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1、离心率相同的圆锥曲线相似江苏省泰兴市第三高级中学（225400） 谭爱平我们知道,椭圆的离心率决定了它的的“扁平”程度,双曲线的离心率决定了它的“开口”大小.抛物线的离心率等于1不变,对抛物线的形状有何影响？可见,离心率e的值充分反映了曲线形状上的差异.那么大家会很自然地提出：当两圆锥曲线离心率相等,而焦点与准线不同时,这两条曲线有何关系呢？我们说,离心率相等的两圆锥曲线是相似的.一 相似与位似两个图形形状完全相同,称为相似,而位似是在相似的基础上要求对应点的连线交于一点.位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.两个相似的图形,经过移动,可以使其彼此位似.因此,位似是相似的特殊情况
2、,利用位似可以将一个图形放大或缩小.因此要证明相似,等同于证明在经过平移、旋转变换（不改变形状和大小）后两个图形彼此位似.我们先明确两个图形位似的概念：如果在平面上选定一点S,两个图形C与之间存在着这样的一一对应关系：任一对应点与与定点S的连线段之比=k(非零常数),则称两个图形C与关于点S位似,点S叫做位似中心,非零常数k叫做位似比.二 分开证明1. 抛物线与是位似形,原点是位似中心.证明：设直线OP的方程为y=mx(m0).不难求出这条直线与两条抛物线的交点和于是所以这是一个与直线OP无关的常数,因此,任何两条抛物线的形状是相同的.2. 椭圆与椭圆（其中）是位似图形.证明：根据对称性,只研
3、究在第一象限内的情形.过原点作射线OP分别与相交于设OP的方程为y=mx(m0,x0),联立方程组,解得则这是一个与直线无关的常数,因此,离心率相等的两个椭圆是以原点为位似中心的位似图形,形状是相同的.3. 双曲线与（其中）是位似图形.证明：根据对称性,只研究在第一象限内的情形.过原点作射线分别与相交于设OP的方程为y=mx(,x0),联立方程组,解得则这是一个与直线无关的常数,因此,离心率相等的两条双曲线是以原点为位似中心的位似图形,形状相同.三 统一证明给定两离心率相等的圆锥曲线,将它们置于同一极坐标系中,选定它们的一个焦点为极点,一条对称轴作为极轴,过极点O任作一射线分别与相交于则所以（常数）.这表明,离心率相等的任何两条圆锥曲线是位似图形.反过来,设与是位似图形,位似比为则=整理得要使此式对任意恒成立,则即这表明,若两圆锥曲线位似,则离心率相等.四 结论两椭圆、双曲线相似的充要条件是它们各自的离心率相等,而任意两条抛物线总是相似的.这里,人们常对两条抛物线的形状相同持怀疑,认为抛物线的开口明显有大有小,形状怎么可能相同呢？这是由于直观上未能将两条抛物线对应部分画出来.如图所示,弧与才是以O为位似中心的对应相似部分.
离心率相同的圆锥曲线相似
