正余弦定理的应用

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1、正余弦定理的应用题型一求高度问题例1如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45,CD./BAD=120,又在B点测得/ABD=45,其中D点是点C到水平面的垂足，求山高跟踪训练1(1)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30则甲、乙两楼的高分别是.(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h,在地面上选一基线AB,AB=20m,在A点处测得P点仰角/OAP=30,在B点处测得P点的仰角/OBP=45,又测得/AOB=60,求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)题型二三角形的面积公式及其应用例2在厶ABC中，角A,B

2、,C的对边分别为a,b,c,B=n,cosA=4,b=,3.35(1)求sinC的值；(2)求厶ABC的面积.跟踪训练2如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.，题型三三角形面积的最值问题例3已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB，求ABC面积的最大值.跟踪训练3若厶ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.题型四三角形中的综合问题例4在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

3、设SABC的面积，满足S3=(a2+b2-c2).(1)求角C的大小；(2)求sinA+sinB的最大值.跟踪训练4已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b2,a2).若m/n,求证：ABC为等腰三角形;n若mlp,边长c=2，/C=3,求厶ABC的面积.题型一一求咼度冋题例1如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45,/BAD=120,又在B点测得/ABD=45,其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD丄平面ABD，/CAD=45,所以CD=AD.因此只需在ABD中求出AD即可

4、,在ABD中，/BDA=18045120=15o800X十,ABAD心ABsin452由三，。得AD=,=800(3+1)(m).sin15sin45sin15寸6_寸24即山的高度为800(,3+1)m.跟踪训练1(1)甲、乙两楼相距a,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是.答案.3a,豎3a解析甲楼的高为乙楼的高为3aatan30=3a-33a=3a.(2)如图，地平面上有一旗杆0P,为了测得它的高度h,在地面上选一基线在A点处测得P点仰角/OAP=30在B点处测得P点的仰角/OBP=45=60求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)1于是si

5、nC=sinA1cosA+2sinA=3+4-310AB,AB=20m,又测得/AOBb=,3.3-A,sinA=解在RtKOP中，/OAP=30OP=h.QA=OP=J3htan30wsinC=3+43103(2)由(1)知sinA=7,5又因为B=3,b=.3，所以在厶ABC中，由正弦定理得a=sinB=53sinB5于是ABC的面积S=*absinC=1x6.3X3+4,3TO-跟踪训练2如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.解连接BD，则四边形ABCD的面积为S=Sabd+cdb=TABADsinA+*BCCDsinC

6、./A+C=180sinA=sinC,c11-S=2(ABAD+BCCD)sinA=?(2X4+6X4)sinA=16sinA.在AABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD22ABADcosA=22+422X2X4cosA=2016cosA.在CDB中，由余弦定理得BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC.32,.cosA=1,2016cosA=5248cosC.cosC=cosA,.64cosA=又A(0；180,AA=120/-S=16sin120=83.题型三三角形面积的最值问题例3已知ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin

7、2Asin2C)=(.2ab)sinB，求ABC面积的最大值.解由正弦定理得a2c2=C.2ab)b,即a2+b2c2=,2ab.由余弦定理得cosC=a2+b2c22abV2ab_V22ab=2，nC(0,n,.C=4.11I23S=absinC=x2RsinA2RsinB=-2R2sinAsinB=.2R2sinAsin(2nA)=.2R2sinAfcosA+sinA)=R2(sinAcosA+sin2A)=R2(2A詐(n，4兀)n(2A；)(，1，+1面积S的最大值为2-R2跟踪训练3若厶ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2(ab)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S

8、=c2(ab)2=c2a2b2+2ab=2ab(a2+b2c2),由余弦定理得a2+b2c2=2abcosC,/c2(ab)2=2ab(1cosC)，即S=2ab(1cosC),1/S=2absinC,/sinC=4(1cosC).sin2A+-)又Tsin2C+cos2C=1,.17cos2C32cosC+15=0,=R2fsin(2A力+2158解得cosC=17或cosC=1(舍去).sinC=万，14424S=2absinC=jya(2a)=(a1)+乔4a+b=2,0a2,当a=1,b=1时，Smax=17.题型四三角形中的综合问题例4在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,

9、c,设SABC的面积，满足S=-43(a2+b2c2).(1)求角C的大小；(2)求sinA+sinB的最大值.解由题意可知absinC=x2abcosC.所以tanC=J3，因为0Cn所以C=fn(2)由已知sinA+sinB=sinA+sinnA32ncosA+gsinA=,3sinA+6“(。(争,n当A=3,即ABC为等边三角形时取等号.所以sinA+sinB的最大值为.3.跟踪训练4已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b2,a2).(1)若m/n,求证：ABC为等腰三角形；n若mlp,边长c=2，/C=3,求厶AB

10、C的面积.(1)证明Tm/n,.asinA=bsinB.2R=b2R(2R为SBC外接圆直径),.a2=b2,a=b,公BC为等腰三角形.解由题意可知mp=0，即a(b2)+b(a2)=0.a+b=ab.由余弦定理得4=a2+b2ab=(a+b)23ab,(ab)23ab4=0,.ab=4或1(舍),c11n庁Sbc=gabsinC=24sin3=3.故AABC的面积为3.1在RtABOP中，/OBP=45；.OB=OP=h.tan45在AAOB中，AB=20,/AOB=60；由余弦定理得AB123=OA2+OB22OAOBcos60,即202=(V3h)2+h223hhg，解得h2=4厂176.4,.h13m.24/3题型二三角形的面积公式及其应用例2在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=n,cosA=4,35(1)求sinC的值；(2)求厶ABC的面积.-n42n解因为角A,B,C为AABC的内角，且B=-,cosA=5所以C=