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1、金融工程金融工程 第第8章章Meton期权模型及外汇期权、期权模型及外汇期权、期货期权期货期权18.1 Merton期权模型期权模型 B-S模型并未考虑标的资产支付现金股息。模型并未考虑标的资产支付现金股息。Merton将将B-S模型推广到支付现金股息下模型推广到支付现金股息下的期权定价模型的期权定价模型Merton模型。模型。模型假设：模型假设：B-S模型的模型的8个假设个假设标的资产在期权的有效期内连续支付股息，标的资产在期权的有效期内连续支付股息，q是每单位时间是每单位时间t 的股息率。的股息率。2 在离散的情形下，模型构建无风险组合在离散的情形下，模型构建无风险组合()ffss 222
2、21()2ffstts抖D =-+sD抖组合价值的变动可以表示为组合价值的变动可以表示为3ffssD =-D+D22221()2()ffffsstswtsssfs ts ws 22221()2ffstts 4 现在由于有了股息，则在现在由于有了股息，则在t的时间内组合的价值的时间内组合的价值变动包括两项：变动包括两项：1、股息：、股息：()fQqSts=D2、资本利得、资本利得22221()2ffrtstts抖D 兆 譊=-+sD抖这样组合总价值的变化为这样组合总价值的变化为22221Q=()2fffsqSttss-*抖D=D-+sD抖5 由于该组合是无风险的，根据无套利原则由于该组合是无风险
3、的，根据无套利原则22221=()2()fffsqSttssfrtrfSts-*抖D-+sD抖=D=-+D这样，具有股息收益的股票期权的偏微分这样，具有股息收益的股票期权的偏微分方程为方程为22221()2fffrq ssrftss抖+-+s=抖6 只要将只要将B-S模型中的模型中的r以以r-q代替，就得到具有股息代替，就得到具有股息的期权公式的期权公式12()()rCSN dXeN d()12()()r qCSN dXeN d21ln(/)(/2)S Xrqd 同样同样22ln(/)(/2)S Xrqd 7 若以若以S和和ST分别代表在无股息支付下的现在分别代表在无股息支付下的现在股价和到期
4、日股价。股价和到期日股价。若有股息，则到期日含权的股价是若有股息，则到期日含权的股价是qTS e于是，现在不含权股价为于是，现在不含权股价为sqetTSqTS eTSsqe8Merton模型模型 将将S改为改为qse12()()qrCSeN dXeN d212ln(/)(/2)ln(/)(/2)qseXrdS Xrq 222ln(/)(/2)ln(/)(/2)qSeXrdS Xrq Merton模型得到的结果是一样的。模型得到的结果是一样的。98.2 外汇期权模型外汇期权模型 1983，Garman和和Kohlhagen推导出来，该模推导出来，该模型也可以由型也可以由Merton模型的转换求得
5、，假设模型的转换求得，假设(/$)SS rmb汇率汇率设定欧式外汇买权，行权时卖方付出设定欧式外汇买权，行权时卖方付出S单位的单位的RMB收到收到1单位的单位的$（美元是买权的标的物美元是买权的标的物）。）。()CC St，看涨期权的卖方则要准备美元让买方行权，注意看涨期权的卖方则要准备美元让买方行权，注意美元此期间有利息收益。美元此期间有利息收益。10 若美元支付连续利率若美元支付连续利率rf，即相当于股票连续，即相当于股票连续支付现金股息。因此，在支付现金股息。因此，在Merton模型内，模型内，只要将股息率只要将股息率q改为改为rf，将股价，将股价S改为汇率改为汇率的定义，即的定义，即1
6、2()()frrCSeN dXeN d21ln(/)(/2)fS Xrrd 这里，这里，r为本币利率。为本币利率。118.3 欧式期货期权的定价模型欧式期货期权的定价模型 期货期权的标的是期货。期权买权允许持期货期权的标的是期货。期权买权允许持有人在买权到期时买进期货，获得交割额有人在买权到期时买进期货，获得交割额为为TFX卖权的交割金额为卖权的交割金额为TXF12tTtFTFT*TF购买买权购买买权行权获得期货行权获得期货期货到期期货到期注意：这里注意：这里FT是是期权到期时刻期权到期时刻T的期货价格的期货价格，并不是期货到期的价格。并不是期货到期的价格。13期货期权的定价期货期权的定价 令
7、期货价格令期货价格F的随机过程为的随机过程为ITO过程过程dFFdtFdw 期货买权价值期货买权价值C(F,t)的随机过程由的随机过程由ITO引理表示为引理表示为22221()2ccccdcFFdtF dwtFFF14 构造无风险组合构造无风险组合()ccFcFcF=-+d=-+=-因为在期初买进期货并不支付任何成本！因为在期初买进期货并不支付任何成本！在时间变动在时间变动dt下，组合的价值的变化包括两个部下，组合的价值的变化包括两个部分：买权价值变动、持有期货的价值变化分：买权价值变动、持有期货的价值变化15cddcdFF=-+22221()2()ccccFFdtF dwtFFFcFdtFd
8、wF 22221()2ccFdttF 它表明在它表明在dt下，组合不含有随机项，因此它是无风险的组合。下，组合不含有随机项，因此它是无风险的组合。1622221()2ccFdtr dtcrdttF抖-+s=兆-抖所以，求解期货买权的偏微分方程为所以，求解期货买权的偏微分方程为222212ccFcrtF抖+s=抖对比对比Merton微分方程微分方程22221()2fffrq ssrftss抖+-+s=抖17 期货期权的偏微分方程，实际上是期货期权的偏微分方程，实际上是rq时时的的Merton方程，变量代换后，我们有方程，变量代换后，我们有12122122()()()()ln(/)(/2)ln(/)(/2)qrr qrCFeN dXeN deFN dXN dFXdFXd其中，1812()()rttCS N dXeN d21ln(/)(/2)tSXrd 22ln(/)(/2)tSXrd 1d 其中其中19谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH
金融工程学 第8章
