2.1.3求曲线的方程分享资料

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1、.1.21.建系：建立适当的直角坐标系建系：建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步如果已给出，本步骤省略骤省略);.设点设点：设曲线上任意一点的坐标：设曲线上任意一点的坐标(x,y);.列式列式：根据曲线上点所适合的条件：根据曲线上点所适合的条件,写出等式写出等式;4.化简化简：用坐标：用坐标x、y表示这个等式表示这个等式,并并化方程为最简化方程为最简形式形式;.证明证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲 上的点上的点.（一般变为确定点的范围即可）（一般变为确定点的范围即可）求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：.3.4几种常见求轨迹方程的方法几种

2、常见求轨迹方程的方法1 1直接法直接法由题设所给由题设所给(或通过分析图形的几何性或通过分析图形的几何性质而得出质而得出)的动点所满足的几何条件列的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法得曲线的方程，这种方法叫直接法.5例例1求到求到x轴距离等于轴距离等于2的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。分析：动点P的轨迹很容易知道就是两条平行于x轴的直线，所以根据图形的几何特点直接可以写出轨迹方程为：y=2。.6.B模仿练习模仿练习1.动点动点M与距离为与距离为2a的两个定点的两个定点A，B的的连线的斜率之积等于连线的斜率之积等于

3、-1/2，求动点，求动点M的轨迹方程。的轨迹方程。.AM解解:如图如图,以直线以直线AB为为x轴轴,线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线为为y轴轴,建立平面直角坐标系，则建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则是轨迹上的任意一点，则)1(a a)(x xa a2 2y yx x:化化简简，得得.2 21 1a ax xy ya ax xy y,2 21 1k kk ka a)(x x,a ax xy yk k,a ax xy yk k2 22 22 2M MB BM MA AM MB BM MA A由上可知，动点由上可知，动点M的轨迹上的任一点

4、的坐标都满足方程的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方程（迹上。所以，方程（1）就是动点）就是动点M的轨迹方程。的轨迹方程。.7模仿练习模仿练习2.到到F(2，0)和和Y轴的距离相等的动点的轴的距离相等的动点的 轨迹方程是轨迹方程是:_3.在三角形在三角形ABC中中,若若|BC|=4,BC边上的中线边上的中线AD的长为的长为3,求点求点A的轨迹方程的轨迹方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y0).82 2相关点法相关点法.9规律技巧规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知在求轨迹方程时经常遇到

5、已知一动点的轨迹方程一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹求另一动点的轨迹方程的问题方程的问题,而解决这类问题的解法称而解决这类问题的解法称为代入法为代入法(或相关点法或相关点法).而此法的关键而此法的关键是如何来表示出相关的点是如何来表示出相关的点.10例例2 2、如下图，已知线段、如下图，已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点MM的轨迹方程的轨迹方程.xoyBMA.11解：设点解：设点M的坐标是（的坐标是（x,y),点点A的坐标是的坐标是 ，

6、由，由于点于点B的坐标是（的坐标是（4,3），且点），且点M是线段是线段AB的中点，所的中点，所以以),00yx（23,2400yyxx于是有于是有32,4200yyxx因为点因为点A在圆（在圆（x+1)+y=4上运动，所以点上运动，所以点A的坐标满足的坐标满足方程（方程（x+1)+y=4，即：（4)1()12020yx把代入中，得把代入中，得(2x-4+1)+（2y-3)=4整理得：整理得：1)23()2322yx（所以，点所以，点M的轨迹是以的轨迹是以），（2323为圆心，半径长是为圆心，半径长是1的圆。的圆。.12模仿练习模仿练习 4.点点A(3,0)为圆为圆x2+y2=1外一点外一点,

7、P为圆上为圆上任意一点任意一点,若若AP的中点为的中点为M,当当P在圆上运动时在圆上运动时,求求点点M的轨迹方程的轨迹方程.分析分析:利用中点坐标公式利用中点坐标公式,把把P点的坐标用点的坐标用M的坐标的坐标表示表示,利用代入法利用代入法,代入圆的方程即可代入圆的方程即可.0000002200222223,23,:,Mx,y,Px,y,x,yxy1,2x34y1,2,2.31().24xxxxyyyyxy解 由题意 设点的坐标为点 的坐标为则又在圆上.13例例3在圆在圆x+y=4上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线段在

8、圆上运动时，线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？),(),(00yxPyxM的坐标为点的坐标为解：设点.2,),0,(000yyxxxD则的坐标为由44),(20202200yxyxyxP上，所以在圆因为点,442,2200yxyyxx代入方程，得把的轨迹是一个圆。所以点即Myx.1422yxoPDM相关点相关点法法.14解：设点 M 的坐标是（x,y），P 的坐标是(,)ppxy，因为点 D 是 P 在 x 轴上投影，M 为 PD 上一点，且4|5MDPD，所以pxx，且54pyy，P 在圆2225xy上，225()254xy，整理得2212516xy，即 C

9、的方程是2212516xy.15解解:解法解法1:设点设点M的坐标为的坐标为(x,y).M为线段为线段AB的中点的中点,A的坐标为的坐标为(2x,0),B的坐标为的坐标为(0,2y).l1l2,且且l1、l2过点过点P(2,4),例例4:过点过点P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1,l2,若若l1交交x轴于轴于A点点,l2交交y轴于轴于B点点,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.PAPB,kPAkPB=-1.4042(,2220221(1),).1yxyxx PAPBkx1 k1而.16整理得整理得x+2y-5=0(x1).当当x=1时时,A B的坐标分别为

10、的坐标分别为(2,0)(0,4),线段线段AB的中点坐标是的中点坐标是(1,2),它满足方程它满足方程x+2y-5=0.综上所求综上所求,点点M的轨迹方程是的轨迹方程是x+2y-5=0.规律技巧规律技巧:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,遇到垂直问题遇到垂直问题,常利用斜率之常利用斜率之积等于积等于-1解题解题,但需注意斜率是否存在但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论即往往需要讨论,如如解法解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.17解法解法2:l1l2,OAOB,O,A,P,B四点共圆四点共圆,且该圆的圆心为且该圆的圆心为M.|MP|

11、=|MO|.点点M的轨迹为线段的轨迹为线段OP的中垂线的中垂线.的中点坐标为的中点坐标为(1,2),点点M的轨迹方程是的轨迹方程是即即x+2y-5=0.402,20OPkOP12(1),2yx 在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。叫做几何法。.18xy0ABCMl例例4 4.经经过过原原点点的的直直线线l与与圆圆226490 xyxy相相交交于于两两个个不不同同点点 A A、B B，求求线线段段 A AB B 的的中

12、中点点 M M 的的轨轨迹迹方方程程.点差法点差法.19.20.21.223 3参数法（交规法）：参数法（交规法）：P,x y当动点当动点P的坐标的坐标x,yx,y之间的直接关系之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变不易建立时，可适当地选取中间变量量t t，并用，并用t t表示动点的坐标表示动点的坐标x,yx,y，从，从而得到动点轨迹的参数方程而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，消去参数t t，便得到动点的轨迹的，便得到动点的轨迹的普通方程。普通方程。()()xf tyg t.234 4定义法定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的

13、定义直接写出双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件些条件.24.25例例2.2.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B,点点MM满足满足 ,求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程.xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM12AMMB 特征特征:所求所求(从从

14、)动点随已知曲线上的动点随已知曲线上的(主主)动点的动点的变化而变化变化而变化方法方法:用从动点的坐标用从动点的坐标(x,y)(x,y)表示主动点的坐标表示主动点的坐标(x(x0 0,y,y0 0),),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.代入法代入法(坐标转移法坐标转移法):):.26例例2、已知直角坐标平面上点、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆和圆O:动点动点M到圆到圆O的切线长与的切线长与|MQ|的比等于常数的比等于常数 求动点求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？221.xy(0),0 xyMNQ.27 （江苏，（江苏，06）已知两点）已知两点M(-2,0),N(2,0),点点P为坐标平面为坐标平面内的动点，满足内的动点，满足 。则动点。则动点P(x,y)的的轨迹方程为轨迹方程为 。0MNMPMN NP .28例例3、求抛物线、求抛物线 的顶的顶点的轨迹方程。点的轨迹方程。22(21)1()yxmxmmR