初中二年级几何

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1、初中几何专题之全等三角形找对应边，对应角对学生来说有一定困难.我们结合实例，针对两个三角形不同位置关系，总结出寻找对应边，对应角的规律：（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最小边（或最小的角）是对应边（或角）等.（5)研究线段相等，两角相等，两直线平行，两直线垂直等通常转化为证明两三角形全等，没有条件，可添设辅助线，创造条件，构造全等三角形，达到目的.二、学海导航【思维基础】 1能够完全 的两个三角形叫做全等三角形， 的顶点叫对应顶点， 的边叫对应边，

2、互相重合的角叫 . 2全等三角形的 相等, 相等. 3判定一般三角形全等的方法有 ， ， ， .判定直角三角形全等的方法还有 . 4全等三角形的对应角 ，对应线段（边、高、中线、角平分线） . 5在角的平分线上的点到这个角的两边的距离 .到一个角两边距离相等的点，在这个角的 .角的平分线是到角的两边距离 的所有点的集合. 【学法指要】 例1如图，已知ABCD，ADBC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN. 思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合图形可发现AMEFCN可证. 题设告知AM=CF,ADB

3、C,ABCD.由两平行条件,可找两对角相等. ADBC(已知) 1=E(两直线平行,内错角相等) 3=D(两直线平行,同位角相等)1=2(对顶角相等)2=E(等量代换)ABCD(已知)4=D(两直线平行,同位角相等)3=4(等量代换).至此,两三角形全等条件完全具备.在AME与CNF中 3=4 (已证) 2=E (已证) CF=AM (已知)AMECNF (A.A.S)AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.ABC中，ACB=90，AC=BC，过C的一条直线CEAE于E，BDCE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可

4、迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现ACE与CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.证明: ACB=90(已知) 2+3=ACB=90 AECE，BDCE（已知） 1+2=90（直角三角形两锐角互余） 1=3（等角的余角相等） AEC=CDB=90（垂直定义） 在ACE与CBD中 AC=BC （已知） 1=3 （已证） AEC=CDB（已证） ACECBD（AAS） BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等） AE=CE=CE+DE AE=BD+DE（等量代换） 例3如图，AD是ABC的中线，DE，DF分

5、别平分ADB和ADC，连接EF，求证：EFBE+CF. 思路分析:由结论EFBE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将BDE沿角平分线翻转180,即B点落在AD的点B上(如图)(也就是在DA上截取DB=BD),连结EB,BF,此时BDE与BDE完全重合,所以BDEBDE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=BE(全等三角形的对应边相等).AD为ABC的中线(已知)BD=CD(中线性质)BD=BD(已证) C

6、D=BD(等量代换)在CDF与BDF中 CD=BD (已证) CDF=BDF (已知) DF=DF (公用边)CDFBDF (SAS)BF=CF (全等三角形的对应边相等)在EFB中,EFBE+BF(三角形的两边之和大于第三边).EFEF (三角形的两边之和大于第三边).即EFBE+FC(等量代换)对照结论,只要再证EF=EF 便达目的.由FBDFCD(已证)DF=DF（全等三角形对应边相等）EDA= ADB, FDA= ADC (已知)EDA+FDA= (ADB+ADC)ABD+ADC=180 (平角定义)EDA+FDA=90EDF=EDA+FDAEDF=90EDF+EDF=180 (平角定

7、义)EDF=90在EDF和EDF中 ED=ED (公用边) EDF=EDF (已证) DF=DF (已证)EDFEDF (SAS)EF=EF (全等三角形对应边相等)EFBE+CF (等量代换)由例1,例2我们可以发现,要证结论成立,必须知道需要什么条件,即要找什么?此时便可由题设,再结合准确的图形便可找到需要条件,使思路打通.再一步步写出找到的条件和依据(即依据的定义,定理,已知,已证等),就可写出完整的证明过程,请同学们在具体的实践过程中慢慢就熟悉证明的方法了.当条件分散或者直接找不到题设与结论的关系时,此时便可添设辅助线.但添设辅助线不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架设结论与题设

8、的关系;二要有利于充分利用已知条件;三要把分散条件集中一块,有利于沟通关系.把握这几个原则.添设辅助线便可心中有数.架起“桥梁”铺平道路.思路自然顺畅.从例3就向同学们指示了这一规律.望同学们要养成这种添设辅助线的好习惯!在证明几何问题的道路上会越走越宽,越走越好.【思维体操】 例已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,求证:BF=CF. 揭示思路:本例要证BF=CF,要看BF与CF在哪两个三角形中,即将问题转化为证明全等三角形问题,结合图形可发现BF与CF在ABF与ACF或BDF与CDF中,只要证ABFACF或BDFCDF,由两条思路吸引同学们去探索.结合题设,发现这两

9、组三角形都不具备全等条件,使问题搁浅.但结合题设与图形可发现ABD与ACD却具备全等条件AB=AC(已知),BD=DC(已知),AD=AD(公用边),给证题提供了有利因素.由它们全等可得BAF=CAF,这时证ABFACF(SAS)便没有阻力.同时由ADB=ADC可证BDF=CDF(等角的补角相等),那么BDFCDF(SAS)也很顺利了,两种思路,殊途同归. 扩散一:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,且B,F,C在一条直线上,求证:F是BC的中点. 揭示思路:欲证F是BC的中点,即证BF=CF,与原例所证结论相同,仿原例思路能行通吗?当然是可以的.请同学们写出证明过程.待

10、学完等腰三角形,还有更简捷的证法,那时你们再探索吧!扩散二:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:BF=CF.揭示思路:F点由AD的延长线上移动至AD上,要证的结论不变,那么证题的思路沿“老路”走还能走通吗？两种“老路”亦然可行.请同学们写出证明过程.扩散三:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,求证:BF=CF.揭示思路:F点由AD的延长线上移动至AD的反向延长线上,要证的结论亦然不变.那么证题思路仍重蹈旧辙,是否是轻车熟路呢?仍然是一路春风.请同学们完成证明过程.扩散四:已知:AB=AC,DB=DC,F是直线AD上一动点(即点F在直线AD上运动)

11、,点F在AD上不停的运动.你发现什么规律?请说出,并进行证明. (1) (2) (3) (4) (5) (6)揭示思路:因为动点F在直线AD上运动.可出现图(1)(6)六种情况(其中图(3)可看作图(4)的特例).当点F与点D或点A重合时,FB=FC.显然成立,当点F运动至图(3)图(6)的位置时,FB=FC,证明可仿原例证明,请同学们写出证明过程.由此可知,点F在AD上不停动,始终保持FB=FC这一规律,证明略.扩散五:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.揭示思路:欲证点F到AB,AC的距离相等,即证FM=FN.由此萌生在角的平分线上一

12、点到这个角的两边距离相等的念头,那么便转化为证明BAF=CAF即可.证明两角相等,通常转化证明两三角形全等.而ABDACD条件具备(AB=AC,BD=DC,AD=AD),则证BAF=CAF垂手可得了.证明如下:证明:在ABD与ACD中 AB=AC (已知) BD=DC (已知) AD=AD (公用边) ABDACD (SSS) BAF=CAF (全等三角形的对应角相等) FMAB, FNAC （已知） FM=FN (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).扩散六:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.揭示思路:F点在AD的延长线上移至AD

13、上,结论仍然成立.可仿扩散五便可一路顺风达到目的.证法留给同学们完成.扩散七:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.揭示思路:当点F在DA的延长线上(如图),结论亦然成立.思路亦然如旧,请同学们自行完成.扩散八:已知:如图,AB=AC,DB=DC,点F在直线AD上运动,那么点F到AB,AC的距离有何关系?请提出你的猜想,并进行证明.揭示思路:本例可仿照扩散四进行探索.请同学们照此完成吧. 由原例扩散,把本单元用一线穿珠的办法连为一体,使所学知识系统化,条理化.使所学知识掌握的更牢固,应用的更灵活.在学习时,一定要掌握这种学习方法,它是提高

14、数学素养非常行之有效的好方法.本例在扩散中,由静到动,栩栩如生.提出猜想,对培养同学们的探索能力恰到好处.不管图形多变化,其规律不变,万变不离其宗.只要抓住万变中的不变,即可一不变应万变,学一例,会一片,诸类旁通,左右逢源.通过以上的学习,对证线段相等,两角相等.两直线平等或垂直等,通常可转化为证明三角形全等,思路便可找到,望同学们在今后学习中不断演练,将会更上一层楼.一、 智能显示【心中有数】 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用.三角形又是多边形的一种,而且是最简单的多边形,在几何里,常常把多边形分割成若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形,实际上对于一

15、些曲线形,也可以利用一系列的三角形逼近它,从而利用三角形的性质去研究它们.另外,全等三角形是证明线段相等或角相等的重要工具,“全等三角形”是本章的重要内容,掌握了判定三角形全等的方法,就为后面的学习做了准备.因此,本章内容是几何中最重要的基础知识.本单元又是本章之首,又是推理入门阶段.一定要学好本单元内容.【动脑动手】1. 如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于D,DFAB,DEAC,求证:DE=DF.2.求证:三角形一边上的中线小于其它两边和的一半.3.如图,在ABC中,AD为A的平分线,E为BC的中点,过E作EFAD交AB于G,交CA的延长线于F,求证:BG=CF.揭示思路:1.(如原题

16、图).ADBC(已知)ABD和ACD为Rt. AB=AC(已知) AD=AD(公用边)RtABDRtACD (H.L)1=2 (全等三角形对应角相等)DFAB,DEAC (已知)AFD=AED在ADF和ADE中 1=2 (已证) AFD=AED (已证) AD=AD (公共边)ADFADE (AAS)DE=DF (全等三角形对应边相等)2.延长AD至E,使DE=AD,连结BE. 则AD= AE. 在ACD和EBD 中 AD=DE (由作图知) 1=2 (对顶角相等) BD=DC (已知) ACDEBD (SAS) BE=AC (全等三角形对应边相等) 在ABE中,AEAB+BE (三角形的两边

17、之和大于第三边) AEAB+AC (等量代换) AE (AB+AC) ADAC,AD是A的平分线,求证:BDDC.揭示思路1.证明:在AC上截取AB=AB,连结PB 在ABP和ABP中 AB=AB (由作图知) 1=2 (已知) AP=AP (公用边) ABPABP (SAS) B=ABP (全等三角形对应角相等,对应边相等) AC=AB+BP (已知) AC=AB+CB (如图) AB=AB(由作图知) PB=BC=PB C=BPC ABP=C+BPC=2C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) B=2C又证:延长AB至C,且使AC=AC.连结PC. 在ACP和ACP中 AC=AC

18、 (由作图知) 1=2 (已知) AP=AP (公用边) ACPACP (SAS) C=C (全等三角形的对应角相等) AC=AB+BP (已知) AC=AB+BC (如图) AC=AC (由作图知) BP=BC C=BPC ABP=C+BPC=2C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) ABP=2C. 即B=2C2、3两个小题证法与此同时相仿，每小题同样可找到两种类似证法，留给同学们研究. 四、同 步 题 库一、 填空题：1.判定一般三角形全等的方法有 等四种，判定直角三角形全等的方法还有 .2.如图1-2-18，已知OCAOBD，C和B、D和A是对应顶点，这两个三角形中相等的角是

19、 ，相等的边是 . 图1-2-18 图1-2-19 3.ABC的角平分线AM、BN交于I点，那么I点到 边的距离相等，连结CI，那么CI一定平分 .4.如图1-2-19，已知ABCADE，B与D是对应角，那么AC与 是对应边，BAC与 是对应角. 图1-2-20 图1-2-215.如图1-2-20，已知D在BC边上，DEAB于E，DFAC于F，DE=DF，B=50，C=70，那么DAF= ，ADE= .6.如图1-2-21，已知AB=BE，BC=BD，1=2，那么图中 ，AC= ，ABC= . 图1-2-22 图1-2-23 7.到一个角两边距离相等的点，在 .8.如图1-2-22，已知ABC

20、DEF，对应边AB=DE， ，对应角B=DEF， .9.如图1-2-23，已知ABCDEC，其中AB=DE， ECB=30，那么ACD= .10.写出“如果a、b都是正数，那么积ab是正数”的逆命题是 .这个命题是 命题.二、 选择题11.根据下列条件，能判定ABCDEF的是 .A. AB=DE，BC=EF，A=DB. A=D，C=F，AC=EFC. B=E，A=D，AC=EFD. AB=DE，BC=EF，B=E12. 如图1-2-24，已知ABDC，ADBC，BE=DF，图中全等三角形有 .A.3对 B. 4对C.5对 D.6对 图1-2-24 图1-2-2513.如图1-2-25，已知AB

21、D和ACE都是等边三角形，那么ADCABE的根据是 . A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边14.具有下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是 .A. 两角相等，且其对应角所对的边也相等B. 两角相等，且有一边也相等C. 一边相等，且这边上的高也相等D. 两边相等，且其中一条对应边的对角相等15.下列说法正确的是 .A. 不是所有的命题都有逆命题B. 一个命题正确，它的逆命题不一定正确C. 如果一个整数能被2整除，那么这个数也能被4整除D. 三角形的一个外角等于两个内角的和16.如图1-2-26，已知在ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，AB=8

22、cm，那么DEB的周长为 . A.4cm B.4cm C.6cm D.8cm 图1-2-26 图1-2-2717.在ABC和ABC中，AB=AB，BC=BC，AC=AC，A=A，B=B，C=C，则下列条件组不能保证ABCABC的是 . A. B. B. D.18.如图1-2-27，ABCD中，两对角线AC，BD交于点O，AFBD于F，CEBD于E，则图中全等三角形的对数共有 . A.5对 B.6对 C.7对 D.8对19.下列命题中正确的个数为 . 顶角和底边对应相等的两等腰三角形全等. 有一直角边和斜边对应相等的两Rt全等. 有两边和其中一边上的高对应相等的两三角形全等. A.3 B.2 C

23、.1 D.020.下列定理中，存在逆定理的是 .A. 对顶角相等B. 凡直角都相等C. 全等三角形的对应角相等D. 内错角相等，两直线平行三、 解答题：21.如图1-2-28，已知A=B，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，AD=BC. 求证：AE=BF. 图1-2-2822.求证：全等三角形对应边上的中线相等.23.如图1-2-29，已知M是ABC的边BC上一点，BECF。BE=CF. 求证：AM是BC边上的中线.24.如图1-2-30，已知AB=DC，AE=DF，CE=BF. 求斑点：AF=DE.25.如图1-2-31，已知在ABC中，C=90，两个锐角平分线AD、BE交于点O，1=60

24、. 求：AOB和ADC的度数. 图1-2-29 图1-2-30 图1-2-3126.如图1-2-32，已知BO=OC，AB=DC，BFCE，且A，B，C，D四点在同一直线上. 求证：AFDE. 图1-2-32 图1-2-33 27.如图1-2-33，已知AB=DC，AD=BC，O是BD的中点，过O的直线与AD、BC延长线分别相交于E，F.求证:OE=OF28已知如图1-2-34,AD=BC,AB=DC. 求证：A+D=18029.如图1-2-35，在ABC中，AD为BC边上的中线. 求证：2ADAB+AC.30.已知如图1-2-36，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，在AB、DC上各取一点

25、F、G使BF=CG，E是AD的中点. 求证：EFG=EGF 图1-2-34 图1-2-35 图1-2-37-6参 考 答 案同步题库一、填空题1. SAS、ASA、AAS、SSS；HL 2. C=B；A=D，AOC=BOD；AC=DB，OA=OD，OC=OB 3.AB、BC、AC；BCA 4.AE、DAE 5.30，60 6.ABCEBD，ED，EBD， 7.这个角的平分线上 8.AC=DF，BC=EF，A=D，ACB=DFE 9.30 10.如果积ab是正数，那么a、b都是正数 假二、 选择题11.D 12.D 13.B 14.A 15.B 16.D 17.D 18.C 19.A 20.D三

26、、 解答题21.【证明】 CEAB；DFAB BEC=90；AFD=90 BEC=AFD. A=B AD=BC A=B （已知） AD=BC （已知） BEC=AFD （已证） RtAFDRtBEC(ASA) AF=BE AF-EF=BE-EF(等式性质) AE=BF.22.已知ABCABC，且AD，AD分别为ABC，ABC的边BC和BC上中线. 求证：AD=AD.【证明】 ABCABC AB=AB， ABC=ABC BC=BC AD，AD分别为BC、BC中线 BD=BD AB=AB （已证） ABD=ABD （已证） BD=BD （已证） ABDABD （SAS） AD=AD （全等三角形对

27、应边相等）. 图1-2-2923.【证明】 BECF EBM=FCM CMF=BMF，BE=CF EBM=FCM 已证 CMF=BMF 已知 BE=CF 已知 BMECMF （AAS） BM=MC （全等三角形对应边相等） 故：AM是BC边上的中线.24.【证明】 CE=BF CE+EF=BF+EF CF=BE CF=BE （已证） AB=CD （已知） AE=DF （已知） AEBDFB （SSS） B=C （全等三等形对应角相等） AB=CD 已知 B=C 已证 CE=BF 已知 CEDBFA （SAS） AF=DE （全等三角形对应边相等）.25.【解】 C=90 1=60 在RtECB

28、中 EBC=30 BE平分ABC ABE=EBC=30 ABC=60 CAB=30 AD平分CAB CAD=DAB=CAB=15 AOB=180-（OAB+0BA） =180-（15+30）=135 ADC=90-CAD =90-15=7526.【证明】 BFCE CEO=BFO CEO=BFO (已证) OB=OC (已知) EOC=FOB (对顶角相等) OBFOCE OF=OE OB=OC AB=CD OA=OD OA=OD (已证) AOF=EOD (对顶角相等) OF=OE (已证) AOFDOE A=D AFDE.27.【证明】 AB=DC AD=BC BD=BD ABDCDB B

29、DE=DBF O是BD中点 OD=OB BDE=DBF OD=OB DOE=BOF DOEBOF OE=OF.28.【证明】连结BD，在ABD和CDB中 AD=BC （已知） AB=DC （已知） BD=DB （公共边） ABDCDB （SSS） ABD=CDB（全等三角形对应角相等） ABCD（内错角相等，两直线平行） A+D=180（两直线平行，同旁内角互补）.29.【证明】如图1-2-40，延长AD到E，使AD=DE，则AE=2AD. 在ADC和EDB中 BD=DC （已知） BDE=CDA （对顶角相等） DE=AD （已作） BDECDA （SAS） BE=AC（全等三角形对应边相等） 在ABE中AEAB+BE（三角形两边之和大于第三边） 2ADAB+AC (等量代换). 图1-2-4030.【证明】 ADBC，AB=DC 梯形ABCD是等腰梯形 BAD=CDA E为AD中点 AE=DE AB=DC；BF=CG AB-BF=DC-CG AF=DG AE=DE FAE=GDE AF=DG FAEGDE EF=FG EFG=EGF.