四川省自贡市普通高中高三数学第一次诊断性考试试题理含解析

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1、四川省自贡市普通高中2020届高三数学第一次诊断性考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知，则（ ）A. B. 或C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可【详解】，由B中不等式变形得： ，解得： ，即 ，AB=，故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】计算出，即可求出复数z的虚部【详解】 复数的虚部是2故选D.【点睛】本题考查了

2、复数的除法运算，其关键是熟练掌握其运算法则3.等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 66 B. 99 C. 110 D. 143【答案】D【解析】【分析】由，则 由等差数列的前n项和公式可求.【详解】，则则 故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的前n项和公式.属基础题.4.在矩形中，若向该矩形内随机投一点，那么使与的面积都小于4的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积小于4，则三角形的高要，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率，以A

3、B为底边，要使面积小于4，由于，则三角形的高要 ，同样，P点到AD的距离要小于 ，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是，使得ABP与ADP的面积都小于4的概率为： ；故选：A【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键5.从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A. 6 B. 12 C. 18 D. 24【答案】C【解析】【分析】由于组成的数是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理可得.【详解】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种

4、情况: 奇偶奇，偶奇奇，因此总共有种.故选C.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，排列，属于中档题.6.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（ ）A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称【答案】A【解析】【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论【详解】将函数的图象向右平移个单位后得到函数 的图象，故当x时，2x，故函数g（x）在上单调递增，为偶函数，故选A【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，

5、余弦函数的图象性质，属于基础题7.已知数列，则是数列是递增数列的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】若“a1a2a3”，则“数列an是递增数列”，不一定，充分性不成立，若“数列an是递增数列”，则“a1a2a3”成立，即必要性成立，故“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的必要条件故选B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.8.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为63，36，则输出的（ ）A

6、. 3 B. 6 C. 9 D. 18【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【详解】由a=63，b=36，满足ab，则a变为63-36=27，由ab，则b变为36-27=9，由ba，则a =27-9=18，由ba，则，b=18-9=9，由a=b=9，退出循环，则输出的a的值为9故选：C【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题9.在四边形中，则（ ）A. 5 B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算化简.利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】 【点睛】

7、本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题10.若长方体的顶点都在体积为的球的球面上，则长方体的表面积的最大值等于（ ）A. 576 B. 288 C. 144 D. 72【答案】B【解析】【分析】求出球的半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是球的直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值【详解】由球的体积为，可得 设长方体的三边为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，由题意可知 ，长方体的表面积为： ；当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大故选B.【点睛】本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考

8、查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用11.如果函数满足（），则的一个正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，可知,即可确定函数周期.【详解】根据，可知,令，则有，故可得周期,选A.【点睛】本题主要考查了函数的周期 ，属于中档题.12.下列四个命题：；，其中真命题的个数是（ ）（为自然对数的底数）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据所要比较大小的式子可以构造函数，利用其单调性即可求解.【详解】构造函数，当时，当时，所以函数在时单调递增，在时单调递减，而，所以，化简得故错误，而，所以，即，化简可得故正确，因为，

9、所以，化简可得 ，故正确，因为当时取最大值，若成立，可得，即，显然不成立，故错误，综上可知选B.【点睛】本题主要考查了利用函数的增减性比较大小，涉及构造函数，利用导数求函数的单调性，属于难题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13._【答案】【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果【详解】 即答案为.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题14.在的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式常数项的值等于_【答案】【解析】【分析】利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公

10、式，求得展开式中的常数项.【详解】因为的二项展开式中，所有项的系数之和为4n=1024, n=5,故的展开式的通项公式为Tr+1=C35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C3=15,故填15.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题.15.通常，满分为分的试卷，分为及格线.若某次满分为分的测试卷，人参加测试，将这人的卷面分数按照，分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以取整”的方法进行换算以提高及格率（实数的取整等于不超过的最大整数），如：某位学生卷面分，则换算成分作为他的最终

11、考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为_（结果用小数表示）【答案】【解析】分析：结合题意可知低于36分的为不及格，从而算出及格率详解：由题意可知低于36分的为不及格，若某位学生卷面36分，则换算成60分作为最终成绩，由频率直方图可得组的频率为，所以这次测试的及格率为点睛：本题考查了频率分布直方图，频率的计算方法为：频率，结合题目要求的转化分数即可算出结果。16.函数存在唯一的零点，且 ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可【详解】（i）当 时， ，令 ，解得 ，函数有两个零点，舍去（ii）

12、当 时， ，令，解得x=0或 当a0时，0，当x或x0，f（x）0，此时函数f（x）单调递减；当0x-时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增故x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点函数f（x）=ax3+3x2-1存在唯一的零点x0，且x00，则 即a24得a2（舍）或a-2当a0时0，当x或x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当x0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减x=是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点f（0）=-10，函数f（x）在（0，+）上存在一个零点，此时不满足条件综上可得：实数a的取值范围是（-，-2）故答案为：（-，-2）【点睛

13、】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知向量（1）当时，求的值；（2）已知钝角中，角为钝角，分别为角的对边，且，若函数，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据得出，化简得出结果；（2）根据正弦定理得出，代入f（B），求出f（B）的值【详解】（1）,，即 ,（2），由角为钝角知 ，.【点睛】本题考查了平面向量垂直与坐标的关系，三角函数的化简求值，属于中档题18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查

14、机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答

15、案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以，文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X

16、01234X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.19.若数列的前项和为，首项，且（1）求数列的通项公式；（2）若，令，设数列的前项和，比较与大小.【答案】（1）或者；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推关系，当可得，化简即可求出;（2）利用裂项相消法求和,即可得出结果.【详解】（1）且 （2）【点睛】本题主要考查了数列的递推关系、通项公式，裂项相消法，属于中档题.20.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，.（1）证明：；（2）点在棱上，且，若二面角大小的余弦值为，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连OC

17、,OP，可证，可得，从而，再证明，即可得证（2）分别以OC,OD,OP为建立空间直角坐标系，计算平面ABM和平面ABD的法向量，利用其夹角的余弦公式即可求出.【详解】（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP 为等边三角形，且O是边AD的中点平面底面，且它们的交线为AD(2)分别以OC,OD,OP为建立空间直角坐标系，则,即：设，且是平面ABM的一个法向量，取而平面ABD的一个法向量为【点睛】本题主要考查了线线垂直、线面垂直的判定与性质，二面角的求法，属于中档题.21.已知函数（1）求的单调区间；（2）若有极值，对任意的，当，存在使，证明：【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】

18、（1）求导数后根据a可分类讨论，找到导数大于零、小于零的解即可求出单调区间;（2）由（1）有极值，则，由题设化简得，作差比较，构造函数，利用导数可得，进而可得，再利用由知在上是减函数，即可得出结论.【详解】（1）的定义域为，.若，则，所以在上是单调递增.若，当时，单调递增.当时，,单调递减.(2)由（1）当时，存在极值.由题设得又， 设.则.令，则所以在上是增函数，所以又，所以，因此即又由知在上是减函数，所以，即.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，涉及构造函数，属于难题.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数，），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴

19、，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：（1）求圆的直角坐标方程；（2）设点，若直线与圆交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数t，可得直线l的普通方程，根据cos=x，sin=y，2=x2+y2可得圆C的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得的值（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案【详解】（1）圆 （2） 将 代入设点所对应的参数为则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）对任意实数，都有成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为，作图根据图象可知.【详解】（1）当时，当时 当时当时 综上: （2）对任意实数，都有成立，即根据图一所示当时则根据图二所示当时则根据图三所示当时则.综上可知【点睛】本题考查了绝对值的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题