线性规划中的目标函数，消除了线性规划中目标函数和约束条件的对立。q 各目标值既可以正偏差，也可以负偏差，克服了线性规划约束条件的刚性。q 目标规划总是有可行解的。克服了线性规划无解的问题。目标有优先级的目标规划在上面的例子中，利润、耗用原料、排放污染、销售额、总产量等五个目标是一视同仁的，最优解是使偏离五个目标的总偏差之和最小。在实际问题中，这些目标往往是有轻重缓急的。产品A产品B产品C目标的理想值正偏差变量负偏差变量产量（吨）0100RHSpini达 到 的 目 标 值利润（万元）4077037耗用原料（

60、吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808确定五个目标的优先级Pi（Pi=1，2，3，4，5），数字越小优先级越高目 标产品A产品B产品C优先级Pi目标的理想值正偏差变量负偏差变量利润（万元/吨）941177p1n1耗用原料（吨/吨）425538p2n2排放污染（m3/吨）213326p3n3销售价格（万元/吨）3010202100p4n4总产量（吨）111418p5n5目标有优先级的目标规划解法有：q加权法q字典序法目 标产品A产品B产品C优先级权重理想值正偏差负偏差利润（万元/吨）94111000077p1n1耗用原料（吨/吨）

61、4255138p2n2排放污染（m3/吨）213310026p3n3销售价格（万元/吨）30102021000100p4n4总产量（吨）11141018p5n5目标具有优先级的目标规划解法加权法0pnpnpnpnpnxxx18pnxxx100pnx20 x10 x3026pnx3xx238pnx5x2x477pnxx4x9.t.s)pn()pn(10)pn(10)pn(10)pn(10min5544332211321553214432133321223211132144222333554115产品A产品B产品C理想值正偏差负偏差产量（吨）0100RHSpini无 优 先 级 利润（万元）407

62、7037耗用原料（吨）3038018排放污染（m3）1026016销售价格（万元）10010000总产量（吨）101808产品A产品B产品C理想值正偏差负偏差产量（吨）119.250RHSpini有 优 先 级1利润（万元）7777005耗用原料（吨）3838003排放污染（m3）19.252606.752销售价格（万元）192.510092.504总产量（吨）19.25181.250目标具有优先级的目标规划解法字典序优化（Lexico-optimization）字典序法的原则是：q 首先不顾其它目标，对优先级最高的目标进行优化，得到使第一级目标最优的决策变量的值以及第一级目标函数的值；q 然

63、后在不使第一级目标变差的前提下，优化第二级目标；q 用同样的原则，按优先级从高到低，依次优化各级目标，直至所有目标都优化完毕。min(n1+p1)，(n2+p2)，(n3+p3)，(n4+p4)s.t.2x1+2x2+n1-p1 =20优先级1 x1+x2 +n2-p2 =20 优先级2 x1 +n3-p3 =5 优先级3 x2 +n4-p4=3 优先级4x1，x2，n1，n2，n3，n4，p1，p2，p3，p40字典序优化的图解法min(n1+p1),(n2+p2),(n3+p3),(n4+p4)s.t.2x1+2x2+n1-p1 =16(1)x1+x2 +n2-p2 =4(2)x1 +n3

64、-p3 =2(3)x2 +n4-p4=3(4)x1，x2，ni，pi0024688642x1x22x1+2x2=16x1+x2=4x1=2x2=3p1n1p2n2p3n3p4n4第一优先级最优解第二优先级最优解第三优先级最优解第四优先级最优解min(n1+p1),(n2+p2),(n3+p3),(n4+p4)s.t.2x1+2x2+n1-p1 =16优先级P1 x1+x2 +n2-p2 =4优先级P2 x1 +n3-p3 =2优先级P3 x2 +n4-p4=3优先级P4 x1，x2，ni，pi0具有目标优先级的目标规划单纯形表x1x2n1p1n2p2n3p3n4p4RHSP1-1-10P2-1

65、-10P3-1-10P4-1-10n1221-116n2111-14n3101-12n4011-13x1x2n1p1n2p2n3p3n4p4RHSP1220-216P2110-24P3100-22P4010-23n1221-116n2111-14n3101-12n4011-13消去基变量n1，n2，n3，n4在目标函数中的系数对第一优先级目标P1优化。x1进基，n3离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素x1x2n1p1n2p2n3p3n4p4RHSP1020-2-2212P2010-2-112P300-1-10P4010-23n1021-1-2212n2011-1-112x1101-12n4

66、011-13第一优先级目标P1未达到最优解。x2进基，n2离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素x1x2n1p1n2p2n3p3n4p4RHSP1000-2-22008P200-1-1000P300-1-10P400-111-10-21n1001-1-22008x2011-1-112x1101-12n400-111-11-11第一优先级目标P1未达到最优解。p2进基，n4离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素x1x2n1p1n2p2n3p3n4p4RHSP1000-200-22-226P200-201-11-11P300-1-10P4000000-1-10n1001-100-22-226x20120001-13x1101-12p200-111-11-11第一优先级目标P1未达到最优解。p3进基，n1离基，2为主元。消去主元所在列的其它元素x1x2n1p1n2p2n3p3n4p4RHSP100-1-10000000P2001/2-1/2-2000004P300-1/21/2-20-113P4000000-1-10p3001/2-1/200-11-113x20120001-13x110