第三章 有界线性算子-黎永锦

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1、 第3章 有界线性算子 音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切. (克萊恩)(1849-1925,德国数学家)在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有,都有.容易证明,是连续加法算子时,必有成立.证明了若是连续的加法算子,则存在常数,使得.另外他还证明了若是连续加法算子序列,也是加法算子,且对任意,都有,则T也是连续的.在1922年证明了,若是一个完备赋范空间,为

2、上的一列线性连续泛函,且对任意,都有上界,则一定是有界的.和在1927年证明了,若为完备赋范空间到赋范空间的线性连续算子,且对任意,都有界,则一定有界,这就是空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理.在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性.在1932年,出版了线性算子理论（）一书,书中包括了当时有关赋范线性空间的绝大部分结果,而非常著名闭图像定理就是该书中一个定理的推论. 3.1 有界线性算子 算子就是从一个空间到另一个空间映射,算子可分为线性算子与非线性算子.定义3.1.1 设和都是赋范空间,是从到的算子,且满足（1） , ；（2） , .则称为到的线性算子. 明显地,若是

3、数域,则到的线性算子就是线性泛函.例 3.1.1 定义从到算子则对任意,有,使得.故.因此 ,即是到的算子,并且所以是到的线性算子.例 3.1.2 设是从到的算子,且对任意,定义,这里时, 时,则是从到的线性算子.类似于线性连续泛函,对于线性连续算子,容易看出下面定理成立. 定理 3.1.1 设是赋范空间到的线性算子,则在上连续当且仅当在某个处连续. 线性算子的连续与有界性有着密切的联系. 定义 3.1.2 设是赋范空间到的线性算子,若存在数,使得,成立.则称是有界线性算子,否则称为无界的.类似于线性有界泛函,有下面的定理. 定理3.1.2 设是赋范空间到的线性算子,则是有界的当且仅当是连续的

4、. 由上面定理可知,当是到的线性连续算子时,必有,使得由此对,有.定义3.1.3 若是到的线性连续算子,则称为的范数.容易看出,.例3.1.3 设是赋范空间,是到的恒等算子,则是连续的,且.有限维赋范空间上的线性算子的连续性显得特别简单明了.定理3.1.3 若是有限维赋范空间,是任意赋范空间,则到的任意线性算子都是连续的.证明 设是n维赋范空间,是的基,则对任意,有.由于是线性的,故 对任意,定义,则是上的范数,因此与等价,即存在,使得 令,则所以,是到的连续线性算子.若用记所有从赋范空间到赋范空间的线性连续算子,则在线性运算下是一个线性空间,在空间中,由算子范数的定义有和,以及时成立.因此在

5、算子范数下是一个赋范空间,并且当是空间时,也是空间.定理 3.1.4 设是赋范空间,是空间,则是空间.证明 设为的列,因此对任意,存在,使得时对任意,有因此为中的列,由的完备性质可知,存在,使得定义到的算子, ,易知是线性的.由于,因此为中的列,从而存在,使得故,从而是到的线性连续算子. 由上面证明可知对任意,存在,使得时,有.令,则因此对任意成立，从而,所以,是完备的. 由于数域完备,因此容易看到下面结论成立.推论3.1.1 对于任意赋范空间,一定完备. 后面都将记为,称之为的共轭空间,因此所有赋范空间的共轭空间都是完备的. 3.2 一致有界原理设和是空间.是中的一族有界线性算子,一致有界原

6、理指的是若对于任意是有界集,则一定是有界集, 即.其实,这一定理的一些特殊情形,许多数学家早就注意到了,如和等,在1922年总结了他们的结果,证明了对空间上的一列线性泛函,若任意有界,则一定有界.独立地,证明了比更一般的情形,即设是空间到空间的一列算子,若对任意有界,则一定有界,最后在1927年与利用在1899年证明的一个引理,证明了一致有界原理.引理 3.2.1 (Baire引理) 设是空间中的一列闭集,若,则存在某个使得. 下面举两个例子.例 3.2.1 在中, 则有内点,故必有某个.例 3.2.2 在中,则对任意,且, 所以. 在1912年,建立了上的一致有界性原理,空间上的一致有界性原

7、理是1922,1922和给出的,1927年以和他两个人的名义在数学基础第9卷上发表了该定理.它断言,在Banach空间上,如果有一列算子,能对每个,数列 都有上界,那么必存在常数,使得有界.这个由各点的局部有界性推广到在一个单位球上整体地一致有界性的深刻定理就叫定理.定理 3.2.1 (一致有界原理) 设是空间,是赋范线性空间,是中的一族有界线性算子,若对任意,有 则证明 对任意,令,则是闭集,且,由于,因此由引理可知存在某个,使得,故存在及,使得,因为是闭集,所以因此对于任意, ,有 故对任意,有又由于, 故 令,则与无关,且.所以问题 3.2.1 在一致有界原理中,的完备性能否去掉？例 3

8、.2.3 设为全体实系数多项式,对任意 ,则是赋范空间,但不完备,在上一致有界原理不成立.事实上,对任意,可以写成,这里存在某个,使得时,在上定义一列泛函：, 这里 由可知,且对于任意,有故（对于固定的是固定的）,因此 . 但对于任意,取,有,且由的任意性可知,因此,不是一致有界的.推论3.2.1 设是赋范空间,若对任意,有,则. 证明 定义为则是线性算子,且对固定的,有故是线性有界算子.由于,对任意固定的都成立,并且是完备的,所以由一致有界原理可知但,所以.在赋范空间中引进几种不同的收敛性.定义3.2.1 设,是赋范空间, ,则（1） 若,称一致算子收敛于,记为；（2） 若对任意 ,称强算子

9、收敛于,记为；（3）若对任意, ,有,称弱算子收敛于,记为. 由上面的定义容易看出,算子的收敛性有如下关系：定理 3.2.2 (1) 若,则；(2) 若,则. 值得注意的是上定理中反方向的推导一般不成立.例3.2.4 在中,定义为 则,且对任意 ,有因此,但所以,不一致收敛于零算子. 定理 3.2.3 设是空间,是赋范空间,若对任意收敛,则一定存在,使得强算子收敛于. 证明 由于的收敛对任意都成立,故可定义,由的线性可知是线性的. 由于对任意收敛,因此也是收敛的,从而,根据一致有界原理,有,因而.即,显然. 定理 3.2.4 设, 是空间, 则强算子收敛的充要条件为（1）存在,使得；（2）存在

10、 ,使得且对于任意 收敛.证明 若,则（2）明显成立.若对于任意 ,有. 故,由一致有界原理可知|是有界的. 反之,若（1）,（2）成立, 对任意及任意,由知一定存在,使得因为对任意,收敛,所以存在,使得时,有故. 由于是完备的,因而是收敛的,定义,则,所以 .推论3.2.2 设是空间,是赋范空间,若,则证明 由可知,对任意,有 由于是空间,并对任意,有,因此,从而,所以.例题3.2.1设是有限维范空间,是赋范空间,. 若对任意,有,试不用一致有界原理证明.证明 在上定义.由于 （1）对任意, ；（2）当时,从而.且时,显然有； （3）；（4）因此,是上的一个范数. 由于是有限维范空间,因此范

11、数和是等价的，故存在,使得,对所有的都成立，因而,所以. 3.3 开映射定理与逆算子定理定义3.3.1 设和是赋范空间, 若把中的开集映成中的开集,则称为开映射. 例 3.3.1 设是实赋范空间,则上的任意非零线性泛函一定是到的开映射. 问题 3.3.1 设,是空间, 问何时一定是开映射？ 定理 3.3.1 （开映射定理）设和是空间,若是满射,即,则是开映射. 开映射定理的证明要用到下面的引理, 它是在1930年得到的. 引理 3.3.1 设,是空间,若,则存在,使得.引理的几何意义是如果是中的开球,则为中的点集,且中的点一定是的内点.开映射定理的证明 设是中的任意开集,则对任意,存在,使得,

12、下面只须证明为的内点. 由于是开集,因此存在,使得,故.由上面引理可知,存在,使得,因此, 所以,即为的内点, 因而 为 的开集. 推论3.3.2 若是空间,则对所有一定是开映射. 证明 不失一般性,不妨设,则由于,因此存在,使得,故对任意,有,使得,因而是到的满射.所以,由开映射定理可知为开映射. 思考题3.3.1 若是开映射,则存在时是否一定连续？ 定义3.3.2 若,为赋范空间,若对任意时,必有,则算子, 称为的逆算子.明显地,若,存在,则也是线性的. 例题3.3.1 设,是赋范空间,则,当且仅当存在,使得 且此时一定有. 证明 若,令,明显地,有 反之,如果存在,使得 则对任意,有,因

13、此,故是单射,从而存在.对任意 ,有故,令,则,因而是满射,明显地，是线性的,因此为到的线性算子,又因为,所以 . 逆算子定理是在1929年给出的,利用开映射定理,容易证明逆算子定理成立. 定理3.3.5. （逆算子定理）设,是空间,若是双射,则存在,且. 证明 由于是一一对应,且满的,因此存在且是线性的. 由于,是空间,且,因而由开映射定理可知开映射,从而对任意开集,有也是开集,所以连续,即. 在逆算子定理中,完备性的条件必不可少. 例3.3.2 设,则是赋范空间. 定义为则,且存在,但是无界的,这是因为对, 有,因此对任意成立,所以不是连续线性算子. 推论3.3.3 设和是线性空间上的两个

14、范数,且和都是空间,若存在, 使得,则与等价. 证明 定义恒等算子为,则由可知是连续的. 显然是双射,因而由逆算子定理可知,存在且有界. 令,则所以, 即.问题 3.3.1 设为0,1上的全体实系数多项式,对任意,定义 ,则都是的范数,并且对所有的成立,但不是等价的范数,为什么？ 实际上,对于则, ,因此不存在常数,使得对所有的成立,所以不是等价的范数. 3.4 闭线性算子与闭图像定理 在量子力学和其他一些实际应用中,有一些重要的线性算子并不是有界的,例如有一类在理论和应用中都很重要的无界性算子-闭线性算子,在什么条件下闭线性算子是连续呢?这一问题的研究,和1910年在关于空间对称算子的工作中

15、就开始了,然后是空间中共轭算子连续性的研究,1932年才发展成闭线性算子在赋范空间上的结果,这就是非常著名闭图像定理.若和是赋范线性空间,则在乘积空间中可以定义范数,使之成为赋范空间,对和,线性空间的两种代数运算是 并且范数定义为例3.4.1 乘积空间,且. 明显地,有如下的结论. 定理3.4.1 设和都是赋范空间,则当且仅当且. 定理3.4.2 若和都是空间,则也是空间. 在下面,考虑从定义域到的线性算子,为的子空间.定义3.4.1 设,是赋范空间,是定义域上的线性算子,若的图像在赋范空间中是闭的,则称为闭线性算子. 定理3.4.3 设,是赋范空间,是线性算子,则是闭线性算子当且仅当对任意,

16、满足时,必有且.证明 若是闭线性算子,则是闭集,则对于任意,当时, 有,因此,由的定义,有,. 反之,若,且时一定有, 从而.所以,是闭集,即是闭线性算子.定理3.4.4 设,是赋范空间,是线性连续算子,若是闭集,则一定是闭线性算子. 证明 设,则由是连续的知,故.由于是闭集,因此,所以是闭线性算子. 推论3.4.1 若是线性连续算子,则一定是闭线性算子.这是因为这时是闭集,反过来,一般来说,闭线性算子不一定连续. 例3.4.2 设为上具有连续导数的,则是一个赋范空间,在上定义线性算子如下：则是到的闭线性算子,但不是线性连续的.事实上,若 , ,则在上“一致收敛”于,并且在上也“一致收敛”于,

17、因而具有连续的导函数,且,所以,且,即是闭线性算子. 令,则且,但,因此不是线性连续算子.问题3.4.1 若是到的闭线性算子,则是否把闭集映为闭集呢? 例3.4.3 对任意,定义线性算子为则是到的线性连续算子,且,因此是闭线性算子. 对于闭集,不是的闭子集.事实上,对于, ,且有,使得,故,但因为趋于,故不存在,使得,所以,即不是的闭子集. 在什么条件下闭线性算子一定是连续呢？这就是闭图像定理所研究的问题.定理3.4.5（闭图像定理）设与是空间,是闭线性算子,(这里),若在中是闭集,则一定是到的线性连续算子. 证明 由于和是空间,因此也是空间,又由于是空间,且是的闭子集,因此作为子空间是完备的

18、. 由是闭线性算子可知是的闭子集,由于是线性的,因而是的子空间,从而是的完备子空间. 定义从空间到空间的线性算子： 则是线性算子,且 . 故,从而.由的定义可知是双射,因而由逆算子定理可知存在,且,故对任意,有 所以,是到的线性连续算子. 若的定义域,即是到的线性算子,则闭图像定理有下面简明形式.推论3.4.2 设,是空间,且是到的线性算子,则当且仅当是闭线性算子. 例题3.4.1 设,是空间,若,并对任意的 ,方程都有唯一解,试证明由此定义的算子,有.证明 容易验证是线性算子,要证明是线性连续算子,只需证明是闭算子.对于, ,有.由于都是连续的,因此 从而 所以,是闭算子,由闭图像定理可知,

19、.习题三3.1 设算子,试证明是线性有界算子,并求.3.2 设,算子, ,试证明是线性有界算子,并求.3.3 对任意,定义,试证明,并求.3.4 设,试证明.3.5 设和是实赋范空间,为到的连续可加算子,试证明.3.6 设是所有收敛实数列全体,范数,为实数列,若对任意,都有,试证明为上的线性连续泛函,并且.3.7 设,是赋范空间, 试证明是空间当且仅当是空间.3.8 设是空间,且对任意,试证明.3.9设是实赋范空间, 试证明对所有的,都有当且仅当存在,使得对任意的正整数和,都有.3.10 设,是赋范空间,是线性算子,且是满射,若存在,使得对任意成立,试证明是线性连续算子,且.3.11 设为赋范

20、空间到赋范空间的闭线性算子,且存在,试证明是闭线性算子.3.12 设是空间,是上的非零线性泛函,试证明一定是开映射.3.13 设是赋范空间,是从到的线性算子,是从到的线性算子,若对任意,有,试证明和都是线性连续算子.3.14 设,是赋范空间,为到的闭线性算子,为的紧集,试证明为的闭集.3.15 设为空间,为到的线性算子,若,且和都是闭的,试证明.3.16 设,赋范空间,若强收敛于,试证明弱收敛于. 3.17 设,试证明强收敛于,但不一致收敛于.哈恩 Hans Hahn 于1879年9月27日出生于奥地利的维也纳,他在维也纳大学跟Gustav Ritter von Escherich攻读博士学位

21、, 1902获得博士学位，博士论文题目为Zur Theorie der zweiten Variation einfacher Integrale.他是切尔诺夫策(Chernivtsi)大学 (19091916), 波恩大学 (19161921)和维也纳大学(19211934)的教授.Hahn的最早的结果对古典的变分法做出贡献,他还发表了关于非阿基米德系统的重要论文, Hahn是集合论和泛函分析的创始人之一,泛函分析的重要定理之一, Hahn-Banach定理就是 Hans Hahn(1879-1934)以他的名字命名的.他在1903 到1913间对变分法做出了重要的贡献.在1923他引进了H

22、ahn序列空间.他还写了关于实函数的两本书Theorie der reellen Funktionen (1921)和Reelle Funktionen (1932). Hahn获得过很多荣誉，包括1921年的Lieban奖,他是奥地利科学院院士,他还是Calcutta数学学会名誉会员.Hahn对数学的成就主要包括著名的Hahn-Banach定理, 其实很少人知道,实际上Hahn独立地证明了(Banach和斯坦豪斯得出的)一致有界原理. 其他定理还有Hahn分离定理、维他利-哈恩-萨克斯定理(Vitali-Hahn-Saks theorem)、哈恩-马祖凯维奇定理（Hahn-Mazurkiewicz theorem）和哈恩嵌入定理(Hahn embedding theorem)等. Hahn的数学贡献不限于泛函分析,他对拓扑学、集合论、变分法、实分析等都有很好的贡献.同时,他也活跃于哲学界,是维也纳学派的一员.90