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1、文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站平面与点的相关位置探讨摘 要该课题主要完善了离差的概念，并对点与两个平面的相关位置进行了推导，证明得出结论。离差是探讨平面与点相关位置的最基本概念，但经分析发现教材所给定义又并不完整,只给出了平面不过原点时，但当平面通过原点时，却并未说明 该课题经总结归纳证明得出不在平面上的点与两平面位置关系 1两平面平行 2两平面相交关键词: 离差，平面与点，平行平面，相交平面。目 录 引 言11.离差概念的完善12.点于两个平面的位置关系22.1两平面和平行32.2 两平面与相交4结 论6参考文献7致 谢86引 言 离差是探讨平面与点相关位置关系的基本概念，但是经分析，教
2、材所给定义并不完整，并且教材只讨论了空间一个平面与一个点的相关位置，对空间点与多个平面的相关位置均未涉及。 平面与点的相关位置探讨，多年来各级各类科研和教育机构的学者已经对此课题进行了大量研究，并得出了很多研究成果，如张启贤在点与两平面的位置关系的判别条件只主要讨论了不在平面和上的点M与两平面和 的位置关系的判别条件：若平面与平行，点M是否在和之间；若和相交但不垂直，点M是由平面与所构成的锐角二面角内还是在钝角二面角内。杨尚在点与平面的相关位置的拓广中主要讨论了利用离差具判别点与平面的位置关系的特性，用以判别多个平面的位置关系。赵峰，冯春明，孟广武平面与点相关位置教学中若干问题的探讨中讨论了平
3、面划分空间问题，并给出两平行平面相关位置及距离公式。陈德华在点与平面相关位置的进一步探讨中利用平面到点的离差对点与平面的相关位置作了进一步的探讨，得出一系列判定结果。 1.离差概念的完善 定义1 如果自点M到平面引垂线，其垂足为Q，那么矢量在平面的单位法向量上的射影叫做点M与平面间的离差，记作=由教材中关于平面法式方程的规定易知，当平面不过原点时，的正方向取做由原点O指向平面的法矢量的方向；当平面通过原点时，的正方向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个。因此当平面通过原点时，由于得不确定，从而导致定义中离差=取值不唯一。这表明离差的概念有待于进一步完善。因而当平面：通过原点时，对定义进行如下补
4、充规定： 若C0,即平面不过z轴时，规定的正方向为与z轴夹角成锐角或零度角； 若C=0，但B0，即平面通过z轴，但不过y轴时，规定的正方向为与y轴夹角成锐角或零度角； 若C=B=0，但A0，即平面与坐标面YOZ平行时，规定的正方向为X轴。在上述补充规定下，由于对任意平面单位法矢量唯一确定，从而离差=唯一确定。2.点于两个平面的位置关系点在平面或上；点不在平面和上； 若与平行 若与相交2.1两平面和平行 定理1 设两平行平面：和：，（:=:）点M(，)不属于和，且d1=和d2=分别为点M到平面和的距离，则： 若原点O位于和之间 点M在的充要条件是d1+d2=。 点M不在和之间的充要条件是d1+d
5、2，若原点O位于和的一侧点M在的充要条件是d1+d2= 点M不在和之间的充要条件是d1+d2其中， 分别为平面和的法式化因子证 d1=,d2= 而平面与的法式方程分别为和 两平面与平行，当原点O位于和之间时两平面与的距离d= 当原点O位于和的一侧 两平面与的距离d=。 若原点O位于和之间 点M在与之间的充要条件是d1 + d2=d，即+=。 点M不在与之间的充要条件是d1+d2d，即 +，若原点O位于和的一侧 点M在与之间的充要条件是d1 + d2=d，即+= 点M不在与之间的充要条件是d1+d2d，即 +证毕 例1 判别点M与平面：，和 ：的位置关系。 解： 与平行。 += ，所以点M在与之
6、间。 2.2 两平面与相交定理2 设两相交平面：，和： （:）但不垂直于，点M(，)，M，M，则 如果坐标原点O在由与所构成的锐角二面角内，那么 点M在由与所构成的锐角二面角内的充要条件是0 点 M在由与所构成的钝角二面角内的充要条件是0 如果坐标原点O在由与所构成的钝角二面角内，那么 点M在由与所构成的锐角二面角内的充要条件是0 点M在由与所构成的钝角二面角内的充要条件是0 其中为点M与平面（i=1,2）的离差。证 设点O与和的离差分别为和则0，0 如果坐标原点O在由与所构成的锐角二面角内， 如果点M在由与所构成的锐角二面角内，则两点O,M在由与所构成的同一个二面角内或对顶二面角内。 当O,
7、M在由与所构成的同一个二面角内，有0且0，即0 当O,M在由与所构成的对顶角内，有0且0，即0 由于以上步骤是可逆的，所以反过来也成立。 如果点M在由与所构成的钝角二面角内，则两点O,M在由与所构成的相邻二面角内。 0，0，或者0，00反之也成立。同理可证明。 例 2 求由平面： 与 ：所构成的锐角二面角内的角平分面方程。解 原点O指向平面和的单位法矢量分别为 和= 原点O在由平面与所构成的锐角二面角内。在所求平面上任取一点M，则点M也在由与所构成的锐角二面角内。 由定理2得 , 又 即有 为所求结 论本文主要完善了离差的概念，利用完善后的离差概念推导出空间点与两个平面的位置关系，并进行了证明
8、。当平面：通过原点时，对定义进行如下补充规定： 若C0,即平面不过z轴时，规定的正方向为与z轴夹角成锐角或零度角； 若C=0，但B0，即平面通过z轴，但不过y轴时，规定的正方向为于y轴夹角成锐角或零度角； 若C=B=0，但A0，即平面与坐标面YOZ平行时，规定的正方向为X轴。 总结归纳证明得出不在平面上的点与两平面位置关系的判别条件为： 1设两平行平面和，点M不属于和，且d1和d2分别为点M到平面和的距离，则： 点M在和之间的充要条件是d1+d2=。 点M不在和之间的充要条件是d1+d2， 其中， 分别为平面和的法式化因子 2设两相交平面和，但1不垂直于，点M不属于和。若坐标原点O在由和所构成
9、放入锐角二面角内，那么点M在由和所构成放入锐角二面角内的充要条件是0点M在由和所构成放入钝角二面角内的充要条件是0若坐标原点O在由和所构成放入钝角二面角内，那么点M在由和所构成放入锐角二面角内的充要条件是0点M在由和所构成放入钝角二面角内的充要条件是0，其中、为点M与平面和的离差。参考文献【1】赵峰，冯春明，孟广斌平面与点位置教学中若干问题的探讨C大学数学，2008，6【2】杨尚点与平面相关位置的拓广A阴山学刊，20065【3】吕林根,许子道等编解析几何M高等教育出版社，19874【4】张启贤点与平面位置关系的判别条件A三明高等专科学校学报，20016【5】陈德华点与平面相关位置的进一步探讨C工科数学 ，200112
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