高考数学分类汇编函数与导数

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1、1（安徽）（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A） （B） （C） （D）答案：A2.（安徽）9、函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A）， （B），（C）， （D），3.（安徽） 15. 设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）；;.4.（北京）7如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是A BC D答案C5.（北京）8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油

2、最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D6.（福建）2、下列函数为奇函数的是A. B. C. D. 答案：D7.(福建) 10、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是A. B. C. D. 答案：C8.（新课标1）12.设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )A.，1) B. ) C. ) D. ，1)答案：D9.（新课标1）(13)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a 答案：110.（新课

3、标2）（5）设函数f（x）=则f（-2）+f（）=（A）3 （B）6 （C）9 （D）1211.（新课标2）（12）设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(-1)=0，当x0时，x f(x)- f(x)0成立的x的取值范围是（ ）（A）（，-1）（0,1） （B）（，0）（1,+） （C）（，-1）（-1,0） （D）（，1）（1,+） 12.（广东）3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A B C D13.（湖北）6已知符号函数 是上的增函数，则 A B C D答案：B14.（湖北）12函数的零点个数为 答案：215.（湖南）5.设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上

4、是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数答案：A16.（湖南）15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则a的取值范围是 .答案：（）（）17.（江苏）13.已知函数，则方程实根的个数为 。答案418. （山东）（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a)=的a的取值范围是（）（A）,1（B）0,1 （C）（D）1, +答案：C19.（山东）(14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 答案：20.（陕西）9.设，若，则下列关系式中正确的是A B C D答案：B21.（陕西）12.对二次函数（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有

5、且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A-1是的零点 B1是的极值点 C3是的极值 D.点在曲线上答案：A22.（陕西）15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则P的坐标为 答案：（1,1）23.（四川）9. 如果函数在区间单调递减，则mn的最大值为（A）16 （B）18 （C）25 （D）答案：B24.（四川）13.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时。 答案：2425.（四川）15.已知函数，（其中）。对于不

6、相等的实数，设，现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数，都有；（2）对于任意的a及任意不相等的实数，都有；（3）对于任意的a，存在不相等的实数，使得；（4）对于任意的a，存在不相等的实数，使得。其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。答案：26.（天津）（7）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为（A） （B） （C） （D） 答案：C27.（天津）（8）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）答案：D28.（浙江）7.存在函数满足，对于任意都有（ ）A. B. C. D. 答案：D29.（安徽）21.设函数.

7、（1）讨论函数内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记上的最大值D；（3）在（2）中，取30.（北京）18（本小题13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值解：（I）因为=ln（1+x）-ln（1-x），所以 =，=2. 又因为=0，所以曲线y= 在点（0 ，）处的切线方程为y=2x. （）令=-2(x+)，则 =-2（1+）=. 因为0（0x=0，x（0，1）， 即当x（0，1）时，2(x+).（）由（）知，当k2时，k(x+)对x（0，1）恒成立. 当k2时，令=- k(x+)，则 =-k（1+）=. 所以当时，0，因此在区

8、间（0，）上单调递减. 当时，=0，即2时， k(x+)并非对x（0，1）恒成立. 综上可知，k的最大值为2。31.（福建）20.已知函数，(1)证明：当；(2)证明：当时，存在,使得对(3)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有.解法一：(1)令则有当 ,所以在上单调递减,故当.(2)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意.当.取,所以在上单调递增, ,即.综上，当时，总存在,使得对任意的.(3)当时，由（1）知，对于，令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的.此时,令，则有故当时，,在上单调递增，故,即,记与

9、中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）当时，由（1）知，对于，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在.当时，取由（2）知存在,使得.此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，故满足题意的t不存在.当，由（1）知，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意.综上，.32.（新课标1）(21)(本小题满分12分)已知函数f(x) ()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；()用 表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x

10、)零点的个数解析：（21）解：（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点因此，当（II）当是的零点综上，当33.（广东）19. （本小题满分14分）设，函数(1) 求的单调区间；(2) 证明在上仅有一个零点；(3) 若曲线在点P处的切线与x轴平行，且在点处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：.（湖北）22（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，e为自然对数的底数（）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（）令，数列，的前项和分别记为, 证明：. 解析：（）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为

11、. 当时，即.令，得，即. （）；.由此推测： 下面用数学归纳法证明. （1）当时，左边右边，成立. （2）假设当时，成立，即.当时，由归纳假设可得.所以当时，也成立. 根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立. （）由的定义，算术-几何平均不等式，的定义及得. 即. 34.（湖南）21.已知，函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明：（1）数列是等比数列（2）若，则对一切，恒成立. 解析：21、证明：（I） 其中tan=，0.令=0，由x得x+=mx, 即x=-，m.对kN，若2kx+(2k+1) ,即2k-x0；若（2k+1）x+(2k+2) ,即（2k+1）-x(2k+2) -，则0

12、.因此，在区间（m-1），m-）与（m-，m）上，的符号总相反.于是当x= m-(m)时，取得极值，所以 .此时，易知0，而 是常数，故数列是首项为=，公比为的等比数列（II）由（I）知，=，于是对一切,0）设g（t）=（t）0），则.令=0得t=1当0t1时，所以g（t）在区间（0,1）上单调递增.从而当t=1时，函数g（t）取得最小值g（1）=e因此，要是（）式恒成立，只需，即只需.而当a=时，tan=且.于是，且当n时，.因此对一切,，所以g（）.故（）式亦恒成立.综上所述，若a，则对一切，恒成立.35.（江苏）19.（本小题满分16分）已知函数。（1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是

13、与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。解：（1），令，解得，当时，因为（），所以函数在上单调递增；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，时，时，所以函数在，上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而或又，所以当时，或当时，设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立，从而，且，因此此时，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得综上36.（山东）(21)(本小题满分14分) 设函数，其中。 （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若0，成立，求的取值范围

14、。 解：（）由题意知 函数的定义域为， ， 令， （1）当时， 此时，函数在单调递增，无极值点； （2）当时， 当时，, ，函数在单调递增，无极值点； 当时， 设方程的两根为， 因为， 所以， 由 ，可得， 所以 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 因此 函数有两个极值点。 （3）当时， 由，可得， 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减； 所以函数有一个极值点。 综上所述： 当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点。 （II）由（I）知， （1）当时，函数在上单调递增， 因为 ， 所以 时，符合题意； （2）当时，由，得， 所以

15、函数在上单调递增， 又，所以时，符合题意； （3）当时，由，可得， 所以时，函数单调递减； 因为， 所以时，不合题意； （4）当时，设， 因为时， 所以 在上单调递增。 因此 当时， 即 ， 可得 ， 当时， 此时 ，不合题意， 综上所述，的取值范围是37.（四川）21.已知函数（1）设（2）证明：存在解析： （I）由已知，函数的定义域为，所以.当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（II）由，解得.令.则，.故存在，使得.令，.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.当时，有，.由（1）知，函数在区间上单调递增.故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.综上

16、所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.38.（天津）20. （本小题满分14分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证： .解析： （I）解：由=，可得=，其中，且.下面分两种情况讨论： （1）当为奇数时. 令=0，解得，或. 当变化时，的变化情况如下表：-+- 所以，在，上单调递减，在内单调递增。（2）当为偶数时. 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减.（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程

17、为，即.令，即，则. 由于在上单调递减，故在上单调递减.又因为，所以当时，当时，所以在内单调递增，在上单调递减，所以对于任意的正实数，都有，即对于任意的正实数，都有.（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，即对于任意的，.设方程的根为，可得.因为在上单调递增，且，因此.由此可得.因为，所以，故.所以，.39.（浙江）18.（本题满分15分）已知函数f（x）=+ax+b（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间-1,1上的最大值。（1）证明：当|a|2时，M（a，b）2;（2）当a，b

18、满足M（a，b）2时，求|a|+|b|的最大值.解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，故，由，得，当，时，且在上的最大值为，即，的最大值为.（重庆）（20）（本小题满分12分，（）小问7分，（）小问5分） 设函数。（）若在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（）若在上为减函数，求a的取值范围。 解：（）对求导得 因为在处取得极值，所以即. 当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得 （）由（）知 令 由解得 当时，即，故为减函数； 当时，即，故为增函数； 当时，即，故为减函数； 由在上为减函数，知解得 故的取值范围为