材料力学学习指导与练习

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1、材料力学学习指导与练习第二章2.1预备知识一、基本概念1、 轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。2、 轴力和轴力图轴向拉压杆的内力称为轴力，用符号FN表示。当FN的方向与截面外向法线方向一致时，规定为正，反之为负。求轴力时仍然采用截面法。 求内力时，一般将所求截面的内力假设为正的数值，这一方法称为“设正法”。如果结果为正，则说明假设正确，是拉力；如是负值，则说明假设错误，是压力。设正法在以后求其他内力时还要到。 为了形象的表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”。作法是：以杆的左端为坐标原点，取轴为横

2、坐标轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值，正值绘在基线上方，负值绘在基线下方。3、 横截面上的应力根据圣维南(Saint-Venant)原理，在离杆一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也是均匀的，并垂直于横截面，即为正应力，设杆的横截面面积为A，则有正应力的符号规则：拉应力为正，压应力为负。4、 斜截面上的应力与横截面成角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力的关系为：角的符号规则：杆轴线x轴逆时针转到截面的外法线时，为正值；反之为负。切应力的符号规则：截面外法线顺时针转发900后，其方向和切应力相同时，该切应力为正

3、值；反之为负值。 当=00时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。当=450时，切应力达到极值。5、轴向拉伸与压缩时的变形计算与虎克定律（1） 等直杆受轴向拉力F作用，杆的原长为l，面积为A，变形后杆长由l变为l+l，则杆的轴向伸长为用内力表示为上式为杆件拉伸（压缩）时的虎克定律。式中的E称为材料的拉伸（压缩）弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度。用应力与应变表示的虎克定律为 （2） 在弹性范围内，杆件的横向应变和轴向应变有如下的关系； 式中的称为泊松（Poisson）比（横向变形系数）。6、材料在拉伸和压缩时的力学性质 6.1 低碳钢在拉伸时的力学性质：（1）低碳钢应力-

4、应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段。（2）低碳钢在拉伸时的三个现象：屈服（或流动）现象，颈缩现象和冷作硬化现象。（3）低碳钢在拉伸时的特点（图21）： a.比例极限p：应力应变成比例的最大应力。 b.弹性极限e：材料只产生弹性变形的最大应力。 c.屈服极限s：屈服阶段相应的应力。 d.强度极限b：材料能承受的最大应力。 （4）低碳钢在拉伸时的两个塑性指标：延伸率= 100% 工程上通常将5%的材料称为塑性材料，将5的材料称为脆性材料。 断面收缩率=100%6.2 工程中对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%残余应变时所对应的应力值作为屈服极限，以0。2

5、表示，称为名义屈服极限。6.3 灰铸铁是典型的脆性材料，其拉伸强度极限较低。6.4 材料在压缩时的力学性质：（1）低碳钢压缩时弹性模量E和屈服极限S与拉伸时相同，不存在抗压强度极限。（2）灰铸铁压缩强度极限比拉伸强度极限高得多，是良好的耐压、减震材料。6.5 破坏应力：塑性材料以屈服极限 S（或0.2）为其破坏应力；脆性材料以强度极限b为其破坏应力。7、强度条件和安全系数 材料丧失工作能力时的应力，称为危险应力，设以0表示。对于塑性材料，对于脆性材料，为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于危险应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如（1）荷载值的确

6、定是近似的；（2）计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；（3）实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；（4）公式和理论都是在一定的假设上建立起来的，所以有一定的近似性；（5）结构在使用过程中偶而会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载。所以，为了安全起见，应把危险应力打一折扣，即除以一个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许应力，即 (214）对于塑性材料，应为 （215）对于脆性材料，应为 （216）式中ns和nbc分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。8、简单拉压超静定问题 超静定结构的特点是结构存在多余约束，未知力的数目比能列的平衡方程数目要

7、多，仅仅根据平衡条件不能求出全部未知力，必须根据变形和物理条件列出与多余约束数相同的补充方程；这类问题称之超静定问题。多余约束数目，称之为超静定次数。多余约束对保证结构的平衡和几何不变性并不是必不可少的，但对满足结构强度和刚度的要求又是必须的，从这层意义上讲，不是多余的。 求解超静定问题的步骤： (1) 根据约束性质，正确分析约束力，确定超静定次数 (2) 列出全部独立的平衡方程 (3) 解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关系，列出变形协调方程 (4) 将物理关系式代入变形协调方程，得到充方程，将其与平衡方程联立，求出全部未知力。 拉压超静定问题大致有三类： a. 桁架系统 b. 装

8、配应力 c. 温度应力二、重点与难点1、拉压杆的强度条件和三种强度向题。2、低碳拉伸实验和材料力学参数的意义及作用。3、超静定问题的求解 (1) 解超静定问题的关键是列出正确的变形几何条件 (2) 在列出变形几何条件时，注意所假设的杆件变形应是杆件可能发生的变形。同时，假设的内力符号应和变形一致。2.2典型题解一、计算题1、 变截面杆受力如图，P=20kN。A1=400mm2，A2=300mm2，A3=200mm2。材料的E=200GPa。试求：(1)绘出杆的轴力图；(2) 计算杆内各段横截面上的正应力；(3)计算A端的位移。 30kN10kN300mm400mm400mm50kN解：(1)杆

9、的轴力图如图所示，各段的轴力FN10kN40kN10kN，(2) 各段横截面上的正应力为（3）A端的位移为二、计算题图示三角托架，AC为刚性梁，BD为斜撑杆，问斜撑杆与梁之间夹角应为多少时斜撑杆重量为最轻？ABCDFL解：BD斜杆受压力为FBD，由平衡方程得：为了满足强度条件，BD杆的横截面面积A应为BD杆的体积应为显然，当时，V最小，亦即重量最轻。三、计算题图所示拉杆由两段胶合而成，胶合面为斜截面m-m。其强度由胶合面的胶结强度控制，胶合面的许用拉应力，许用切应力，拉杆的横截面面积。试求最大拉力的数值。解：拉杆的横截面的应力斜截面正应力强度条件：拉力F应满足斜截面切应力强度条件：拉力F也应满

10、足所以最大拉力四、计算题 图示为埋入土中深度为l的一根等截面桩，在顶部承受载荷F。选荷载完全由沿着桩周摩擦力fs所平衡，fs按线性分布，如图所示。试确定桩的总压缩量，以F，L，E，A表示。dyLfsyf2yyf2=kydydyFO解：(1) 求常数k。桩周微段dy上的摩擦力 整条桩的摩擦力为 由平衡条件可知 即 (2) 确定桩的总压缩量。由图可知，桩任意截面上的轴力为 其中，微段dy的压缩量为 所以桩的总压缩量为 讨论 应用胡克定律求轴向拉压杆件的变形时，在L长度内的轴力FN和截面积A都应为常数，如其不然，则应先求出微段内的变形，然后在全杆长度积分。在解本题中，就应用了这种方法。另外，由于杆上

11、的分布力是按线性规律变化，它们的合力也要用积分法求出。五、图示一结构，由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的内力。ABCDFaaCDaFN1FN2FAyFAxFABh解：结构为一次超静定，可从下列三个方面来分析。(1)静力方面 取隔离体如图，设两杆的轴力分别为FN1和FN2。欲求这两个未知力，有效的平衡方程只有一个，即 (1)(2) 几何方面 刚性杆AB在力F作用下，将绕A点顺时针转动，由此，杆EC和FD产生伸长。由于是小变形，可认为C、D两点铅垂向下移动到C和D点。设杆EC的伸长为CC=1，FD的伸长为DD=2，由图

12、可知，它们有几何关系： (2)这就是变形谐调方程或变形条件。(3)物理方程 根据胡克定律，有 (3)这是物理方程。将式(3)代入式(2)，得 (4)将方程(4)和方程(1)联立求解，即得 结果表明，对于超静定结构，各杆内力的大小与各杆的刚度成比例。2.3 练习题 一、概念题1、选择题 (1)现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是( )A 1杆为钢，2杆为铸铁 B 1杆为铸铁，2杆为钢C 2杆均为钢 D 2杆均为铸铁AB1C2(2)桁架受力和选材分别如图A、B、C、D，从材料力学观点看，图( )较为合理。钢铸铁P（A）钢铸铁P（B）钢铸铁

13、P(C)钢铸铁P(D)(3)轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确的说法应是( )A 1-1、2-2面上应力皆均匀分布B 1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布C 1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布D 1-1、2-2面上应力皆非均匀分布PP1122(4)图示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( )A 平动B 转动C 不动D 平动加转动F(5)有A、B、C三种材料，其拉伸应力应变实验曲线如图所示，曲线( )材料的弹性模量E大，曲线( )材料的强度高，曲线( )材料的塑性好。OABC(6) 材料经过冷作硬化后，其( )。A 弹性模量提高，塑性降低B 弹性模量降低，塑性提

14、高C 比例极限提高，塑性提高D 比例极限提高，塑性降低二、计算题1、图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，求杆的最大最小应力。P3P2P1l3l2l1321DCBA 2、己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为a2=25mm的正方形截面，3段为d3=12mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生的应力，E=210GPa，求此杆的总缩短量。PP0.2m0.4m0.2m123答：3、 一横面面积为102mm2黄铜杆，受如图251所示的轴向载荷

15、。黄铜的弹性模量E=90GPa。试求杆的总伸长量。 答：待计算60kN9kN45kN6kN1m1.5m0.5m4、杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm2，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数=0.3。1作内力图；2求最大伸长线应变；3求最大剪应力。2kN1kN5kN4kN400400500答：待计算5、当用长索提取重物时，应考虑绳索本身重量。如绳索的弹性模量为E，重力密度为及许用拉应力为，试计算其空悬时的最大许用长度；并计算此时的总伸长变形。答： ，AB1C23006、 图示一三角架，在节点B受铅垂荷载F作用，其中钢拉杆AB长l1=2m，截面面积A1=600mm2，许用应力，

16、木压杆BC的截面面积A2=1000mm2，许用应力。试确定许用荷载F。答：许用荷载F=40.4kN7、一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应变片，用以测量试件的应变。试验时，荷载F增加3kN时，测得，求该试件的E， 和G三个常数，试件的尺寸及受力方向如图所示。30mmF124mmF111-1答：BAC300F8、图示一三角架，在节点A受F作用。设杆AB为钢制空心圆管，其外径DAB=60mm，内径dAB=48mm，杆AC也是空心圆管，其内、外径比值也是0.8，材料的许用应力。试根据强度条件选择杆AC的截面尺寸，并求出F力的最大许用值。答：待计算 9、三角架ABC由AC和BC二杆组成。杆A

17、C由两根No.12b的槽钢组成，许用应力为=160MPa；杆BC为一根No.22a的工字钢，许用应力为=100MPa。求荷载F的许可值F。 答：420kNFFF4m4mabCF2mBA10、图示一正方形截面的阶形混凝土柱。设混凝土的密度为，F=100kN，许用应力。试根据强度条件选择截面宽度a和b。答： b=398m11、图示一钢筋混凝土组合屋架，受均布荷载q作用，屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为圆截面钢拉杆，其长l=8.4m，直径d=22m，屋架高h=1.4m，钢的许用应力，试校核拉杆的强度。q=10kN/mCABl/2l/2hABCP2m2m2mD答： 安全12、设有一

18、起重架如图所示，A、B、C为铰接，杆AB为方形截面木材制成的，P=5kN，许用应力，求杆AB截面边长。答：待计算13、图中AB是刚性杆，CD杆的截面积A=500mm2，E=200GPa，。试求此结构中B点所能承受的最大集中力P以及B点的位移B。答：ABCDP1.5m1.5m1md1d2lPP14、长度为l的圆锥形杆，两端直径各为d1和d2，弹性模量为E，两端受拉力作用，求杆的总伸长。答：15、一杆系结构如图213所示，试作图表示节点C的水平位移，设EA为常数。 150kN400600ACF300300B答：w水平=016、有一两端固定的钢杆，其截面面程为A=1000mm2，载荷如图所示。试求各

19、段杆内的应力。答：待计算17、 横截面面积为A=10000mm2的钢杆，其两端固定，荷载如图所示。试求钢杆各段内的应力。 答：上108MPa, 中8.3MPa, 下 141.7MPa 100kN150kN50030040018、如图所示钢杆1、2、3的截面积均为A=2cm2，长度h=1m，E=200GPa。杆3在制造时比其他两杆短=0.8mm。试求将杆3安装在刚性梁上后，三根杆中的内力。答：待计算aa123h19、横截面尺寸为75mmmm的木杆承受轴向压缩，欲使木杆任意截面正应力不超过2.4MPa，切应力不超过0.77MPa，试求最大荷载F。答：F=8.66kNF20、图示拉杆沿斜截面m-n由

20、两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力t=100MPa，许用切应力=50MPa，并设胶合面的强度控制杆件拉力。试问：为使杆件承受最大拉力P，角的值应为多少？若杆件横截面面积为4cm2，并规定600，试确定许可载荷P。 答：待计算nPmP21、图示杆件在A端固定，另端离刚性支承B有一空隙1mm。试求当杆件受F=50kN 的作用后，杆的轴力。设E=100GPa，A=200mm2，a=1.5m, b=1m.。 答：FNBC=22kNabaFCAB22、 图示一结构，AB为刚性杆，DE和BC为弹性杆，该两杆的材料和截面积为均相同。试求当该结构的温度降低300C时，两杆的内力。己知：F=100kN，E=200GPa，a=1m, l=0.5m, A=400mm2， a=1210-6 C-1，t=300C。 答：FN1=78.25kN，FN2=50.23kN llaCADEFB2.26杆件受力如图所示，己知杆的横截面面积为A= 20mm2，材料弹性模量E=200GPa，泊松系数=0.3。1作内力图；2求最大伸长线应变；3求最大剪应力。2kN1kN5kN4kN4004005002.4 练习题答案一、概念题1、选择题(1) A (2) B (3) B (4) D(5) B，A，C(6) D2、是非判断题二、计算题1、（1）内力图 （2）（第一段） （3） （第二段）FN50kN20kN15kN